Theorem fta1g 23927

Description: The one-sided fundamental theorem of algebra. A polynomial of degree n has at most n roots. Unlike the real fundamental theorem fta 24806, which is only true in CC and other algebraically closed fields, this is true in any integral domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1g.p	|- P = (Poly1 ` R )
fta1g.b	|- B = ( Base ` P )
fta1g.d	|- D = ( deg1 ` R )
fta1g.o	|- O = (eval1 ` R )
fta1g.w	|- W = ( 0g ` R )
fta1g.z	|- .0. = ( 0g ` P )
fta1g.1	|- ( ph -> R e. IDomn )
fta1g.2	|- ( ph -> F e. B )
fta1g.3	|- ( ph -> F =/= .0. )

Assertion

Ref	Expression
fta1g	|- ( ph -> ( # ` ( `' ( O ` F ) " { W } ) ) <_ ( D ` F ) )

Proof of Theorem fta1g

Dummy variables f d g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 |- ( D ` F ) = ( D ` F )
2		fta1g.2	. . 3 |- ( ph -> F e. B )
3		fta1g.1	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. IDomn )
4		isidom 19304	. . . . . . 7 |- ( R e. IDomn <-> ( R e. CRing /\ R e. Domn ) )
5	4	simplbi 476	. . . . . 6 |- ( R e. IDomn -> R e. CRing )
6		crngring 18558	. . . . . 6 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
7	3, 5, 6	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
8		fta1g.3	. . . . 5 |- ( ph -> F =/= .0. )
9		fta1g.d	. . . . . 6 |- D = ( deg1 ` R )
10		fta1g.p	. . . . . 6 |- P = (Poly1 ` R )
11		fta1g.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` P )
12		fta1g.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` P )
13	9, 10, 11, 12	deg1nn0cl 23848	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ F =/= .0. ) -> ( D ` F ) e. NN0 )
14	7, 2, 8, 13	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( D ` F ) e. NN0 )
15		eqeq2 2633	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( ( D ` f ) = x <-> ( D ` f ) = 0 ) )
16	15	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( ( ( D ` f ) = x -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) <-> ( ( D ` f ) = 0 -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
17	16	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( A. f e. B ( ( D ` f ) = x -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) <-> A. f e. B ( ( D ` f ) = 0 -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
18	17	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( R e. IDomn -> A. f e. B ( ( D ` f ) = x -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) <-> ( R e. IDomn -> A. f e. B ( ( D ` f ) = 0 -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) ) )
19		eqeq2 2633	. . . . . . . 8 |- ( x = d -> ( ( D ` f ) = x <-> ( D ` f ) = d ) )
20	19	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( x = d -> ( ( ( D ` f ) = x -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) <-> ( ( D ` f ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
21	20	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( x = d -> ( A. f e. B ( ( D ` f ) = x -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) <-> A. f e. B ( ( D ` f ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
22	21	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = d -> ( ( R e. IDomn -> A. f e. B ( ( D ` f ) = x -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) <-> ( R e. IDomn -> A. f e. B ( ( D ` f ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) ) )
23		eqeq2 2633	. . . . . . . 8 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( D ` f ) = x <-> ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) )
24	23	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( ( D ` f ) = x -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) <-> ( ( D ` f ) = ( d + 1 ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
25	24	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( A. f e. B ( ( D ` f ) = x -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) <-> A. f e. B ( ( D ` f ) = ( d + 1 ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
26	25	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( R e. IDomn -> A. f e. B ( ( D ` f ) = x -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) <-> ( R e. IDomn -> A. f e. B ( ( D ` f ) = ( d + 1 ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) ) )
27		eqeq2 2633	. . . . . . . 8 |- ( x = ( D ` F ) -> ( ( D ` f ) = x <-> ( D ` f ) = ( D ` F ) ) )
28	27	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( x = ( D ` F ) -> ( ( ( D ` f ) = x -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) <-> ( ( D ` f ) = ( D ` F ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
29	28	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( x = ( D ` F ) -> ( A. f e. B ( ( D ` f ) = x -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) <-> A. f e. B ( ( D ` f ) = ( D ` F ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
30	29	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = ( D ` F ) -> ( ( R e. IDomn -> A. f e. B ( ( D ` f ) = x -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) <-> ( R e. IDomn -> A. f e. B ( ( D ` f ) = ( D ` F ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) ) )
31		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> ( D ` f ) = 0 )
32		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
33	31, 32	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> ( D ` f ) e. NN0 )
34	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. IDomn -> R e. Ring )
35		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) -> f e. B )
