Theorem lbsextlem4 19161

Description: Lemma for lbsext 19163. lbsextlem3 19160 satisfies the conditions for the application of Zorn's lemma zorn 9329 (thus invoking AC), and so there is a maximal linearly independent set extending C. Here we prove that such a set is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	|- V = ( Base ` W )
lbsext.j	|- J = (LBasis ` W )
lbsext.n	|- N = ( LSpan ` W )
lbsext.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lbsext.c	|- ( ph -> C C_ V )
lbsext.x	|- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
lbsext.s	|- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
lbsext.k	|- ( ph -> ~P V e. dom card )

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem4	|- ( ph -> E. s e. J C C_ s )

Distinct variable groups:   x, J   ph, x, s   S, s, x   x, z, C   x, N, z   x, V, z   x, W   z, s   ph, s

Allowed substitution hints:   ph( z)   C( s)   S( z)   J( z, s)   N( s)   V( s)   W( z, s)

Proof of Theorem lbsextlem4

Dummy variables u w y t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsext.k	. . . 4 |- ( ph -> ~P V e. dom card )
2		lbsext.s	. . . . 5 |- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
3		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } C_ ~P V
4	2, 3	eqsstri 3635	. . . 4 |- S C_ ~P V
5		ssnum 8862	. . . 4 |- ( ( ~P V e. dom card /\ S C_ ~P V ) -> S e. dom card )
6	1, 4, 5	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> S e. dom card )
7		lbsext.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
8		lbsext.j	. . . 4 |- J = (LBasis ` W )
9		lbsext.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
10		lbsext.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LVec )
11		lbsext.c	. . . 4 |- ( ph -> C C_ V )
12		lbsext.x	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
13	7, 8, 9, 10, 11, 12, 2	lbsextlem1 19158	. . 3 |- ( ph -> S =/= (/) )
14	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) ) -> W e. LVec )
15	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) ) -> C C_ V )
16	12	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) ) -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
17		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
18		simpr1 1067	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) ) -> y C_ S )
19		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) ) -> y =/= (/) )
20		simpr3 1069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) ) -> [ C.] Or y )
21		eqid 2622	. . . . . 6 |- U_ u e. y ( N ` ( u \ { x } ) ) = U_ u e. y ( N ` ( u \ { x } ) )
22	7, 8, 9, 14, 15, 16, 2, 17, 18, 19, 20, 21	lbsextlem3 19160	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) ) -> U. y e. S )
23	22	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) -> U. y e. S ) )
24	23	alrimiv 1855	. . 3 |- ( ph -> A. y ( ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) -> U. y e. S ) )
25		zornn0g 9327	. . 3 |- ( ( S e. dom card /\ S =/= (/) /\ A. y ( ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) -> U. y e. S ) ) -> E. s e. S A. t e. S -. s C. t )
26	6, 13, 24, 25	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> E. s e. S A. t e. S -. s C. t )
27		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> s e. S )
28		sseq2 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = s -> ( C C_ z <-> C C_ s ) )
29		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = s -> ( z \ { x } ) = ( s \ { x } ) )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = s -> ( N ` ( z \ { x } ) ) = ( N ` ( s \ { x } ) ) )
31	30	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = s -> ( x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) )
32	31	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = s -> ( -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) )
33	32	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = s -> ( A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) )
34	28, 33	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( z = s -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ s /\ A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) ) )
35	34, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . 9 |- ( s e. S <-> ( s e. ~P V /\ ( C C_ s /\ A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) ) )
36	27, 35	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( s e. ~P V /\ ( C C_ s /\ A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) ) )
37	36	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> s e. ~P V )
38	37	elpwid 4170	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> s C_ V )
39		lveclmod 19106	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
40	10, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. LMod )
41	40	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> W e. LMod )
42	7, 9	lspssv 18983	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ s C_ V ) -> ( N ` s ) C_ V )
43	41, 38, 42	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( N ` s ) C_ V )
44		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . 12 |- s C_ ( s u. { w } )
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> s C_ ( s u. { w } ) )
46		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { w } C_ ( s u. { w } )
47		vsnid 4209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. { w }
48	46, 47	sselii 3600	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. ( s u. { w } )
49	7, 9	lspssid 18985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. LMod /\ s C_ V ) -> s C_ ( N ` s ) )
50	41, 38, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> s C_ ( N ` s ) )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> s C_ ( N ` s ) )
52		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) -> -. w e. ( N ` s ) )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> -. w e. ( N ` s ) )
54	51, 53	ssneldd 3606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> -. w e. s )
