Theorem fourierdlem70 40393

Description: A piecewise continuous function is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem70.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem70.2	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem70.aleb	|- ( ph -> A <_ B )
fourierdlem70.f	|- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> RR )
fourierdlem70.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem70.q	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem70.q0	|- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
fourierdlem70.qm	|- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
fourierdlem70.qlt	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
fourierdlem70.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem70.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
fourierdlem70.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem70.i	|- I = ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem70	|- ( ph -> E. x e. RR A. s e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ x )

Distinct variable groups:   A, i   B, i   i, F, s   x, F, s   i, I, s   x, I   L, s   i, M, s   Q, i, s   x, Q   R, s   ph, i, s   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x, s)   B( x, s)   R( x, i)   L( x, i)   M( x)

Proof of Theorem fourierdlem70

Dummy variables k t v y w b z j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prfi 8235	. . 3 |- { ran Q , U. ran I } e. Fin
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> { ran Q , U. ran I } e. Fin )
3		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. U. { ran Q , U. ran I } ) -> s e. U. { ran Q , U. ran I } )
4		fourierdlem70.q	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
5		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... M ) e. _V
6		fex 6490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR /\ ( 0 ... M ) e. _V ) -> Q e. _V )
7	4, 5, 6	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. _V )
8		rnexg 7098	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. _V -> ran Q e. _V )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran Q e. _V )
10		fzofi 12773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0..^ M ) e. Fin
11		fourierdlem70.i	. . . . . . . . . . . . 13 |- I = ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
12	11	rnmptfi 39351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0..^ M ) e. Fin -> ran I e. Fin )
13	10, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ran I e. Fin
14	13	elexi 3213	. . . . . . . . . 10 |- ran I e. _V
15	14	uniex 6953	. . . . . . . . 9 |- U. ran I e. _V
16		uniprg 4450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ran Q e. _V /\ U. ran I e. _V ) -> U. { ran Q , U. ran I } = ( ran Q u. U. ran I ) )
17	9, 15, 16	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U. { ran Q , U. ran I } = ( ran Q u. U. ran I ) )
18	17	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. U. { ran Q , U. ran I } ) -> U. { ran Q , U. ran I } = ( ran Q u. U. ran I ) )
19	3, 18	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. U. { ran Q , U. ran I } ) -> s e. ( ran Q u. U. ran I ) )
20		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN |-> { v e. ( RR ^m ( 0 ... y ) ) | ( ( ( v ` 0 ) = A /\ ( v ` y ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ y ) ( v ` i ) < ( v ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( y e. NN |-> { v e. ( RR ^m ( 0 ... y ) ) | ( ( ( v ` 0 ) = A /\ ( v ` y ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ y ) ( v ` i ) < ( v ` ( i + 1 ) ) ) } )
21		fourierdlem70.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. NN )
22		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
23	22, 5	elmap 7886	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) <-> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
24	4, 23	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
25		fourierdlem70.q0	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
26		fourierdlem70.qm	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
27	25, 26	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) )
28		fourierdlem70.qlt	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
29	28	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
30	24, 27, 29	jca32 558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
31	20	fourierdlem2 40326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( ( y e. NN |-> { v e. ( RR ^m ( 0 ... y ) ) | ( ( ( v ` 0 ) = A /\ ( v ` y ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ y ) ( v ` i ) < ( v ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
32	21, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q e. ( ( y e. NN |-> { v e. ( RR ^m ( 0 ... y ) ) | ( ( ( v ` 0 ) = A /\ ( v ` y ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ y ) ( v ` i ) < ( v ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
33	30, 32	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. ( ( y e. NN |-> { v e. ( RR ^m ( 0 ... y ) ) | ( ( ( v ` 0 ) = A /\ ( v ` y ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ y ) ( v ` i ) < ( v ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) )
34	20, 21, 33	fourierdlem15 40339	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
35		frn 6053	. . . . . . . . . 10 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) -> ran Q C_ ( A [,] B ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran Q C_ ( A [,] B ) )
37	36	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ran Q ) -> s e. ( A [,] B ) )
38	37	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( ran Q u. U. ran I ) ) /\ s e. ran Q ) -> s e. ( A [,] B ) )
39		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( ran Q u. U. ran I ) ) /\ -. s e. ran Q ) -> ph )
40		elunnel1 3754	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. ( ran Q u. U. ran I ) /\ -. s e. ran Q ) -> s e. U. ran I )
41	40	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( ran Q u. U. ran I ) ) /\ -. s e. ran Q ) -> s e. U. ran I )
42		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. U. ran I ) -> s e. U. ran I )
43	11	funmpt2 5927	. . . . . . . . . . 11 |- Fun I
44		elunirn 6509	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun I -> ( s e. U. ran I <-> E. i e. dom I s e. ( I ` i ) ) )
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. U. ran I ) -> ( s e. U. ran I <-> E. i e. dom I s e. ( I ` i ) ) )
46	42, 45	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. U. ran I ) -> E. i e. dom I s e. ( I ` i ) )
47		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. dom I -> i e. dom I )
48		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. _V
49	48, 11	dmmpti 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- dom I = ( 0..^ M )
50	47, 49	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. dom I -> i e. ( 0..^ M ) )
51	11	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. _V ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
52	50, 48, 51	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. dom I -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
54		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) )