36	9, 10, 11, 12	deg1nn0clb 23850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ f e. B ) -> ( f =/= .0. <-> ( D ` f ) e. NN0 ) )
37	34, 35, 36	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> ( f =/= .0. <-> ( D ` f ) e. NN0 ) )
38	33, 37	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> f =/= .0. )
39		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> ( D ` f ) = 0 )
40		0le0 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 <_ 0
41	39, 40	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> ( D ` f ) <_ 0 )
42	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> R e. Ring )
43		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> f e. B )
44		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (algSc ` P ) = (algSc ` P )
45	9, 10, 12, 44	deg1le0 23871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ f e. B ) -> ( ( D ` f ) <_ 0 <-> f = ( (algSc ` P ) ` ( (coe1 ` f ) ` 0 ) ) ) )
46	42, 43, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> ( ( D ` f ) <_ 0 <-> f = ( (algSc ` P ) ` ( (coe1 ` f ) ` 0 ) ) ) )
47	41, 46	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> f = ( (algSc ` P ) ` ( (coe1 ` f ) ` 0 ) ) )
48	47	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> ( O ` f ) = ( O ` ( (algSc ` P ) ` ( (coe1 ` f ) ` 0 ) ) ) )
49	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> R e. CRing )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> R e. CRing )
51		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (coe1 ` f ) = (coe1 ` f )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
53	51, 12, 10, 52	coe1f 19581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f e. B -> (coe1 ` f ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
54	43, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> (coe1 ` f ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
55		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( (coe1 ` f ) : NN0 --> ( Base ` R ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( (coe1 ` f ) ` 0 ) e. ( Base ` R ) )
56	54, 32, 55	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> ( (coe1 ` f ) ` 0 ) e. ( Base ` R ) )
57		fta1g.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- O = (eval1 ` R )
58	57, 10, 52, 44	evl1sca 19698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. CRing /\ ( (coe1 ` f ) ` 0 ) e. ( Base ` R ) ) -> ( O ` ( (algSc ` P ) ` ( (coe1 ` f ) ` 0 ) ) ) = ( ( Base ` R ) X. { ( (coe1 ` f ) ` 0 ) } ) )
59	50, 56, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> ( O ` ( (algSc ` P ) ` ( (coe1 ` f ) ` 0 ) ) ) = ( ( Base ` R ) X. { ( (coe1 ` f ) ` 0 ) } ) )
60	48, 59	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> ( O ` f ) = ( ( Base ` R ) X. { ( (coe1 ` f ) ` 0 ) } ) )
61	60	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> ( ( O ` f ) ` x ) = ( ( ( Base ` R ) X. { ( (coe1 ` f ) ` 0 ) } ) ` x ) )
62		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R ^s ( Base ` R ) ) = ( R ^s ( Base ` R ) )
63		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Base ` ( R ^s ( Base ` R ) ) ) = ( Base ` ( R ^s ( Base ` R ) ) )
64		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> R e. IDomn )
65		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> ( Base ` R ) e. _V )
66	57, 10, 62, 52	evl1rhm 19696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. CRing -> O e. ( P RingHom ( R ^s ( Base ` R ) ) ) )
67	12, 63	rhmf 18726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( O e. ( P RingHom ( R ^s ( Base ` R ) ) ) -> O : B --> ( Base ` ( R ^s ( Base ` R ) ) ) )
68	49, 66, 67	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> O : B --> ( Base ` ( R ^s ( Base ` R ) ) ) )
69		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> f e. B )
70	68, 69	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> ( O ` f ) e. ( Base ` ( R ^s ( Base ` R ) ) ) )
71	62, 52, 63, 64, 65, 70	pwselbas 16149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> ( O ` f ) : ( Base ` R ) --> ( Base ` R ) )
72		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( O ` f ) : ( Base ` R ) --> ( Base ` R ) -> ( O ` f ) Fn ( Base ` R ) )
73		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( O ` f ) Fn ( Base ` R ) -> ( x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) <-> ( x e. ( Base ` R ) /\ ( ( O ` f ) ` x ) = W ) ) )
74	71, 72, 73	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> ( x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) <-> ( x e. ( Base ` R ) /\ ( ( O ` f ) ` x ) = W ) ) )
75	74	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> ( ( O ` f ) ` x ) = W )
76	74	simprbda 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
77		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( (coe1 ` f ) ` 0 ) e. _V
78	77	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( Base ` R ) -> ( ( ( Base ` R ) X. { ( (coe1 ` f ) ` 0 ) } ) ` x ) = ( (coe1 ` f ) ` 0 ) )
79	76, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> ( ( ( Base ` R ) X. { ( (coe1 ` f ) ` 0 ) } ) ` x ) = ( (coe1 ` f ) ` 0 ) )
80	61, 75, 79	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> ( (coe1 ` f ) ` 0 ) = W )
81	80	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> ( (algSc ` P ) ` ( (coe1 ` f ) ` 0 ) ) = ( (algSc ` P ) ` W ) )
82		fta1g.w	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- W = ( 0g ` R )