55		nelne1 2890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. ( s u. { w } ) /\ -. w e. s ) -> ( s u. { w } ) =/= s )
56	48, 54, 55	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( s u. { w } ) =/= s )
57	56	necomd 2849	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> s =/= ( s u. { w } ) )
58		df-pss 3590	. . . . . . . . . . 11 |- ( s C. ( s u. { w } ) <-> ( s C_ ( s u. { w } ) /\ s =/= ( s u. { w } ) ) )
59	45, 57, 58	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> s C. ( s u. { w } ) )
60	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> s C_ V )
61		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) -> w e. V )
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> w e. V )
63	62	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> { w } C_ V )
64	60, 63	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( s u. { w } ) C_ V )
65		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` W ) e. _V
66	7, 65	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- V e. _V
67	66	elpw2 4828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s u. { w } ) e. ~P V <-> ( s u. { w } ) C_ V )
68	64, 67	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( s u. { w } ) e. ~P V )
69	36	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( C C_ s /\ A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) )
70	69	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> C C_ s )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> C C_ s )
72	71, 44	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> C C_ ( s u. { w } ) )
73	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> W e. LVec )
74	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> s C_ V )
75	74	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( s \ { x } ) C_ V )
76	62	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> w e. V )
77		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) )
78		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> x e. s )
79	54	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> -. w e. s )
80		nelne2 2891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( x e. s /\ -. w e. s ) -> x =/= w )
81	78, 79, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> x =/= w )
82		nelsn 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x =/= w -> -. x e. { w } )
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> -. x e. { w } )
84		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( { w } i^i { x } ) = (/) <-> -. x e. { w } )
85	83, 84	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( { w } i^i { x } ) = (/) )
86		disj3 4021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( { w } i^i { x } ) = (/) <-> { w } = ( { w } \ { x } ) )
87	85, 86	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> { w } = ( { w } \ { x } ) )
88	87	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( ( s \ { x } ) u. { w } ) = ( ( s \ { x } ) u. ( { w } \ { x } ) ) )
89		difundir 3880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( s u. { w } ) \ { x } ) = ( ( s \ { x } ) u. ( { w } \ { x } ) )
90	88, 89	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( ( s u. { w } ) \ { x } ) = ( ( s \ { x } ) u. { w } ) )
91	90	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) = ( N ` ( ( s \ { x } ) u. { w } ) ) )
92	77, 91	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> x e. ( N ` ( ( s \ { x } ) u. { w } ) ) )
93	69	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) )
95		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) -> ( x e. s -> -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) )
96	94, 78, 95	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) )
97	92, 96	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> x e. ( ( N ` ( ( s \ { x } ) u. { w } ) ) \ ( N ` ( s \ { x } ) ) ) )
98	7, 17, 9	lspsolv 19143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( W e. LVec /\ ( ( s \ { x } ) C_ V /\ w e. V /\ x e. ( ( N ` ( ( s \ { x } ) u. { w } ) ) \ ( N ` ( s \ { x } ) ) ) ) ) -> w e. ( N ` ( ( s \ { x } ) u. { x } ) ) )
99	73, 75, 76, 97, 98	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> w e. ( N ` ( ( s \ { x } ) u. { x } ) ) )
100		undif1 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( s \ { x } ) u. { x } ) = ( s u. { x } )
101	78	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> { x } C_ s )
102		ssequn2 3786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( { x } C_ s <-> ( s u. { x } ) = s )
103	101, 102	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( s u. { x } ) = s )
104	100, 103	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( ( s \ { x } ) u. { x } ) = s )
105	104	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( N ` ( ( s \ { x } ) u. { x } ) ) = ( N ` s ) )
106	99, 105	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> w e. ( N ` s ) )
107	106	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) -> w e. ( N ` s ) ) )
108	53, 107	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> -. ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) )
109		imnan 438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. s -> -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) <-> -. ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) )
110	108, 109	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( x e. s -> -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) )
111	110	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> A. x e. s -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) )
112		difssd 3738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( s \ { w } ) C_ s )
113	7, 9	lspss 18984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W e. LMod /\ s C_ V /\ ( s \ { w } ) C_ s ) -> ( N ` ( s \ { w } ) ) C_ ( N ` s ) )
