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Theorem volfiniun 23315
Description: The volume of a disjoint finite union of measurable sets is the sum of the measures. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
volfiniun |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. A B ) -> ( vol ` U_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( vol ` B ) )
Distinct variable group:   A, k
Allowed substitution hint:   B( k)
Proof of Theorem volfiniun
Dummy variables m n w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3138 . . . . 5 |- ( w = (/) -> ( A. k e. w ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> A. k e. (/) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) )
2 disjeq1 4627 . . . . 5 |- ( w = (/) -> (Disj k e. w B <-> Disj k e. (/) B ) )
31, 2anbi12d 747 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( A. k e. w ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. w B ) <-> ( A. k e. (/) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. (/) B ) ) )
4 iuneq1 4534 . . . . . 6 |- ( w = (/) -> U_ k e. w B = U_ k e. (/) B )
54fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( w = (/) -> ( vol ` U_ k e. w B ) = ( vol ` U_ k e. (/) B ) )
6 sumeq1 14419 . . . . 5 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w ( vol ` B ) = sum_ k e. (/) ( vol ` B ) )
75, 6eqeq12d 2637 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( vol ` U_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( vol ` B ) <-> ( vol ` U_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( vol ` B ) ) )
83, 7imbi12d 334 . . 3 |- ( w = (/) -> ( ( ( A. k e. w ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. w B ) -> ( vol ` U_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( vol ` B ) ) <-> ( ( A. k e. (/) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. (/) B ) -> ( vol ` U_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( vol ` B ) ) ) )
9 raleq 3138 . . . . 5 |- ( w = y -> ( A. k e. w ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> A. k e. y ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) )
10 disjeq1 4627 . . . . 5 |- ( w = y -> (Disj k e. w B <-> Disj k e. y B ) )
119, 10anbi12d 747 . . . 4 |- ( w = y -> ( ( A. k e. w ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. w B ) <-> ( A. k e. y ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. y B ) ) )
12 iuneq1 4534 . . . . . 6 |- ( w = y -> U_ k e. w B = U_ k e. y B )
1312fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( w = y -> ( vol ` U_ k e. w B ) = ( vol ` U_ k e. y B ) )
14 sumeq1 14419 . . . . 5 |- ( w = y -> sum_ k e. w ( vol ` B ) = sum_ k e. y ( vol ` B ) )
1513, 14eqeq12d 2637 . . . 4 |- ( w = y -> ( ( vol ` U_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( vol ` B ) <-> ( vol ` U_ k e. y B ) = sum_ k e. y ( vol ` B ) ) )
1611, 15imbi12d 334 . . 3 |- ( w = y -> ( ( ( A. k e. w ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. w B ) -> ( vol ` U_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( vol ` B ) ) <-> ( ( A. k e. y ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. y B ) -> ( vol ` U_ k e. y B ) = sum_ k e. y ( vol ` B ) ) ) )
17 raleq 3138 . . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A. k e. w ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) )
18 disjeq1 4627 . . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (Disj k e. w B <-> Disj k e. ( y u. { z } ) B ) )
1917, 18anbi12d 747 . . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A. k e. w ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. w B ) <-> ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) )
20 iuneq1 4534 . . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> U_ k e. w B = U_ k e. ( y u. { z } ) B )
2120fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( vol ` U_ k e. w B ) = ( vol ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
22 sumeq1 14419 . . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w ( vol ` B ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol ` B ) )
2321, 22eqeq12d 2637 . . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( vol ` U_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( vol ` B ) <-> ( vol ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol ` B ) ) )
2419, 23imbi12d 334 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ( A. k e. w ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. w B ) -> ( vol ` U_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( vol ` B ) ) <-> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) -> ( vol ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol ` B ) ) ) )
