Theorem f1lindf 20161

Description: Rearranging and deleting elements from an independent family gives an independent family. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1lindf	|- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( F o. G ) LIndF W )

Proof of Theorem f1lindf

Dummy variables k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2	1	lindff 20154	. . . . . 6 |- ( ( F LIndF W /\ W e. LMod ) -> F : dom F --> ( Base ` W ) )
3	2	ancoms 469	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) -> F : dom F --> ( Base ` W ) )
4	3	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> F : dom F --> ( Base ` W ) )
5		f1f 6101	. . . . 5 |- ( G : K -1-1-> dom F -> G : K --> dom F )
6	5	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> G : K --> dom F )
7		fco 6058	. . . 4 |- ( ( F : dom F --> ( Base ` W ) /\ G : K --> dom F ) -> ( F o. G ) : K --> ( Base ` W ) )
8	4, 6, 7	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( F o. G ) : K --> ( Base ` W ) )
9		ffdm 6062	. . . 4 |- ( ( F o. G ) : K --> ( Base ` W ) -> ( ( F o. G ) : dom ( F o. G ) --> ( Base ` W ) /\ dom ( F o. G ) C_ K ) )
10	9	simpld 475	. . 3 |- ( ( F o. G ) : K --> ( Base ` W ) -> ( F o. G ) : dom ( F o. G ) --> ( Base ` W ) )
11	8, 10	syl 17	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( F o. G ) : dom ( F o. G ) --> ( Base ` W ) )
12		simpl2 1065	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ ( x e. dom ( F o. G ) /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> F LIndF W )
13	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> G : K --> dom F )
14		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F o. G ) : K --> ( Base ` W ) -> dom ( F o. G ) = K )
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> dom ( F o. G ) = K )
16	15	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( x e. dom ( F o. G ) <-> x e. K ) )
17	16	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> x e. K )
18	13, 17	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> ( G ` x ) e. dom F )
19	18	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ ( x e. dom ( F o. G ) /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> ( G ` x ) e. dom F )
20		eldifi 3732	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -> k e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
21	20	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ ( x e. dom ( F o. G ) /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> k e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
22		eldifsni 4320	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -> k =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
23	22	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ ( x e. dom ( F o. G ) /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> k =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
24		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
25		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
26		eqid 2622	. . . . . 6 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
27		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` (Scalar ` W ) ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) )
28		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
29	24, 25, 26, 27, 28	lindfind 20155	. . . . 5 |- ( ( ( F LIndF W /\ ( G ` x ) e. dom F ) /\ ( k e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ k =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) ) -> -. ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) )
30	12, 19, 21, 23, 29	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ ( x e. dom ( F o. G ) /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> -. ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) )
31		f1fn 6102	. . . . . . . . . . 11 |- ( G : K -1-1-> dom F -> G Fn K )
32	31	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> G Fn K )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> G Fn K )
34		fvco2 6273	. . . . . . . . 9 |- ( ( G Fn K /\ x e. K ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
35	33, 17, 34	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) = ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) )
37	36	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> ( ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) <-> ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) ) )
38		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> W e. LMod )
39		imassrn 5477	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) C_ ran F
40		frn 6053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : dom F --> ( Base ` W ) -> ran F C_ ( Base ` W ) )
41	4, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ran F C_ ( Base ` W ) )
42	39, 41	syl5ss 3614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) C_ ( Base ` W ) )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) C_ ( Base ` W ) )
44		imaco 5640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) = ( F " ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) )
45	15	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( dom ( F o. G ) \ { x } ) = ( K \ { x } ) )
46	45	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) = ( G " ( K \ { x } ) ) )
47		df-f1 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G : K -1-1-> dom F <-> ( G : K --> dom F /\ Fun `' G ) )
48	47	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G : K -1-1-> dom F -> Fun `' G )
