Theorem ex-xp 27293

Description: Example for df-xp 5120. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-xp	|- ( { 1 , 5 } X. { 2 , 7 } ) = ( { <. 1 , 2 >. , <. 1 , 7 >. } u. { <. 5 , 2 >. , <. 5 , 7 >. } )

Proof of Theorem ex-xp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4180	. . 3 |- { 1 , 5 } = ( { 1 } u. { 5 } )
2		df-pr 4180	. . 3 |- { 2 , 7 } = ( { 2 } u. { 7 } )
3	1, 2	xpeq12i 5137	. 2 |- ( { 1 , 5 } X. { 2 , 7 } ) = ( ( { 1 } u. { 5 } ) X. ( { 2 } u. { 7 } ) )
4		xpun 5176	. 2 |- ( ( { 1 } u. { 5 } ) X. ( { 2 } u. { 7 } ) ) = ( ( ( { 1 } X. { 2 } ) u. ( { 1 } X. { 7 } ) ) u. ( ( { 5 } X. { 2 } ) u. ( { 5 } X. { 7 } ) ) )
5		1ex 10035	. . . . . 6 |- 1 e. _V
6		2nn 11185	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
7	6	elexi 3213	. . . . . 6 |- 2 e. _V
8	5, 7	xpsn 6407	. . . . 5 |- ( { 1 } X. { 2 } ) = { <. 1 , 2 >. }
9		7nn 11190	. . . . . . 7 |- 7 e. NN
10	9	elexi 3213	. . . . . 6 |- 7 e. _V
11	5, 10	xpsn 6407	. . . . 5 |- ( { 1 } X. { 7 } ) = { <. 1 , 7 >. }
12	8, 11	uneq12i 3765	. . . 4 |- ( ( { 1 } X. { 2 } ) u. ( { 1 } X. { 7 } ) ) = ( { <. 1 , 2 >. } u. { <. 1 , 7 >. } )
13		df-pr 4180	. . . 4 |- { <. 1 , 2 >. , <. 1 , 7 >. } = ( { <. 1 , 2 >. } u. { <. 1 , 7 >. } )
14	12, 13	eqtr4i 2647	. . 3 |- ( ( { 1 } X. { 2 } ) u. ( { 1 } X. { 7 } ) ) = { <. 1 , 2 >. , <. 1 , 7 >. }
15		5nn 11188	. . . . . . 7 |- 5 e. NN
16	15	elexi 3213	. . . . . 6 |- 5 e. _V
17	16, 7	xpsn 6407	. . . . 5 |- ( { 5 } X. { 2 } ) = { <. 5 , 2 >. }
18	16, 10	xpsn 6407	. . . . 5 |- ( { 5 } X. { 7 } ) = { <. 5 , 7 >. }
19	17, 18	uneq12i 3765	. . . 4 |- ( ( { 5 } X. { 2 } ) u. ( { 5 } X. { 7 } ) ) = ( { <. 5 , 2 >. } u. { <. 5 , 7 >. } )
20		df-pr 4180	. . . 4 |- { <. 5 , 2 >. , <. 5 , 7 >. } = ( { <. 5 , 2 >. } u. { <. 5 , 7 >. } )
21	19, 20	eqtr4i 2647	. . 3 |- ( ( { 5 } X. { 2 } ) u. ( { 5 } X. { 7 } ) ) = { <. 5 , 2 >. , <. 5 , 7 >. }
22	14, 21	uneq12i 3765	. 2 |- ( ( ( { 1 } X. { 2 } ) u. ( { 1 } X. { 7 } ) ) u. ( ( { 5 } X. { 2 } ) u. ( { 5 } X. { 7 } ) ) ) = ( { <. 1 , 2 >. , <. 1 , 7 >. } u. { <. 5 , 2 >. , <. 5 , 7 >. } )
23	3, 4, 22	3eqtri 2648	1 |- ( { 1 , 5 } X. { 2 , 7 } ) = ( { <. 1 , 2 >. , <. 1 , 7 >. } u. { <. 5 , 2 >. , <. 5 , 7 >. } )

Syntax hints:   = wceq 1483   u. cun 3572   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   X. cxp 5112   1c1 9937   NNcn 11020   2c2 11070   5c5 11073   7c7 11075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-1cn 9994

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084

This theorem is referenced by: (None)