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Theorem bcthlem5 23125

Description: Lemma for bcth 23126. The proof makes essential use of the Axiom of Dependent Choice axdc4uz 12783, which in the form used here accepts a "selection" function

from each element of

to a nonempty subset of

, and the result function

maps

to an element of

. The trick here is thus in the choice of

and

: we let

be the set of all tagged nonempty open sets (tagged here meaning that we have a point and an open set, in an ordered pair), and

gives the set of all balls of size less than

, tagged by their centers, whose closures fit within the given open set

and miss

Since is closed, $\$ is open and also nonempty, since is nonempty and has empty interior. Then there is some ball contained in it, and hence our function is valid (it never maps to the empty set). Now starting at a point in the interior of , DC gives us the function all whose elements are constrained by acting on the previous value. (This is all proven in this lemma.) Now is a sequence of tagged open balls, forming an inclusion chain (see bcthlem2 23122) and whose sizes tend to zero, since they are bounded above by . Thus, the centers of these balls form a Cauchy sequence, and converge to a point (see bcthlem4 23124). Since the inclusion chain also ensures the closure of each ball is in the previous ball, the point must be in all these balls (see bcthlem3 23123) and hence misses each , contradicting the fact that is in the interior of (which was the starting point). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bcth.2
bcthlem.4
bcthlem.5	$/\$ $/\$ $/\$ $\$
bcthlem.6
bcthlem5.7

**Assertion**
Ref	Expression
bcthlem5

Distinct variable groups:

Proof of Theorem bcthlem5 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcthlem.4	. . . . . 6
2		cmetmet 23084	. . . . . 6
3		metxmet 22139	. . . . . 6
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . 5
5		bcth.2	. . . . . . . 8
6	5	mopntop 22245	. . . . . . 7
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6
8		bcthlem.6	. . . . . . . . 9
9		frn 6053	. . . . . . . . 9
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8
11		eqid 2622	. . . . . . . . 9
12	11	cldss2 20834	. . . . . . . 8
13	10, 12	syl6ss 3615	. . . . . . 7
14		sspwuni 4611	. . . . . . 7
15	13, 14	sylib 208	. . . . . 6
16	11	ntropn 20853	. . . . . 6 $/\$
17	7, 15, 16	syl2anc 693	. . . . 5
18	4, 17	jca 554	. . . 4 $/\$
19	5	mopni2 22298	. . . . 5 $/\$ $/\$
20	19	3expa 1265	. . . 4 $/\$ $/\$
21	18, 20	sylan 488	. . 3 $/\$
22	5	mopnuni 22246	. . . . . . . . . . . 12
23	4, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11
24	11	topopn 20711	. . . . . . . . . . . 12
25	7, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11
26	23, 25	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10
27		reex 10027	. . . . . . . . . . 11
28		rpssre 11843	. . . . . . . . . . 11
29	27, 28	ssexi 4803	. . . . . . . . . 10
30		xpexg 6960	. . . . . . . . . 10 $/\$
31	26, 29, 30	sylancl 694	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33	11	ntrss3 20864	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
34	7, 15, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
35	34, 23	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . 11
36	35	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
37		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
38	36, 37	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
39		simp3 1063	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
40		opelxpi 5148	. . . . . . . . 9 $/\$
41	38, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
42		opabssxp 5193	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
43		elpw2g 4827	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
44	31, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
46	42, 45	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
47		bcthlem5.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16
48		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
49		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
50	47, 48, 49	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
51		ssdif0 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
52		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
53	52	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
54	53	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
55		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
56	54, 55	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
57	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
58		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
59	58	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
60		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
61	60	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
62		bln0 22220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
64	56, 63	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
65	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
66		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
67	8, 48, 66	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
68	11	cldss 20833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
70	61	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
71	5	blopn 22305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
72	57, 59, 70, 71	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
73	56, 72	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
74	11	ssntr 20862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
76	65, 69, 73, 75	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
77		ssn0 3976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
78	77	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
79	64, 76, 78	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
80	51, 79	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$
81	80	necon2d 2817	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$
82	50, 81	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$
83		n0 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
84	4	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
85	11	difopn 20838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\$
86	73, 67, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$
87	86	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
88		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
89		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
90		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
91	90	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
92	89, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
93	5	mopni3 22299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $\$
94	84, 87, 88, 92, 93	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
95		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
96		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
97	73, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
98	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
99	97, 98	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
100	99	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
101	100	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$
102	101	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
103		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$
104		rphalfcl 11858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
105		rphalflt 11860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
106		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
107	106	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
108	104, 105, 107	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
109	108	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
110		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
111		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	115	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
120	112, 114, 116, 117, 119	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	4	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
124		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
125		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
126	123, 124, 125	3anim123i 1247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	126	3coml 1272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	5	blsscls 22312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	122, 127, 128	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $\$ $\$
131	129, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
132	120, 131	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
133		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	133, 111	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	132, 134	jctild 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
136	135	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
137	136	com35 98	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
138	137	imp5d 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
139	138	eximdv 1846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
140	110, 139	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
141	109, 140	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
142	141	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
143	142	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
144	95, 102, 103, 143	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
145	94, 144	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
146	145	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
147	146	eximdv 1846	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
148	83, 147	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
149	82, 148	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
150		opabn0 5006	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
151	149, 150	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
152		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
153	46, 151, 152	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
154	153	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
155		bcthlem.5	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
156	155	fmpt2 7237	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
157	154, 156	sylib 208	. . . . . . . . 9 $\$
158	157	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$
159		1z 11407	. . . . . . . . 9
160		nnuz 11723	. . . . . . . . 9
161	159, 160	axdc4uz 12783	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
162	32, 41, 158, 161	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	163, 1	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165	163, 8	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166		simpl3 1066	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	38	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168		simpr1 1067	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169		simpr2 1068	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170		simpr3 1069	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
171		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
172	171	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11
173		id 22	. . . . . . . . . . . 12
174		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
175	173, 174	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
176	172, 175	eleq12d 2695	. . . . . . . . . 10
177	176	cbvralv 3171	. . . . . . . . 9
178	170, 177	sylib 208	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	5, 164, 155, 165, 166, 167, 168, 169, 178	bcthlem4 23124	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
180	162, 179	exlimddv 1863	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$
181	11	ntrss2 20861	. . . . . . . . . . 11 $/\$
182	7, 15, 181	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10
183		sstr2 3610	. . . . . . . . . 10
184	182, 183	syl5com 31	. . . . . . . . 9
185		ssdif0 3942	. . . . . . . . 9 $\$
186	184, 185	syl6ib 241	. . . . . . . 8 $\$
187	186	necon3ad 2807	. . . . . . 7 $\$
188	187	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$
189	180, 188	mpd 15	. . . . 5 $/\$ $/\$
190	189	3expa 1265	. . . 4 $/\$ $/\$
191	190	nrexdv 3001	. . 3 $/\$
192	21, 191	pm2.65da 600	. 2
193	192	eq0rdv 3979	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200 $\$ cdif 3571

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

csn 4177

cop 4183

cuni 4436 class class class wbr 4653

copab 4712

cxp 5112

crn 5115

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

c1st 7166

c2nd 7167

cr 9935

c1 9937

caddc 9939

cxr 10073

clt 10074

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

crp 11832

cxmt 19731

cme 19732

cbl 19733

cmopn 19736

ctop 20698

ccld 20820

cnt 20821

ccl 20822

cms 23052

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-dc 9268 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ico 12181 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lm 21033 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-cfil 23053 df-cau 23054 df-cmet 23055

This theorem is referenced by: bcth 23126

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