49	48	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> Fun `' G )
50		imadif 5973	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun `' G -> ( G " ( K \ { x } ) ) = ( ( G " K ) \ ( G " { x } ) ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( G " ( K \ { x } ) ) = ( ( G " K ) \ ( G " { x } ) ) )
52	46, 51	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) = ( ( G " K ) \ ( G " { x } ) ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) = ( ( G " K ) \ ( G " { x } ) ) )
54		fnsnfv 6258	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G Fn K /\ x e. K ) -> { ( G ` x ) } = ( G " { x } ) )
55	32, 54	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> { ( G ` x ) } = ( G " { x } ) )
56	55	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( ( G " K ) \ { ( G ` x ) } ) = ( ( G " K ) \ ( G " { x } ) ) )
57		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G " K ) C_ ran G
58	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> G : K --> dom F )
59		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G : K --> dom F -> ran G C_ dom F )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ran G C_ dom F )
61	57, 60	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( G " K ) C_ dom F )
62	61	ssdifd 3746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( ( G " K ) \ { ( G ` x ) } ) C_ ( dom F \ { ( G ` x ) } ) )
63	56, 62	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( ( G " K ) \ ( G " { x } ) ) C_ ( dom F \ { ( G ` x ) } ) )
64	53, 63	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) C_ ( dom F \ { ( G ` x ) } ) )
65		imass2 5501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) C_ ( dom F \ { ( G ` x ) } ) -> ( F " ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) C_ ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( F " ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) C_ ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) )
67	44, 66	syl5eqss 3649	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) C_ ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) )
68	1, 25	lspss 18984	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) C_ ( Base ` W ) /\ ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) C_ ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) -> ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) )
69	38, 43, 67, 68	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) )
70	17, 69	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) )
71	70	sseld 3602	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> ( ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) -> ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) ) )
72	37, 71	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> ( ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) -> ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) ) )
73	72	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ ( x e. dom ( F o. G ) /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> ( ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) -> ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) ) )
74	30, 73	mtod 189	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ ( x e. dom ( F o. G ) /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> -. ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) )
75	74	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> A. x e. dom ( F o. G ) A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) )
76		simp1 1061	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> W e. LMod )
77		rellindf 20147	. . . . . 6 |- Rel LIndF
78	77	brrelexi 5158	. . . . 5 |- ( F LIndF W -> F e. _V )
79	78	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> F e. _V )
80		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> G : K -1-1-> dom F )
81		dmexg 7097	. . . . . . 7 |- ( F e. _V -> dom F e. _V )
82	79, 81	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> dom F e. _V )
83		f1dmex 7136	. . . . . 6 |- ( ( G : K -1-1-> dom F /\ dom F e. _V ) -> K e. _V )
84	80, 82, 83	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> K e. _V )
85		fex 6490	. . . . 5 |- ( ( G : K --> dom F /\ K e. _V ) -> G e. _V )
86	6, 84, 85	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> G e. _V )
87		coexg 7117	. . . 4 |- ( ( F e. _V /\ G e. _V ) -> ( F o. G ) e. _V )
88	79, 86, 87	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( F o. G ) e. _V )
89	1, 24, 25, 26, 28, 27	islindf 20151	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( F o. G ) e. _V ) -> ( ( F o. G ) LIndF W <-> ( ( F o. G ) : dom ( F o. G ) --> ( Base ` W ) /\ A. x e. dom ( F o. G ) A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) ) ) )
90	76, 88, 89	syl2anc 693	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( ( F o. G ) LIndF W <-> ( ( F o. G ) : dom ( F o. G ) --> ( Base ` W ) /\ A. x e. dom ( F o. G ) A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) ) ) )
91	11, 75, 90	mpbir2and 957	1 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( F o. G ) LIndF W )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LSpanclspn 18971   LIndF clindf 20143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-slot 15861  df-base 15863  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lindf 20145

This theorem is referenced by:  lindfres  20162  f1linds  20164