Theorem ufinffr 21733

Description: An infinite subset is contained in a free ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ufinffr	|- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> E. f e. ( UFil ` X ) ( A e. f /\ |^| f = (/) ) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f   f, X

Proof of Theorem ufinffr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ominf 8172	. . . . 5 |- -. om e. Fin
2		domfi 8181	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ om ~<_ A ) -> om e. Fin )
3	2	expcom 451	. . . . 5 |- ( om ~<_ A -> ( A e. Fin -> om e. Fin ) )
4	1, 3	mtoi 190	. . . 4 |- ( om ~<_ A -> -. A e. Fin )
5		cfinfil 21697	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ -. A e. Fin ) -> { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } e. ( Fil ` X ) )
6	4, 5	syl3an3 1361	. . 3 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } e. ( Fil ` X ) )
7		filssufil 21716	. . 3 |- ( { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } e. ( Fil ` X ) -> E. f e. ( UFil ` X ) { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } C_ f )
8	6, 7	syl 17	. 2 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> E. f e. ( UFil ` X ) { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } C_ f )
9		elpw2g 4827	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( A e. ~P X <-> A C_ X ) )
10	9	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ A C_ X ) -> A e. ~P X )
11	10	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> A e. ~P X )
12		0fin 8188	. . . . . . 7 |- (/) e. Fin
13	12	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> (/) e. Fin )
14		difeq2 3722	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( A \ x ) = ( A \ A ) )
15		difid 3948	. . . . . . . . 9 |- ( A \ A ) = (/)
16	14, 15	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( A \ x ) = (/) )
17	16	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( A \ x ) e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
18	17	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( A e. { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } <-> ( A e. ~P X /\ (/) e. Fin ) )
19	11, 13, 18	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> A e. { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } )
20		ssel 3597	. . . . 5 |- ( { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } C_ f -> ( A e. { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } -> A e. f ) )
21	19, 20	syl5com 31	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> ( { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } C_ f -> A e. f ) )
22		intss 4498	. . . . . 6 |- ( { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } C_ f -> |^| f C_ |^| { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } )
23		neldifsn 4321	. . . . . . . . . 10 |- -. y e. ( A \ { y } )
24		elinti 4485	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. |^| { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } -> ( ( A \ { y } ) e. { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } -> y e. ( A \ { y } ) ) )
25	23, 24	mtoi 190	. . . . . . . . 9 |- ( y e. |^| { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } -> -. ( A \ { y } ) e. { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } )
26		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> A C_ X )
27	26	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> ( A \ { y } ) C_ X )
28		elpw2g 4827	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. B -> ( ( A \ { y } ) e. ~P X <-> ( A \ { y } ) C_ X ) )
29	28	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> ( ( A \ { y } ) e. ~P X <-> ( A \ { y } ) C_ X ) )
30	27, 29	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> ( A \ { y } ) e. ~P X )
31		snfi 8038	. . . . . . . . . . . 12 |- { y } e. Fin
32		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( A \ ( A \ { y } ) ) <-> ( x e. A /\ -. x e. ( A \ { y } ) ) )
33		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( A \ { y } ) <-> ( x e. A /\ -. x e. { y } ) )
34	33	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x e. ( A \ { y } ) <-> -. ( x e. A /\ -. x e. { y } ) )
35		iman 440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A -> x e. { y } ) <-> -. ( x e. A /\ -. x e. { y } ) )
36	34, 35	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. x e. ( A \ { y } ) <-> ( x e. A -> x e. { y } ) )
37	36	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ -. x e. ( A \ { y } ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. A -> x e. { y } ) ) )
38	32, 37	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( A \ ( A \ { y } ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. A -> x e. { y } ) ) )
39		pm3.35 611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ ( x e. A -> x e. { y } ) ) -> x e. { y } )
40	38, 39	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A \ ( A \ { y } ) ) -> x e. { y } )
41	40	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A \ ( A \ { y } ) ) C_ { y }
42		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { y } e. Fin /\ ( A \ ( A \ { y } ) ) C_ { y } ) -> ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin )
43	31, 41, 42	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin )
45		difeq2 3722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( A \ x ) = ( A \ ( A \ { y } ) ) )
46	45	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( ( A \ x ) e. Fin <-> ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin ) )
47	46	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ { y } ) e. { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } <-> ( ( A \ { y } ) e. ~P X /\ ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin ) )
48	30, 44, 47	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> ( A \ { y } ) e. { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } )
49	25, 48	nsyl3 133	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> -. y e. |^| { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } )
50	49	eq0rdv 3979	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> |^| { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } = (/) )
51	50	sseq2d 3633	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> ( |^| f C_ |^| { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } <-> |^| f C_ (/) ) )
52	22, 51	syl5ib 234	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> ( { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } C_ f -> |^| f C_ (/) ) )
53		ss0 3974	. . . . 5 |- ( |^| f C_ (/) -> |^| f = (/) )
54	52, 53	syl6 35	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> ( { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } C_ f -> |^| f = (/) ) )
55	21, 54	jcad 555	. . 3 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> ( { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } C_ f -> ( A e. f /\ |^| f = (/) ) ) )
56	55	reximdv 3016	. 2 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> ( E. f e. ( UFil ` X ) { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } C_ f -> E. f e. ( UFil ` X ) ( A e. f /\ |^| f = (/) ) ) )
57	8, 56	mpd 15	1 |- ( ( X e. B /\ A C_ X /\ om ~<_ A ) -> E. f e. ( UFil ` X ) ( A e. f /\ |^| f = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   Filcfil 21649   UFilcufil 21703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-card 8765  df-ac 8939  df-cda 8990  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-ufil 21705

This theorem is referenced by: (None)