Theorem fin23lem30 9164

Description: Lemma for fin23 9211. The residual is disjoint from the common set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem.a	|- U = seq𝜔 ( ( i e. om , u e. _V |-> if ( ( ( t ` i ) i^i u ) = (/) , u , ( ( t ` i ) i^i u ) ) ) , U. ran t )
fin23lem17.f	|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
fin23lem.b	|- P = { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) }
fin23lem.c	|- Q = ( w e. om |-> ( iota_ x e. P ( x i^i P ) ~~ w ) )
fin23lem.d	|- R = ( w e. om |-> ( iota_ x e. ( om \ P ) ( x i^i ( om \ P ) ) ~~ w ) )
fin23lem.e	|- Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )

Assertion

Ref	Expression
fin23lem30	|- ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) )

Distinct variable groups:   g, i, t, u, v, x, z, a   F, a, t   w, a, x, z, P   v, a, R, i, u   U, a, i, u, v, z   Z, a   g, a

Allowed substitution hints:   P( v, u, t, g, i)   Q( x, z, w, v, u, t, g, i, a)   R( x, z, w, t, g)   U( x, w, t, g)   F( x, z, w, v, u, g, i)   Z( x, z, w, v, u, t, g, i)

Proof of Theorem fin23lem30

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin23lem.e	. 2 |- Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )
2		eqif 4126	. . 3 |- ( Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) <-> ( ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) \/ ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) ) )
3	2	biimpi 206	. 2 |- ( Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) -> ( ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) \/ ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) ) )
4		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> Fun t )
5		fin23lem.d	. . . . . . . . . . . 12 |- R = ( w e. om |-> ( iota_ x e. ( om \ P ) ( x i^i ( om \ P ) ) ~~ w ) )
6	5	funmpt2 5927	. . . . . . . . . . 11 |- Fun R
7		funco 5928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun t /\ Fun R ) -> Fun ( t o. R ) )
8	4, 6, 7	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> Fun ( t o. R ) )
9		elunirn 6509	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun ( t o. R ) -> ( a e. U. ran ( t o. R ) <-> E. b e. dom ( t o. R ) a e. ( ( t o. R ) ` b ) ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( a e. U. ran ( t o. R ) <-> E. b e. dom ( t o. R ) a e. ( ( t o. R ) ` b ) ) )
11		dmcoss 5385	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( t o. R ) C_ dom R
12	11	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. dom ( t o. R ) -> b e. dom R )
13		fvco 6274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun R /\ b e. dom R ) -> ( ( t o. R ) ` b ) = ( t ` ( R ` b ) ) )
14	6, 13	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. dom R -> ( ( t o. R ) ` b ) = ( t ` ( R ` b ) ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( ( t o. R ) ` b ) = ( t ` ( R ` b ) ) )
16	15	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( a e. ( ( t o. R ) ` b ) <-> a e. ( t ` ( R ` b ) ) ) )
17		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t ` ( R ` b ) ) i^i |^| ran U ) = ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) )
18		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( om \ P ) C_ om
19		ominf 8172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- -. om e. Fin
20		fin23lem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- P = { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) }
21		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } C_ om
22	20, 21	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- P C_ om
23		undif 4049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( P C_ om <-> ( P u. ( om \ P ) ) = om )
24	22, 23	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P u. ( om \ P ) ) = om
25		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P e. Fin /\ ( om \ P ) e. Fin ) -> ( P u. ( om \ P ) ) e. Fin )
26	24, 25	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( P e. Fin /\ ( om \ P ) e. Fin ) -> om e. Fin )
27	26	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. Fin -> ( ( om \ P ) e. Fin -> om e. Fin ) )
28	19, 27	mtoi 190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. Fin -> -. ( om \ P ) e. Fin )
29	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> -. ( om \ P ) e. Fin )
30	5	fin23lem22 9149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( om \ P ) C_ om /\ -. ( om \ P ) e. Fin ) -> R : om -1-1-onto-> ( om \ P ) )
31	18, 29, 30	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> R : om -1-1-onto-> ( om \ P ) )
32		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R : om -1-1-onto-> ( om \ P ) -> R : om --> ( om \ P ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> R : om --> ( om \ P ) )
34		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> b e. dom R )
35		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R : om --> ( om \ P ) -> dom R = om )
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> dom R = om )
37	34, 36	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> b e. om )
38	33, 37	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( R ` b ) e. ( om \ P ) )
39	38	eldifbd 3587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> -. ( R ` b ) e. P )
40	20	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R ` b ) e. P <-> ( R ` b ) e. { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } )
41	39, 40	sylnib 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> -. ( R ` b ) e. { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } )
42	38	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( R ` b ) e. om )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = ( R ` b ) -> ( t ` v ) = ( t ` ( R ` b ) ) )
44	43	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = ( R ` b ) -> ( |^| ran U C_ ( t ` v ) <-> |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) ) )
45	44	elrab3 3364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R ` b ) e. om -> ( ( R ` b ) e. { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } <-> |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) ) )
46	42, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( ( R ` b ) e. { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } <-> |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) ) )
47	41, 46	mtbid 314	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> -. |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) )
48		fin23lem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U = seq𝜔 ( ( i e. om , u e. _V |-> if ( ( ( t ` i ) i^i u ) = (/) , u , ( ( t ` i ) i^i u ) ) ) , U. ran t )
49	48	fin23lem20 9159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R ` b ) e. om -> ( |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) \/ ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) ) = (/) ) )
