Theorem cfinufil 21732

Description: An ultrafilter is free iff it contains the Fréchet filter cfinfil 21697 as a subset. (Contributed by NM, 14-Jul-2008.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfinufil	|- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( |^| F = (/) <-> { x e. ~P X | ( X \ x ) e. Fin } C_ F ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, X

Proof of Theorem cfinufil

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4168	. . . . 5 |- ( x e. ~P X -> x C_ X )
2		ufilb 21710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F <-> ( X \ x ) e. F ) )
3	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) /\ ( X \ x ) e. Fin ) -> ( -. x e. F <-> ( X \ x ) e. F ) )
4		ufilfil 21708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
6		filfinnfr 21681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( X \ x ) e. F /\ ( X \ x ) e. Fin ) -> |^| F =/= (/) )
7	6	3exp 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( X \ x ) e. F -> ( ( X \ x ) e. Fin -> |^| F =/= (/) ) ) )
8	7	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( X \ x ) e. Fin -> ( ( X \ x ) e. F -> |^| F =/= (/) ) ) )
9	5, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) e. Fin -> ( ( X \ x ) e. F -> |^| F =/= (/) ) ) )
10	9	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) /\ ( X \ x ) e. Fin ) -> ( ( X \ x ) e. F -> |^| F =/= (/) ) )
11	3, 10	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) /\ ( X \ x ) e. Fin ) -> ( -. x e. F -> |^| F =/= (/) ) )
12	11	necon4bd 2814	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) /\ ( X \ x ) e. Fin ) -> ( |^| F = (/) -> x e. F ) )
13	12	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) e. Fin -> ( |^| F = (/) -> x e. F ) ) )
14	13	com23 86	. . . . 5 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( |^| F = (/) -> ( ( X \ x ) e. Fin -> x e. F ) ) )
15	1, 14	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x e. ~P X ) -> ( |^| F = (/) -> ( ( X \ x ) e. Fin -> x e. F ) ) )
16	15	ralrimdva 2969	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( |^| F = (/) -> A. x e. ~P X ( ( X \ x ) e. Fin -> x e. F ) ) )
17	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ y e. |^| F ) -> F e. ( Fil ` X ) )
18		uffixsn 21729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ y e. |^| F ) -> { y } e. F )
19		filelss 21656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ { y } e. F ) -> { y } C_ X )
20	17, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ y e. |^| F ) -> { y } C_ X )
21		dfss4 3858	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y } C_ X <-> ( X \ ( X \ { y } ) ) = { y } )
22	20, 21	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ y e. |^| F ) -> ( X \ ( X \ { y } ) ) = { y } )
23		snfi 8038	. . . . . . . . . 10 |- { y } e. Fin
24	22, 23	syl6eqel 2709	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ y e. |^| F ) -> ( X \ ( X \ { y } ) ) e. Fin )
25		difss 3737	. . . . . . . . . . 11 |- ( X \ { y } ) C_ X
26		filtop 21659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
27		elpw2g 4827	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. F -> ( ( X \ { y } ) e. ~P X <-> ( X \ { y } ) C_ X ) )
28	17, 26, 27	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ y e. |^| F ) -> ( ( X \ { y } ) e. ~P X <-> ( X \ { y } ) C_ X ) )
29	25, 28	mpbiri 248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ y e. |^| F ) -> ( X \ { y } ) e. ~P X )
30		difeq2 3722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( X \ { y } ) -> ( X \ x ) = ( X \ ( X \ { y } ) ) )
31	30	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( X \ { y } ) -> ( ( X \ x ) e. Fin <-> ( X \ ( X \ { y } ) ) e. Fin ) )
32		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( X \ { y } ) -> ( x e. F <-> ( X \ { y } ) e. F ) )
33	31, 32	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( X \ { y } ) -> ( ( ( X \ x ) e. Fin -> x e. F ) <-> ( ( X \ ( X \ { y } ) ) e. Fin -> ( X \ { y } ) e. F ) ) )
34	33	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X \ { y } ) e. ~P X -> ( A. x e. ~P X ( ( X \ x ) e. Fin -> x e. F ) -> ( ( X \ ( X \ { y } ) ) e. Fin -> ( X \ { y } ) e. F ) ) )
35	29, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ y e. |^| F ) -> ( A. x e. ~P X ( ( X \ x ) e. Fin -> x e. F ) -> ( ( X \ ( X \ { y } ) ) e. Fin -> ( X \ { y } ) e. F ) ) )
36	24, 35	mpid 44	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ y e. |^| F ) -> ( A. x e. ~P X ( ( X \ x ) e. Fin -> x e. F ) -> ( X \ { y } ) e. F ) )
37		ufilb 21710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ { y } C_ X ) -> ( -. { y } e. F <-> ( X \ { y } ) e. F ) )
38	20, 37	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ y e. |^| F ) -> ( -. { y } e. F <-> ( X \ { y } ) e. F ) )
39	18	pm2.24d 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ y e. |^| F ) -> ( -. { y } e. F -> -. y e. |^| F ) )
40	38, 39	sylbird 250	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ y e. |^| F ) -> ( ( X \ { y } ) e. F -> -. y e. |^| F ) )
41	36, 40	syld 47	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ y e. |^| F ) -> ( A. x e. ~P X ( ( X \ x ) e. Fin -> x e. F ) -> -. y e. |^| F ) )
42	41	impancom 456	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A. x e. ~P X ( ( X \ x ) e. Fin -> x e. F ) ) -> ( y e. |^| F -> -. y e. |^| F ) )
43	42	pm2.01d 181	. . . . 5 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A. x e. ~P X ( ( X \ x ) e. Fin -> x e. F ) ) -> -. y e. |^| F )
44	43	eq0rdv 3979	. . . 4 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A. x e. ~P X ( ( X \ x ) e. Fin -> x e. F ) ) -> |^| F = (/) )
45	44	ex 450	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( A. x e. ~P X ( ( X \ x ) e. Fin -> x e. F ) -> |^| F = (/) ) )
46	16, 45	impbid 202	. 2 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( |^| F = (/) <-> A. x e. ~P X ( ( X \ x ) e. Fin -> x e. F ) ) )
47		rabss 3679	. 2 |- ( { x e. ~P X | ( X \ x ) e. Fin } C_ F <-> A. x e. ~P X ( ( X \ x ) e. Fin -> x e. F ) )
48	46, 47	syl6bbr 278	1 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( |^| F = (/) <-> { x e. ~P X | ( X \ x ) e. Fin } C_ F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |^|cint 4475   ` cfv 5888   Fincfn 7955   Filcfil 21649   UFilcufil 21703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-ufil 21705

This theorem is referenced by: (None)