25 raleq 3138 . . . . 5 |- ( w = A -> ( A. k e. w ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> A. k e. A ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) )
26 disjeq1 4627 . . . . 5 |- ( w = A -> (Disj k e. w B <-> Disj k e. A B ) )
2725, 26anbi12d 747 . . . 4 |- ( w = A -> ( ( A. k e. w ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. w B ) <-> ( A. k e. A ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. A B ) ) )
28 iuneq1 4534 . . . . . 6 |- ( w = A -> U_ k e. w B = U_ k e. A B )
2928fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( w = A -> ( vol ` U_ k e. w B ) = ( vol ` U_ k e. A B ) )
30 sumeq1 14419 . . . . 5 |- ( w = A -> sum_ k e. w ( vol ` B ) = sum_ k e. A ( vol ` B ) )
3129, 30eqeq12d 2637 . . . 4 |- ( w = A -> ( ( vol ` U_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( vol ` B ) <-> ( vol ` U_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( vol ` B ) ) )
3227, 31imbi12d 334 . . 3 |- ( w = A -> ( ( ( A. k e. w ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. w B ) -> ( vol ` U_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( vol ` B ) ) <-> ( ( A. k e. A ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. A B ) -> ( vol ` U_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( vol ` B ) ) ) )
33 0mbl 23307 . . . . . . 7 |- (/) e. dom vol
34 mblvol 23298 . . . . . . 7 |- ( (/) e. dom vol -> ( vol ` (/) ) = ( vol* ` (/) ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( vol ` (/) ) = ( vol* ` (/) )
36 ovol0 23261 . . . . . 6 |- ( vol* ` (/) ) = 0
3735, 36eqtri 2644 . . . . 5 |- ( vol ` (/) ) = 0
38 0iun 4577 . . . . . 6 |- U_ k e. (/) B = (/)
3938fveq2i 6194 . . . . 5 |- ( vol ` U_ k e. (/) B ) = ( vol ` (/) )
40 sum0 14452 . . . . 5 |- sum_ k e. (/) ( vol ` B ) = 0
4137, 39, 403eqtr4i 2654 . . . 4 |- ( vol ` U_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( vol ` B )
4241a1i 11 . . 3 |- ( ( A. k e. (/) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. (/) B ) -> ( vol ` U_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( vol ` B ) )
43 ssun1 3776 . . . . . . 7 |- y C_ ( y u. { z } )
44 ssralv 3666 . . . . . . 7 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) -> A. k e. y ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) -> A. k e. y ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) )
46 disjss1 4626 . . . . . . 7 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> (Disj k e. ( y u. { z } ) B -> Disj k e. y B ) )
4743, 46ax-mp 5 . . . . . 6 |- (Disj k e. ( y u. { z } ) B -> Disj k e. y B )
4845, 47anim12i 590 . . . . 5 |- ( ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) -> ( A. k e. y ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. y B ) )
4948imim1i 63 . . . 4 |- ( ( ( A. k e. y ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. y B ) -> ( vol ` U_ k e. y B ) = sum_ k e. y ( vol ` B ) ) -> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) -> ( vol ` U_ k e. y B ) = sum_ k e. y ( vol ` B ) ) )
50 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( ( vol ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) = sum_ m e. y ( vol ` [_ m / k ]_ B ) -> ( ( vol ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) + ( vol ` [_ z / k ]_ B ) ) = ( sum_ m e. y ( vol ` [_ m / k ]_ B ) + ( vol ` [_ z / k ]_ B ) ) )
51 iunxun 4605 . . . . . . . . . . . 12 |- U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B = ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B u. U_ m e. { z } [_ m / k ]_ B )
52 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
53 csbeq1 3536 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = z -> [_ m / k ]_ B = [_ z / k ]_ B )
5452, 53iunxsn 4603 . . . . . . . . . . . . 13 |- U_ m e. { z } [_ m / k ]_ B = [_ z / k ]_ B
5554uneq2i 3764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B u. U_ m e. { z } [_ m / k ]_ B ) = ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B u. [_ z / k ]_ B )
5651, 55eqtri 2644 . . . . . . . . . . 11 |- U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B = ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B u. [_ z / k ]_ B )
5756fveq2i 6194 . . . . . . . . . 10 |- ( vol ` U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B ) = ( vol ` ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B u. [_ z / k ]_ B ) )
58 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ m B
59 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ m / k ]_ B
60 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> B = [_ m / k ]_ B )
6158, 59, 60cbviun 4557 . . . . . . . . . . . 12 |- U_ k e. y B = U_ m e. y [_ m / k ]_ B
62 simpll 790 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> y e. Fin )