114	41, 38, 112, 113	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( N ` ( s \ { w } ) ) C_ ( N ` s ) )
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( N ` ( s \ { w } ) ) C_ ( N ` s ) )
116	115, 53	ssneldd 3606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> -. w e. ( N ` ( s \ { w } ) ) )
117		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. _V
118		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = w -> x = w )
119		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = w -> { x } = { w } )
120	119	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = w -> ( ( s u. { w } ) \ { x } ) = ( ( s u. { w } ) \ { w } ) )
121		difun2 4048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( s u. { w } ) \ { w } ) = ( s \ { w } )
122	120, 121	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = w -> ( ( s u. { w } ) \ { x } ) = ( s \ { w } ) )
123	122	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = w -> ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) = ( N ` ( s \ { w } ) ) )
124	118, 123	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = w -> ( x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) <-> w e. ( N ` ( s \ { w } ) ) ) )
125	124	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) <-> -. w e. ( N ` ( s \ { w } ) ) ) )
126	117, 125	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. { w } -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) <-> -. w e. ( N ` ( s \ { w } ) ) )
127	116, 126	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> A. x e. { w } -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) )
128		ralun 3795	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. x e. s -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) /\ A. x e. { w } -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) -> A. x e. ( s u. { w } ) -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) )
129	111, 127, 128	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> A. x e. ( s u. { w } ) -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) )
130	72, 129	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( C C_ ( s u. { w } ) /\ A. x e. ( s u. { w } ) -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) )
131		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( s u. { w } ) -> ( C C_ z <-> C C_ ( s u. { w } ) ) )
132		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( s u. { w } ) -> ( z \ { x } ) = ( ( s u. { w } ) \ { x } ) )
133	132	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( s u. { w } ) -> ( N ` ( z \ { x } ) ) = ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) )
134	133	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( s u. { w } ) -> ( x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) )
135	134	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( s u. { w } ) -> ( -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) )
136	135	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( s u. { w } ) -> ( A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> A. x e. ( s u. { w } ) -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) )
137	131, 136	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( s u. { w } ) -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ ( s u. { w } ) /\ A. x e. ( s u. { w } ) -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) )
138	137, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s u. { w } ) e. S <-> ( ( s u. { w } ) e. ~P V /\ ( C C_ ( s u. { w } ) /\ A. x e. ( s u. { w } ) -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) )
139	68, 130, 138	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( s u. { w } ) e. S )
140		simplrr 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> A. t e. S -. s C. t )
141		psseq2 3695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( s u. { w } ) -> ( s C. t <-> s C. ( s u. { w } ) ) )
142	141	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( s u. { w } ) -> ( -. s C. t <-> -. s C. ( s u. { w } ) ) )
143	142	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s u. { w } ) e. S -> ( A. t e. S -. s C. t -> -. s C. ( s u. { w } ) ) )
144	139, 140, 143	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> -. s C. ( s u. { w } ) )
145	59, 144	pm2.65da 600	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> -. w e. ( V \ ( N ` s ) ) )
146	145	eq0rdv 3979	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( V \ ( N ` s ) ) = (/) )
147		ssdif0 3942	. . . . . . . 8 |- ( V C_ ( N ` s ) <-> ( V \ ( N ` s ) ) = (/) )
148	146, 147	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> V C_ ( N ` s ) )
149	43, 148	eqssd 3620	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( N ` s ) = V )
150	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> W e. LVec )
151	7, 8, 9	islbs2 19154	. . . . . . 7 |- ( W e. LVec -> ( s e. J <-> ( s C_ V /\ ( N ` s ) = V /\ A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) ) )
152	150, 151	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( s e. J <-> ( s C_ V /\ ( N ` s ) = V /\ A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) ) )
153	38, 149, 93, 152	mpbir3and 1245	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> s e. J )
154	153, 70	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( s e. J /\ C C_ s ) )
155	154	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) -> ( s e. J /\ C C_ s ) ) )
156	155	reximdv2 3014	. 2 |- ( ph -> ( E. s e. S A. t e. S -. s C. t -> E. s e. J C C_ s ) )
157	26, 156	mpd 15	1 |- ( ph -> E. s e. J C C_ s )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   Or wor 5034   dom cdm 5114   ` cfv 5888   [ C.] crpss 6936   cardccrd 8761   Basecbs 15857   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971  LBasisclbs 19074   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lbs 19075  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  lbsextg  19162