83	10, 44, 82, 11	ply1scl0 19660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Ring -> ( (algSc ` P ) ` W ) = .0. )
84	42, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> ( (algSc ` P ) ` W ) = .0. )
85	47, 81, 84	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) /\ x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) -> f = .0. )
86	85	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> ( x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) -> f = .0. ) )
87	86	necon3ad 2807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> ( f =/= .0. -> -. x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) )
88	38, 87	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> -. x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) )
89	88	eq0rdv 3979	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> ( `' ( O ` f ) " { W } ) = (/) )
90	89	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) = ( # ` (/) ) )
91		hash0 13158	. . . . . . . . 9 |- ( # ` (/) ) = 0
92	90, 91	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) = 0 )
93	40, 31	syl5breqr 4691	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> 0 <_ ( D ` f ) )
94	92, 93	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( R e. IDomn /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = 0 ) ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) )
95	94	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( R e. IDomn /\ f e. B ) -> ( ( D ` f ) = 0 -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) )
96	95	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( R e. IDomn -> A. f e. B ( ( D ` f ) = 0 -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) )
97		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( D ` f ) = ( D ` g ) )
98	97	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( ( D ` f ) = d <-> ( D ` g ) = d ) )
99		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( O ` f ) = ( O ` g ) )
100	99	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> `' ( O ` f ) = `' ( O ` g ) )
101	100	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( `' ( O ` f ) " { W } ) = ( `' ( O ` g ) " { W } ) )
102	101	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) = ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) )
103	102, 97	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) <-> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) )
104	98, 103	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( ( ( D ` f ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) <-> ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) ) )
105	104	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. f e. B ( ( D ` f ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) <-> A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) )
106		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> ( D ` f ) = ( d + 1 ) )
107		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d e. NN0 -> ( d + 1 ) e. NN0 )
108	107	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> ( d + 1 ) e. NN0 )
109	106, 108	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> ( D ` f ) e. NN0 )
110	109	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( D ` f ) )
111		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( `' ( O ` f ) " { W } ) = (/) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) = ( # ` (/) ) )
112	111, 91	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' ( O ` f ) " { W } ) = (/) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) = 0 )
113	112	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' ( O ` f ) " { W } ) = (/) -> ( ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) <-> 0 <_ ( D ` f ) ) )
114	110, 113	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> ( ( `' ( O ` f ) " { W } ) = (/) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) )
115	114	a1dd 50	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> ( ( `' ( O ` f ) " { W } ) = (/) -> ( A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
116		n0 3931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' ( O ` f ) " { W } ) =/= (/) <-> E. x x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) )
117		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) /\ ( x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) /\ A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) ) ) -> R e. IDomn )
118		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) /\ ( x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) /\ A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) ) ) -> f e. B )
119		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (var1 ` R ) = (var1 ` R )
120		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -g ` P ) = ( -g ` P )
121		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (var1 ` R ) ( -g ` P ) ( (algSc ` P ) ` x ) ) = ( (var1 ` R ) ( -g ` P ) ( (algSc ` P ) ` x ) )
122		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) /\ ( x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) /\ A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) ) ) -> d e. NN0 )
123		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) /\ ( x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) /\ A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) ) ) -> ( D ` f ) = ( d + 1 ) )