63 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) )
64 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) -> B e. dom vol )
6564ralimi 2952 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) -> A. k e. ( y u. { z } ) B e. dom vol )
6663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> A. k e. ( y u. { z } ) B e. dom vol )
67 ssralv 3666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( A. k e. ( y u. { z } ) B e. dom vol -> A. k e. y B e. dom vol ) )
6843, 66, 67mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> A. k e. y B e. dom vol )
69 finiunmbl 23312 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Fin /\ A. k e. y B e. dom vol ) -> U_ k e. y B e. dom vol )
7062, 68, 69syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> U_ k e. y B e. dom vol )
7161, 70syl5eqelr 2706 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> U_ m e. y [_ m / k ]_ B e. dom vol )
72 ssun2 3777 . . . . . . . . . . . . . 14 |- { z } C_ ( y u. { z } )
73 vsnid 4209 . . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. { z }
7472, 73sselii 3600 . . . . . . . . . . . . 13 |- z e. ( y u. { z } )
75 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
7675nfel1 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. dom vol
77 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k vol
7877, 75nffv 6198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( vol ` [_ z / k ]_ B )
7978nfel1 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( vol ` [_ z / k ]_ B ) e. RR
8076, 79nfan 1828 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( [_ z / k ]_ B e. dom vol /\ ( vol ` [_ z / k ]_ B ) e. RR )
81 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
8281eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( B e. dom vol <-> [_ z / k ]_ B e. dom vol ) )
8381fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> ( vol ` B ) = ( vol ` [_ z / k ]_ B ) )
8483eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( ( vol ` B ) e. RR <-> ( vol ` [_ z / k ]_ B ) e. RR ) )
8582, 84anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = z -> ( ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> ( [_ z / k ]_ B e. dom vol /\ ( vol ` [_ z / k ]_ B ) e. RR ) ) )
8680, 85rspc 3303 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( y u. { z } ) -> ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) -> ( [_ z / k ]_ B e. dom vol /\ ( vol ` [_ z / k ]_ B ) e. RR ) ) )
8774, 63, 86mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( [_ z / k ]_ B e. dom vol /\ ( vol ` [_ z / k ]_ B ) e. RR ) )
8887simpld 475 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> [_ z / k ]_ B e. dom vol )
89 simplr 792 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> -. z e. y )
90 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B i^i [_ z / k ]_ B ) <-> ( w e. U_ m e. y [_ m / k ]_ B /\ w e. [_ z / k ]_ B ) )
91 eliun 4524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. U_ m e. y [_ m / k ]_ B <-> E. m e. y w e. [_ m / k ]_ B )
92 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ ( m e. y /\ w e. [_ m / k ]_ B /\ w e. [_ z / k ]_ B ) ) -> Disj k e. ( y u. { z } ) B )
93 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ n B
94 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
95 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
9693, 94, 95cbvdisj 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (Disj k e. ( y u. { z } ) B <-> Disj n e. ( y u. { z } ) [_ n / k ]_ B )
9792, 96sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ ( m e. y /\ w e. [_ m / k ]_ B /\ w e. [_ z / k ]_ B ) ) -> Disj n e. ( y u. { z } ) [_ n / k ]_ B )
98 simpr1 1067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ ( m e. y /\ w e. [_ m / k ]_ B /\ w e. [_ z / k ]_ B ) ) -> m e. y )
99 elun1 3780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. y -> m e. ( y u. { z } ) )
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ ( m e. y /\ w e. [_ m / k ]_ B /\ w e. [_ z / k ]_ B ) ) -> m e. ( y u. { z } ) )
10174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ ( m e. y /\ w e. [_ m / k ]_ B /\ w e. [_ z / k ]_ B ) ) -> z e. ( y u. { z } ) )
102 simpr2 1068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ ( m e. y /\ w e. [_ m / k ]_ B /\ w e. [_ z / k ]_ B ) ) -> w e. [_ m / k ]_ B )
103 simpr3 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ ( m e. y /\ w e. [_ m / k ]_ B /\ w e. [_ z / k ]_ B ) ) -> w e. [_ z / k ]_ B )
104 csbeq1 3536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = m -> [_ n / k ]_ B = [_ m / k ]_ B )
105 csbeq1 3536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = z -> [_ n / k ]_ B = [_ z / k ]_ B )
