Theorem smu01lem 15207

Description: Lemma for smu01 15208 and smu02 15209. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smu01lem.1	|- ( ph -> A C_ NN0 )
smu01lem.2	|- ( ph -> B C_ NN0 )
smu01lem.3	|- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> -. ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
smu01lem	|- ( ph -> ( A smul B ) = (/) )

Distinct variable groups:   k, n, A   B, k, n   ph, k, n

Proof of Theorem smu01lem

Dummy variables m p x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smu01lem.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ NN0 )
2		smu01lem.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ NN0 )
3		smucl 15206	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> ( A smul B ) C_ NN0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( A smul B ) C_ NN0 )
5	4	sseld 3602	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. ( A smul B ) -> k e. NN0 ) )
6		noel 3919	. . . . . . 7 |- -. k e. (/)
7		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` x ) = ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` 0 ) )
9	8	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` x ) = (/) <-> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` 0 ) = (/) ) )
10	9	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( ( ph -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` x ) = (/) ) <-> ( ph -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` 0 ) = (/) ) ) )
11		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` x ) = ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) )
12	11	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = k -> ( ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` x ) = (/) <-> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) = (/) ) )
13	12	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( ( ph -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` x ) = (/) ) <-> ( ph -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) = (/) ) ) )
14		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` x ) = ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) )
15	14	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` x ) = (/) <-> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = (/) ) )
16	15	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` x ) = (/) ) <-> ( ph -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = (/) ) ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
18	1, 2, 17	smup0 15201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` 0 ) = (/) )
19		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) = (/) -> ( ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) = ( (/) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) )
20	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> A C_ NN0 )
21	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B C_ NN0 )
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
23	20, 21, 17, 22	smupp1 15202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) )
24		smu01lem.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> -. ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) )
25	24	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> -. ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) )
26	25	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> A. n e. NN0 -. ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) )
27		rabeq0 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } = (/) <-> A. n e. NN0 -. ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) )
28	26, 27	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } = (/) )
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( (/) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) = ( (/) sadd (/) ) )
30		0ss 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (/) C_ NN0
31		sadid1 15190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (/) C_ NN0 -> ( (/) sadd (/) ) = (/) )
32	30, 31	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( (/) sadd (/) ) = (/) )
33	29, 32	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> (/) = ( (/) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) )
34	23, 33	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = (/) <-> ( ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) = ( (/) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) ) )
35	19, 34	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) = (/) -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = (/) ) )
36	35	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( ph -> ( ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) = (/) -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = (/) ) ) )
37	36	a2d 29	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ( ph -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) = (/) ) -> ( ph -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = (/) ) ) )
38	10, 13, 16, 16, 18, 37	nn0ind 11472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k + 1 ) e. NN0 -> ( ph -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = (/) ) )
39	7, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( ph -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = (/) ) )
40	39	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = (/) )
41	40	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k e. ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) <-> k e. (/) ) )
42	6, 41	mtbiri 317	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> -. k e. ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) )
43	20, 21, 17, 22	smuval 15203	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k e. ( A smul B ) <-> k e. ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) ) )
44	42, 43	mtbird 315	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> -. k e. ( A smul B ) )
45	44	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. NN0 -> -. k e. ( A smul B ) ) )
46	5, 45	syld 47	. . 3 |- ( ph -> ( k e. ( A smul B ) -> -. k e. ( A smul B ) ) )
47	46	pm2.01d 181	. 2 |- ( ph -> -. k e. ( A smul B ) )
48	47	eq0rdv 3979	1 |- ( ph -> ( A smul B ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NN0cn0 11292   seqcseq 12801   sadd csad 15142   smul csmu 15143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-had 1533  df-cad 1546  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-sad 15173  df-smu 15198

This theorem is referenced by:  smu01  15208  smu02  15209