124		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) /\ ( x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) /\ A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) ) ) -> x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) )
125		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) /\ ( x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) /\ A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) ) ) -> A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) )
126	10, 12, 9, 57, 82, 11, 117, 118, 52, 119, 120, 44, 121, 122, 123, 124, 125	fta1glem2 23926	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) /\ ( x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) /\ A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) ) ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) )
127	126	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> ( x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) -> ( A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
128	127	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> ( E. x x e. ( `' ( O ` f ) " { W } ) -> ( A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
129	116, 128	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> ( ( `' ( O ` f ) " { W } ) =/= (/) -> ( A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
130	115, 129	pm2.61dne 2880	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. B /\ ( D ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> ( A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) )
131	130	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ f e. B ) -> ( ( D ` f ) = ( d + 1 ) -> ( A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
132	131	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) /\ f e. B ) -> ( A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) -> ( ( D ` f ) = ( d + 1 ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
133	132	ralrimdva 2969	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) -> ( A. g e. B ( ( D ` g ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` g ) " { W } ) ) <_ ( D ` g ) ) -> A. f e. B ( ( D ` f ) = ( d + 1 ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
134	105, 133	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( R e. IDomn /\ d e. NN0 ) -> ( A. f e. B ( ( D ` f ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) -> A. f e. B ( ( D ` f ) = ( d + 1 ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
135	134	expcom 451	. . . . . 6 |- ( d e. NN0 -> ( R e. IDomn -> ( A. f e. B ( ( D ` f ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) -> A. f e. B ( ( D ` f ) = ( d + 1 ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) ) )
136	135	a2d 29	. . . . 5 |- ( d e. NN0 -> ( ( R e. IDomn -> A. f e. B ( ( D ` f ) = d -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) -> ( R e. IDomn -> A. f e. B ( ( D ` f ) = ( d + 1 ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) ) )
137	18, 22, 26, 30, 96, 136	nn0ind 11472	. . . 4 |- ( ( D ` F ) e. NN0 -> ( R e. IDomn -> A. f e. B ( ( D ` f ) = ( D ` F ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) ) )
138	14, 3, 137	sylc 65	. . 3 |- ( ph -> A. f e. B ( ( D ` f ) = ( D ` F ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) )
139		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( D ` f ) = ( D ` F ) )
140	139	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( D ` f ) = ( D ` F ) <-> ( D ` F ) = ( D ` F ) ) )
141		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( O ` f ) = ( O ` F ) )
142	141	cnveqd 5298	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> `' ( O ` f ) = `' ( O ` F ) )
143	142	imaeq1d 5465	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( `' ( O ` f ) " { W } ) = ( `' ( O ` F ) " { W } ) )
144	143	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) = ( # ` ( `' ( O ` F ) " { W } ) ) )
145	144, 139	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) <-> ( # ` ( `' ( O ` F ) " { W } ) ) <_ ( D ` F ) ) )
146	140, 145	imbi12d 334	. . . 4 |- ( f = F -> ( ( ( D ` f ) = ( D ` F ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) <-> ( ( D ` F ) = ( D ` F ) -> ( # ` ( `' ( O ` F ) " { W } ) ) <_ ( D ` F ) ) ) )
147	146	rspcv 3305	. . 3 |- ( F e. B -> ( A. f e. B ( ( D ` f ) = ( D ` F ) -> ( # ` ( `' ( O ` f ) " { W } ) ) <_ ( D ` f ) ) -> ( ( D ` F ) = ( D ` F ) -> ( # ` ( `' ( O ` F ) " { W } ) ) <_ ( D ` F ) ) ) )
148	2, 138, 147	sylc 65	. 2 |- ( ph -> ( ( D ` F ) = ( D ` F ) -> ( # ` ( `' ( O ` F ) " { W } ) ) <_ ( D ` F ) ) )
149	1, 148	mpi 20	1 |- ( ph -> ( # ` ( `' ( O ` F ) " { W } ) ) <_ ( D ` F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   #chash 13117   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ^_s cpws 16107   -gcsg 17424   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  Domncdomn 19280  IDomncidom 19281  algSccascl 19311  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548  eval₁ce1 19679   deg₁ cdg1 23814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-nzr 19258  df-rlreg 19283  df-domn 19284  df-idom 19285  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-evl 19507  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-evl1 19681  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-mon1 23890  df-uc1p 23891  df-q1p 23892  df-r1p 23893

This theorem is referenced by:  fta1b  23929  lgsqrlem4  25074  idomrootle  37773