106104, 105disji 4637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (Disj n e. ( y u. { z } ) [_ n / k ]_ B /\ ( m e. ( y u. { z } ) /\ z e. ( y u. { z } ) ) /\ ( w e. [_ m / k ]_ B /\ w e. [_ z / k ]_ B ) ) -> m = z )
10797, 100, 101, 102, 103, 106syl122anc 1335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ ( m e. y /\ w e. [_ m / k ]_ B /\ w e. [_ z / k ]_ B ) ) -> m = z )
108107, 98eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ ( m e. y /\ w e. [_ m / k ]_ B /\ w e. [_ z / k ]_ B ) ) -> z e. y )
1091083exp2 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( m e. y -> ( w e. [_ m / k ]_ B -> ( w e. [_ z / k ]_ B -> z e. y ) ) ) )
110109rexlimdv 3030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( E. m e. y w e. [_ m / k ]_ B -> ( w e. [_ z / k ]_ B -> z e. y ) ) )
11191, 110syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( w e. U_ m e. y [_ m / k ]_ B -> ( w e. [_ z / k ]_ B -> z e. y ) ) )
112111impd 447 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( ( w e. U_ m e. y [_ m / k ]_ B /\ w e. [_ z / k ]_ B ) -> z e. y ) )
11390, 112syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( w e. ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B i^i [_ z / k ]_ B ) -> z e. y ) )
11489, 113mtod 189 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> -. w e. ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B i^i [_ z / k ]_ B ) )
115114eq0rdv 3979 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B i^i [_ z / k ]_ B ) = (/) )
116 mblvol 23298 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B e. dom vol -> ( vol ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) = ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) )
11771, 116syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( vol ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) = ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) )
118 nfv 1843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ m ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR )
11959nfel1 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ k [_ m / k ]_ B e. dom vol
12077, 59nffv 6198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ k ( vol ` [_ m / k ]_ B )
121120nfel1 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ k ( vol ` [_ m / k ]_ B ) e. RR
122119, 121nfan 1828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ k ( [_ m / k ]_ B e. dom vol /\ ( vol ` [_ m / k ]_ B ) e. RR )
12360eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = m -> ( B e. dom vol <-> [_ m / k ]_ B e. dom vol ) )
12460fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = m -> ( vol ` B ) = ( vol ` [_ m / k ]_ B ) )
125124eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = m -> ( ( vol ` B ) e. RR <-> ( vol ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) )
126123, 125anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = m -> ( ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> ( [_ m / k ]_ B e. dom vol /\ ( vol ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) ) )
127118, 122, 126cbvral 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> A. m e. ( y u. { z } ) ( [_ m / k ]_ B e. dom vol /\ ( vol ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) )
12863, 127sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> A. m e. ( y u. { z } ) ( [_ m / k ]_ B e. dom vol /\ ( vol ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) )
129128r19.21bi 2932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ m e. ( y u. { z } ) ) -> ( [_ m / k ]_ B e. dom vol /\ ( vol ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) )
130129simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ m e. ( y u. { z } ) ) -> [_ m / k ]_ B e. dom vol )
131 mblss 23299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [_ m / k ]_ B e. dom vol -> [_ m / k ]_ B C_ RR )
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ m e. ( y u. { z } ) ) -> [_ m / k ]_ B C_ RR )
13399, 132sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ m e. y ) -> [_ m / k ]_ B C_ RR )
134133ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> A. m e. y [_ m / k ]_ B C_ RR )
135 iunss 4561 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B C_ RR <-> A. m e. y [_ m / k ]_ B C_ RR )
136134, 135sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> U_ m e. y [_ m / k ]_ B C_ RR )
137 mblvol 23298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [_ m / k ]_ B e. dom vol -> ( vol ` [_ m / k ]_ B ) = ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) )
138137eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [_ m / k ]_ B e. dom vol -> ( ( vol ` [_ m / k ]_ B ) e. RR <-> ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) )