55		fourierdlem70.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. RR )
56	55	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. RR* )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> A e. RR* )
58		fourierdlem70.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. RR )
59	58	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. RR* )
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> B e. RR* )
61	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
62	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> i e. ( 0..^ M ) )
63	57, 60, 61, 62	fourierdlem8 40332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
64	54, 63	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
65	53, 64	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( I ` i ) C_ ( A [,] B ) )
66	65	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. dom I /\ s e. ( I ` i ) ) -> ( I ` i ) C_ ( A [,] B ) )
67		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. dom I /\ s e. ( I ` i ) ) -> s e. ( I ` i ) )
68	66, 67	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. dom I /\ s e. ( I ` i ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
69	68	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( i e. dom I -> ( s e. ( I ` i ) -> s e. ( A [,] B ) ) ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. U. ran I ) -> ( i e. dom I -> ( s e. ( I ` i ) -> s e. ( A [,] B ) ) ) )
71	70	rexlimdv 3030	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. U. ran I ) -> ( E. i e. dom I s e. ( I ` i ) -> s e. ( A [,] B ) ) )
72	46, 71	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. U. ran I ) -> s e. ( A [,] B ) )
73	39, 41, 72	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( ran Q u. U. ran I ) ) /\ -. s e. ran Q ) -> s e. ( A [,] B ) )
74	38, 73	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ran Q u. U. ran I ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
75	19, 74	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. U. { ran Q , U. ran I } ) -> s e. ( A [,] B ) )
76		fourierdlem70.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> RR )
77	76	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` s ) e. RR )
78	75, 77	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. U. { ran Q , U. ran I } ) -> ( F ` s ) e. RR )
79	78	recnd 10068	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. U. { ran Q , U. ran I } ) -> ( F ` s ) e. CC )
80	79	abscld 14175	. 2 |- ( ( ph /\ s e. U. { ran Q , U. ran I } ) -> ( abs ` ( F ` s ) ) e. RR )
81		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = ran Q ) -> w = ran Q )
82	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w = ran Q ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
83		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w = ran Q ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
84		rnffi 39356	. . . . . . 7 |- ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR /\ ( 0 ... M ) e. Fin ) -> ran Q e. Fin )
85	82, 83, 84	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = ran Q ) -> ran Q e. Fin )
86	81, 85	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = ran Q ) -> w e. Fin )
87	86	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. { ran Q , U. ran I } ) /\ w = ran Q ) -> w e. Fin )
88	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ w = ran Q ) /\ s e. w ) -> F : ( A [,] B ) --> RR )
89		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w = ran Q ) /\ s e. w ) -> ph )
90		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = ran Q /\ s e. w ) -> s e. w )
91		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = ran Q /\ s e. w ) -> w = ran Q )
92	90, 91	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = ran Q /\ s e. w ) -> s e. ran Q )
93	92	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w = ran Q ) /\ s e. w ) -> s e. ran Q )
94	89, 93, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ w = ran Q ) /\ s e. w ) -> s e. ( A [,] B ) )
95	88, 94	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w = ran Q ) /\ s e. w ) -> ( F ` s ) e. RR )
96	95	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w = ran Q ) /\ s e. w ) -> ( F ` s ) e. CC )
97	96	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w = ran Q ) /\ s e. w ) -> ( abs ` ( F ` s ) ) e. RR )
98	97	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = ran Q ) -> A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) e. RR )
99	98	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. { ran Q , U. ran I } ) /\ w = ran Q ) -> A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) e. RR )
100		fimaxre3 10970	. . . 4 |- ( ( w e. Fin /\ A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) e. RR ) -> E. z e. RR A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) <_ z )
101	87, 99, 100	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( ph /\ w e. { ran Q , U. ran I } ) /\ w = ran Q ) -> E. z e. RR A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) <_ z )
102		simpll 790	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. { ran Q , U. ran I } ) /\ -. w = ran Q ) -> ph )
103		neqne 2802	. . . . . 6 |- ( -. w = ran Q -> w =/= ran Q )
104		elprn1 39865	. . . . . 6 |- ( ( w e. { ran Q , U. ran I } /\ w =/= ran Q ) -> w = U. ran I )
105	103, 104	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( w e. { ran Q , U. ran I } /\ -. w = ran Q ) -> w = U. ran I )
106	105	adantll 750	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. { ran Q , U. ran I } ) /\ -. w = ran Q ) -> w = U. ran I )
107	10, 12	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = U. ran I ) -> ran I e. Fin )
108		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
109	108	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR C_ CC )
110	76, 109	fssd 6057	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
111	110	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ s e. U. ran I ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
112	72	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ s e. U. ran I ) -> s e. ( A [,] B ) )
113	111, 112	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ s e. U. ran I ) -> ( F ` s ) e. CC )
114	113	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ s e. U. ran I ) -> ( abs ` ( F ` s ) ) e. RR )
115	48, 11	fnmpti 6022	. . . . . . . . . 10 |- I Fn ( 0..^ M )
116		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . 10 |- ( I Fn ( 0..^ M ) -> ( t e. ran I <-> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t ) )
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ran I <-> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t )
118	117	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( t e. ran I -> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t )
119	118	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t )
120	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
121		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
122	121	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
123	120, 122	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
124		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
