Theorem ex-res 27298

Description: Example for df-res 5126. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-res	|- ( ( F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } /\ B = { 1 , 2 } ) -> ( F |` B ) = { <. 2 , 6 >. } )

Proof of Theorem ex-res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } /\ B = { 1 , 2 } ) -> F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } )
2		df-pr 4180	. . . . 5 |- { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } = ( { <. 2 , 6 >. } u. { <. 3 , 9 >. } )
3	1, 2	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ( F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } /\ B = { 1 , 2 } ) -> F = ( { <. 2 , 6 >. } u. { <. 3 , 9 >. } ) )
4	3	reseq1d 5395	. . 3 |- ( ( F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } /\ B = { 1 , 2 } ) -> ( F |` B ) = ( ( { <. 2 , 6 >. } u. { <. 3 , 9 >. } ) |` B ) )
5		resundir 5411	. . 3 |- ( ( { <. 2 , 6 >. } u. { <. 3 , 9 >. } ) |` B ) = ( ( { <. 2 , 6 >. } |` B ) u. ( { <. 3 , 9 >. } |` B ) )
6	4, 5	syl6eq 2672	. 2 |- ( ( F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } /\ B = { 1 , 2 } ) -> ( F |` B ) = ( ( { <. 2 , 6 >. } |` B ) u. ( { <. 3 , 9 >. } |` B ) ) )
7		2re 11090	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
8	7	elexi 3213	. . . . . 6 |- 2 e. _V
9		6re 11101	. . . . . . 7 |- 6 e. RR
10	9	elexi 3213	. . . . . 6 |- 6 e. _V
11	8, 10	relsnop 5224	. . . . 5 |- Rel { <. 2 , 6 >. }
12		dmsnopss 5607	. . . . . 6 |- dom { <. 2 , 6 >. } C_ { 2 }
13		snsspr2 4346	. . . . . . 7 |- { 2 } C_ { 1 , 2 }
14		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } /\ B = { 1 , 2 } ) -> B = { 1 , 2 } )
15	13, 14	syl5sseqr 3654	. . . . . 6 |- ( ( F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } /\ B = { 1 , 2 } ) -> { 2 } C_ B )
16	12, 15	syl5ss 3614	. . . . 5 |- ( ( F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } /\ B = { 1 , 2 } ) -> dom { <. 2 , 6 >. } C_ B )
17		relssres 5437	. . . . 5 |- ( ( Rel { <. 2 , 6 >. } /\ dom { <. 2 , 6 >. } C_ B ) -> ( { <. 2 , 6 >. } |` B ) = { <. 2 , 6 >. } )
18	11, 16, 17	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } /\ B = { 1 , 2 } ) -> ( { <. 2 , 6 >. } |` B ) = { <. 2 , 6 >. } )
19		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
20		1lt3 11196	. . . . . . . 8 |- 1 < 3
21	19, 20	gtneii 10149	. . . . . . 7 |- 3 =/= 1
22		2lt3 11195	. . . . . . . 8 |- 2 < 3
23	7, 22	gtneii 10149	. . . . . . 7 |- 3 =/= 2
24	21, 23	nelpri 4201	. . . . . 6 |- -. 3 e. { 1 , 2 }
25	14	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ( F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } /\ B = { 1 , 2 } ) -> ( 3 e. B <-> 3 e. { 1 , 2 } ) )
26	24, 25	mtbiri 317	. . . . 5 |- ( ( F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } /\ B = { 1 , 2 } ) -> -. 3 e. B )
27		ressnop0 6420	. . . . 5 |- ( -. 3 e. B -> ( { <. 3 , 9 >. } |` B ) = (/) )
28	26, 27	syl 17	. . . 4 |- ( ( F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } /\ B = { 1 , 2 } ) -> ( { <. 3 , 9 >. } |` B ) = (/) )
29	18, 28	uneq12d 3768	. . 3 |- ( ( F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } /\ B = { 1 , 2 } ) -> ( ( { <. 2 , 6 >. } |` B ) u. ( { <. 3 , 9 >. } |` B ) ) = ( { <. 2 , 6 >. } u. (/) ) )
30		un0 3967	. . 3 |- ( { <. 2 , 6 >. } u. (/) ) = { <. 2 , 6 >. }
31	29, 30	syl6eq 2672	. 2 |- ( ( F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } /\ B = { 1 , 2 } ) -> ( ( { <. 2 , 6 >. } |` B ) u. ( { <. 3 , 9 >. } |` B ) ) = { <. 2 , 6 >. } )
32	6, 31	eqtrd 2656	1 |- ( ( F = { <. 2 , 6 >. , <. 3 , 9 >. } /\ B = { 1 , 2 } ) -> ( F |` B ) = { <. 2 , 6 >. } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   dom cdm 5114   |` cres 5116   Rel wrel 5119   RRcr 9935   1c1 9937   2c2 11070   3c3 11071   6c6 11074   9c9 11077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083

This theorem is referenced by:  ex-ima  27299