139138biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( [_ m / k ]_ B e. dom vol /\ ( vol ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) -> ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR )
140129, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ m e. ( y u. { z } ) ) -> ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR )
14199, 140sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ m e. y ) -> ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR )
14262, 141fsumrecl 14465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> sum_ m e. y ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR )
143131adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( [_ m / k ]_ B e. dom vol /\ ( vol ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) -> [_ m / k ]_ B C_ RR )
144143, 139jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( [_ m / k ]_ B e. dom vol /\ ( vol ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) -> ( [_ m / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) )
145144ralimi 2952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. m e. ( y u. { z } ) ( [_ m / k ]_ B e. dom vol /\ ( vol ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) -> A. m e. ( y u. { z } ) ( [_ m / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) )
146128, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> A. m e. ( y u. { z } ) ( [_ m / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) )
147 ssralv 3666 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) ( [_ m / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) -> A. m e. y ( [_ m / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) ) )
14843, 146, 147mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> A. m e. y ( [_ m / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) )
149 ovolfiniun 23269 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Fin /\ A. m e. y ( [_ m / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) <_ sum_ m e. y ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) )
15062, 148, 149syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) <_ sum_ m e. y ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) )
151 ovollecl 23251 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B C_ RR /\ sum_ m e. y ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR /\ ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) <_ sum_ m e. y ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) ) -> ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) e. RR )
152136, 142, 150, 151syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) e. RR )
153117, 152eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( vol ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) e. RR )
15487simprd 479 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( vol ` [_ z / k ]_ B ) e. RR )
155 volun 23313 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B e. dom vol /\ [_ z / k ]_ B e. dom vol /\ ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B i^i [_ z / k ]_ B ) = (/) ) /\ ( ( vol ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) e. RR /\ ( vol ` [_ z / k ]_ B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B u. [_ z / k ]_ B ) ) = ( ( vol ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) + ( vol ` [_ z / k ]_ B ) ) )
15671, 88, 115, 153, 154, 155syl32anc 1334 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( vol ` ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B u. [_ z / k ]_ B ) ) = ( ( vol ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) + ( vol ` [_ z / k ]_ B ) ) )
15757, 156syl5eq 2668 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( vol ` U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B ) = ( ( vol ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) + ( vol ` [_ z / k ]_ B ) ) )
158 disjsn 4246 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
15989, 158sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
160 eqidd 2623 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
161 snfi 8038 . . . . . . . . . . . 12 |- { z } e. Fin
162 unfi 8227 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
16362, 161, 162sylancl 694 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
164129simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ m e. ( y u. { z } ) ) -> ( vol ` [_ m / k ]_ B ) e. RR )
165164recnd 10068 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) /\ m e. ( y u. { z } ) ) -> ( vol ` [_ m / k ]_ B ) e. CC )