125	124	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
126	120, 125	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
127		fourierdlem70.fcn	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
128		fourierdlem70.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
129		fourierdlem70.r	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
130	123, 126, 127, 128, 129	cncfioobd 40110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
131		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) = ( F ` s ) )
132	131	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) = ( abs ` ( F ` s ) ) )
133	132	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
134	133	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
135	134	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
136	135	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( E. b e. RR A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
137	130, 136	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b )
138	137	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> E. b e. RR A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b )
139	48, 51	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
140	139	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( I ` i ) )
141	140	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( I ` i ) )
142		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( I ` i ) = t )
143	141, 142	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = t )
144	143	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b <-> A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
145	144	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( E. b e. RR A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
146	145	3adant1 1079	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( E. b e. RR A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
147	138, 146	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b )
148	147	3exp 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( i e. ( 0..^ M ) -> ( ( I ` i ) = t -> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) ) )
149	148	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> ( i e. ( 0..^ M ) -> ( ( I ` i ) = t -> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) ) )
150	149	rexlimdv 3030	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> ( E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t -> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
151	119, 150	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b )
152	151	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ t e. ran I ) -> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b )
153		eqimss 3657	. . . . . 6 |- ( w = U. ran I -> w C_ U. ran I )
154	153	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = U. ran I ) -> w C_ U. ran I )
155	107, 114, 152, 154	ssfiunibd 39523	. . . 4 |- ( ( ph /\ w = U. ran I ) -> E. z e. RR A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) <_ z )
156	102, 106, 155	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( ph /\ w e. { ran Q , U. ran I } ) /\ -. w = ran Q ) -> E. z e. RR A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) <_ z )
157	101, 156	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ( ph /\ w e. { ran Q , U. ran I } ) -> E. z e. RR A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) <_ z )
158	21	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> M e. NN )
159	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
160		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. ( A [,] B ) )
161	25	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A = ( Q ` 0 ) )
162	26	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B = ( Q ` M ) )
163	161, 162	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A [,] B ) = ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( A [,] B ) = ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
165	160, 164	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
166	165	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> t e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
167		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> -. t e. ran Q )
168		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( Q ` k ) = ( Q ` j ) )
169	168	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( ( Q ` k ) < t <-> ( Q ` j ) < t ) )
170	169	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . 13 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < t } = { j e. ( 0..^ M ) | ( Q ` j ) < t }
171	170	supeq1i 8353	. . . . . . . . . . . 12 |- sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < t } , RR , < ) = sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( Q ` j ) < t } , RR , < )
172	158, 159, 166, 167, 171	fourierdlem25 40349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> E. i e. ( 0..^ M ) t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
173	139	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( t e. ( I ` i ) <-> t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
174	173	rexbiia 3040	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. i e. ( 0..^ M ) t e. ( I ` i ) <-> E. i e. ( 0..^ M ) t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
175	172, 174	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> E. i e. ( 0..^ M ) t e. ( I ` i ) )
176	49	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0..^ M ) = dom I
177	176	rexeqi 3143	. . . . . . . . . 10 |- ( E. i e. ( 0..^ M ) t e. ( I ` i ) <-> E. i e. dom I t e. ( I ` i ) )
178	175, 177	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> E. i e. dom I t e. ( I ` i ) )
179		elunirn 6509	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun I -> ( t e. U. ran I <-> E. i e. dom I t e. ( I ` i ) ) )
180	43, 179	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> ( t e. U. ran I <-> E. i e. dom I t e. ( I ` i ) ) )
181	178, 180	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> t e. U. ran I )
182	181	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( -. t e. ran Q -> t e. U. ran I ) )
183	182	orrd 393	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( t e. ran Q \/ t e. U. ran I ) )
184		elun 3753	. . . . . 6 |- ( t e. ( ran Q u. U. ran I ) <-> ( t e. ran Q \/ t e. U. ran I ) )
185	183, 184	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. ( ran Q u. U. ran I ) )
186	185	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. t e. ( A [,] B ) t e. ( ran Q u. U. ran I ) )
187		dfss3 3592	. . . 4 |- ( ( A [,] B ) C_ ( ran Q u. U. ran I ) <-> A. t e. ( A [,] B ) t e. ( ran Q u. U. ran I ) )
188	186, 187	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( ran Q u. U. ran I ) )
189	188, 17	sseqtr4d 3642	. 2 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ U. { ran Q , U. ran I } )
190	2, 80, 157, 189	ssfiunibd 39523	1 |- ( ph -> E. x e. RR A. s e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   {cpr 4179   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   abscabs 13974   -cn->ccncf 22679   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427