50	42, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) \/ ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) ) = (/) ) )
51		orel1 397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) -> ( ( |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) \/ ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) ) = (/) ) -> ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) ) = (/) ) )
52	47, 50, 51	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) ) = (/) )
53	17, 52	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( ( t ` ( R ` b ) ) i^i |^| ran U ) = (/) )
54		disj 4017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( t ` ( R ` b ) ) i^i |^| ran U ) = (/) <-> A. a e. ( t ` ( R ` b ) ) -. a e. |^| ran U )
55	53, 54	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> A. a e. ( t ` ( R ` b ) ) -. a e. |^| ran U )
56		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. a e. ( t ` ( R ` b ) ) -. a e. |^| ran U -> ( a e. ( t ` ( R ` b ) ) -> -. a e. |^| ran U ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( a e. ( t ` ( R ` b ) ) -> -. a e. |^| ran U ) )
58	16, 57	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( a e. ( ( t o. R ) ` b ) -> -. a e. |^| ran U ) )
59	58	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( b e. dom R -> ( a e. ( ( t o. R ) ` b ) -> -. a e. |^| ran U ) ) )
60	12, 59	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( b e. dom ( t o. R ) -> ( a e. ( ( t o. R ) ` b ) -> -. a e. |^| ran U ) ) )
61	60	rexlimdv 3030	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( E. b e. dom ( t o. R ) a e. ( ( t o. R ) ` b ) -> -. a e. |^| ran U ) )
62	10, 61	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( a e. U. ran ( t o. R ) -> -. a e. |^| ran U ) )
63	62	ralrimiv 2965	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> A. a e. U. ran ( t o. R ) -. a e. |^| ran U )
64		disj 4017	. . . . . . 7 |- ( ( U. ran ( t o. R ) i^i |^| ran U ) = (/) <-> A. a e. U. ran ( t o. R ) -. a e. |^| ran U )
65	63, 64	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( U. ran ( t o. R ) i^i |^| ran U ) = (/) )
66		rneq 5351	. . . . . . . . 9 |- ( Z = ( t o. R ) -> ran Z = ran ( t o. R ) )
67	66	unieqd 4446	. . . . . . . 8 |- ( Z = ( t o. R ) -> U. ran Z = U. ran ( t o. R ) )
68	67	ineq1d 3813	. . . . . . 7 |- ( Z = ( t o. R ) -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = ( U. ran ( t o. R ) i^i |^| ran U ) )
69	68	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( Z = ( t o. R ) -> ( ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) <-> ( U. ran ( t o. R ) i^i |^| ran U ) = (/) ) )
70	65, 69	syl5ibr 236	. . . . 5 |- ( Z = ( t o. R ) -> ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) )
71	70	expd 452	. . . 4 |- ( Z = ( t o. R ) -> ( P e. Fin -> ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) ) )
72	71	impcom 446	. . 3 |- ( ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) -> ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) )
73		rneq 5351	. . . . . . . 8 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> ran Z = ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )
74	73	unieqd 4446	. . . . . . 7 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> U. ran Z = U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )
75	74	ineq1d 3813	. . . . . 6 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = ( U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) i^i |^| ran U ) )
76		rncoss 5386	. . . . . . . 8 |- ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) C_ ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) )
77	76	unissi 4461	. . . . . . 7 |- U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) C_ U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) )
78		disj 4017	. . . . . . . 8 |- ( ( U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) i^i |^| ran U ) = (/) <-> A. a e. U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) -. a e. |^| ran U )
79		eluniab 4447	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. U. { b | E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) } <-> E. b ( a e. b /\ E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) )
80		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) -> ( a e. b <-> a e. ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) )
81		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) -> -. a e. |^| ran U )
82	80, 81	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) -> ( a e. b -> -. a e. |^| ran U ) )
83	82	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) -> ( a e. b -> -. a e. |^| ran U ) )
84	83	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. b /\ E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) -> -. a e. |^| ran U )
85	84	exlimiv 1858	. . . . . . . . . 10 |- ( E. b ( a e. b /\ E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) -> -. a e. |^| ran U )
86	79, 85	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( a e. U. { b | E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) } -> -. a e. |^| ran U )
87		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) = ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) )
88	87	rnmpt 5371	. . . . . . . . . 10 |- ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) = { b | E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) }
89	88	unieqi 4445	. . . . . . . . 9 |- U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) = U. { b | E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) }
90	86, 89	eleq2s 2719	. . . . . . . 8 |- ( a e. U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) -> -. a e. |^| ran U )
91	78, 90	mprgbir 2927	. . . . . . 7 |- ( U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) i^i |^| ran U ) = (/)
92		ssdisj 4026	. . . . . . 7 |- ( ( U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) C_ U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) /\ ( U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) i^i |^| ran U ) = (/) ) -> ( U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) i^i |^| ran U ) = (/) )
93	77, 91, 92	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) i^i |^| ran U ) = (/)
94	75, 93	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) )
95	94	a1d 25	. . . 4 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) )
96	95	adantl 482	. . 3 |- ( ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) -> ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) )
97	72, 96	jaoi 394	. 2 |- ( ( ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) \/ ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) ) -> ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) )
98	1, 3, 97	mp2b 10	1 |- ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065  seq_𝜔cseqom 7542   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765

This theorem is referenced by:  fin23lem31  9165