166159, 160, 163, 165fsumsplit 14471 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> sum_ m e. ( y u. { z } ) ( vol ` [_ m / k ]_ B ) = ( sum_ m e. y ( vol ` [_ m / k ]_ B ) + sum_ m e. { z } ( vol ` [_ m / k ]_ B ) ) )
167154recnd 10068 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( vol ` [_ z / k ]_ B ) e. CC )
16853fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = z -> ( vol ` [_ m / k ]_ B ) = ( vol ` [_ z / k ]_ B ) )
169168sumsn 14475 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. _V /\ ( vol ` [_ z / k ]_ B ) e. CC ) -> sum_ m e. { z } ( vol ` [_ m / k ]_ B ) = ( vol ` [_ z / k ]_ B ) )
17052, 167, 169sylancr 695 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> sum_ m e. { z } ( vol ` [_ m / k ]_ B ) = ( vol ` [_ z / k ]_ B ) )
171170oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( sum_ m e. y ( vol ` [_ m / k ]_ B ) + sum_ m e. { z } ( vol ` [_ m / k ]_ B ) ) = ( sum_ m e. y ( vol ` [_ m / k ]_ B ) + ( vol ` [_ z / k ]_ B ) ) )
172166, 171eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> sum_ m e. ( y u. { z } ) ( vol ` [_ m / k ]_ B ) = ( sum_ m e. y ( vol ` [_ m / k ]_ B ) + ( vol ` [_ z / k ]_ B ) ) )
173157, 172eqeq12d 2637 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( ( vol ` U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B ) = sum_ m e. ( y u. { z } ) ( vol ` [_ m / k ]_ B ) <-> ( ( vol ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) + ( vol ` [_ z / k ]_ B ) ) = ( sum_ m e. y ( vol ` [_ m / k ]_ B ) + ( vol ` [_ z / k ]_ B ) ) ) )
17450, 173syl5ibr 236 . . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( ( vol ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) = sum_ m e. y ( vol ` [_ m / k ]_ B ) -> ( vol ` U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B ) = sum_ m e. ( y u. { z } ) ( vol ` [_ m / k ]_ B ) ) )
17561fveq2i 6194 . . . . . . . 8 |- ( vol ` U_ k e. y B ) = ( vol ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B )
176 nfcv 2764 . . . . . . . . 9 |- F/_ m ( vol ` B )
177176, 120, 124cbvsumi 14427 . . . . . . . 8 |- sum_ k e. y ( vol ` B ) = sum_ m e. y ( vol ` [_ m / k ]_ B )
178175, 177eqeq12i 2636 . . . . . . 7 |- ( ( vol ` U_ k e. y B ) = sum_ k e. y ( vol ` B ) <-> ( vol ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) = sum_ m e. y ( vol ` [_ m / k ]_ B ) )
17958, 59, 60cbviun 4557 . . . . . . . . 9 |- U_ k e. ( y u. { z } ) B = U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B
180179fveq2i 6194 . . . . . . . 8 |- ( vol ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( vol ` U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B )
181176, 120, 124cbvsumi 14427 . . . . . . . 8 |- sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol ` B ) = sum_ m e. ( y u. { z } ) ( vol ` [_ m / k ]_ B )
182180, 181eqeq12i 2636 . . . . . . 7 |- ( ( vol ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol ` B ) <-> ( vol ` U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B ) = sum_ m e. ( y u. { z } ) ( vol ` [_ m / k ]_ B ) )
183174, 178, 1823imtr4g 285 . . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) ) -> ( ( vol ` U_ k e. y B ) = sum_ k e. y ( vol ` B ) -> ( vol ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol ` B ) ) )
184183ex 450 . . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) -> ( ( vol ` U_ k e. y B ) = sum_ k e. y ( vol ` B ) -> ( vol ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol ` B ) ) ) )
185184a2d 29 . . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) -> ( vol ` U_ k e. y B ) = sum_ k e. y ( vol ` B ) ) -> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) -> ( vol ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol ` B ) ) ) )
18649, 185syl5 34 . . 3 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A. k e. y ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. y B ) -> ( vol ` U_ k e. y B ) = sum_ k e. y ( vol ` B ) ) -> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. ( y u. { z } ) B ) -> ( vol ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol ` B ) ) ) )
1878, 16, 24, 32, 42, 186findcard2s 8201 . 2 |- ( A e. Fin -> ( ( A. k e. A ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. A B ) -> ( vol ` U_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( vol ` B ) ) )
1881873impib 1262 1 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj k e. A B ) -> ( vol ` U_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( vol ` B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   sum_csu 14416   vol*covol 23231   volcvol 23232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234
This theorem is referenced by:  uniioovol  23347  uniioombllem4  23354  itg1addlem1  23459  volfiniune  30293
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