Theorem lindfrn 20160

Description: The range of an independent family is an independent set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lindfrn	|- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) -> ran F e. (LIndS ` W ) )

Proof of Theorem lindfrn

Dummy variables k x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2	1	lindff 20154	. . . 4 |- ( ( F LIndF W /\ W e. LMod ) -> F : dom F --> ( Base ` W ) )
3	2	ancoms 469	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) -> F : dom F --> ( Base ` W ) )
4		frn 6053	. . 3 |- ( F : dom F --> ( Base ` W ) -> ran F C_ ( Base ` W ) )
5	3, 4	syl 17	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) -> ran F C_ ( Base ` W ) )
6		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) /\ y e. dom F ) -> W e. LMod )
7		imassrn 5477	. . . . . . . . 9 |- ( F " ( dom F \ { y } ) ) C_ ran F
8	7, 5	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) -> ( F " ( dom F \ { y } ) ) C_ ( Base ` W ) )
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) /\ y e. dom F ) -> ( F " ( dom F \ { y } ) ) C_ ( Base ` W ) )
10		ffun 6048	. . . . . . . . 9 |- ( F : dom F --> ( Base ` W ) -> Fun F )
11	3, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) -> Fun F )
12		eldifsn 4317	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ran F \ { ( F ` y ) } ) <-> ( x e. ran F /\ x =/= ( F ` y ) ) )
13		funfn 5918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
14		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn dom F -> ( x e. ran F <-> E. k e. dom F ( F ` k ) = x ) )
15	13, 14	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun F -> ( x e. ran F <-> E. k e. dom F ( F ` k ) = x ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( x e. ran F <-> E. k e. dom F ( F ` k ) = x ) )
17		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( dom F \ { y } ) C_ dom F
18	17	jctr 565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun F -> ( Fun F /\ ( dom F \ { y } ) C_ dom F ) )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Fun F /\ y e. dom F ) /\ ( k e. dom F /\ ( F ` k ) =/= ( F ` y ) ) ) -> ( Fun F /\ ( dom F \ { y } ) C_ dom F ) )
20		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) =/= ( F ` y ) ) -> k e. dom F )
21		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = y -> ( F ` k ) = ( F ` y ) )
22	21	necon3i 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` k ) =/= ( F ` y ) -> k =/= y )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) =/= ( F ` y ) ) -> k =/= y )
24		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( dom F \ { y } ) <-> ( k e. dom F /\ k =/= y ) )
25	20, 23, 24	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) =/= ( F ` y ) ) -> k e. ( dom F \ { y } ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Fun F /\ y e. dom F ) /\ ( k e. dom F /\ ( F ` k ) =/= ( F ` y ) ) ) -> k e. ( dom F \ { y } ) )
27		funfvima2 6493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ ( dom F \ { y } ) C_ dom F ) -> ( k e. ( dom F \ { y } ) -> ( F ` k ) e. ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) )
28	19, 26, 27	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Fun F /\ y e. dom F ) /\ ( k e. dom F /\ ( F ` k ) =/= ( F ` y ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( F " ( dom F \ { y } ) ) )
29	28	expr 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Fun F /\ y e. dom F ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` y ) -> ( F ` k ) e. ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) )
30		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` k ) = x -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` y ) <-> x =/= ( F ` y ) ) )
31		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` k ) = x -> ( ( F ` k ) e. ( F " ( dom F \ { y } ) ) <-> x e. ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) )
32	30, 31	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` k ) = x -> ( ( ( F ` k ) =/= ( F ` y ) -> ( F ` k ) e. ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) <-> ( x =/= ( F ` y ) -> x e. ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) ) )
33	29, 32	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Fun F /\ y e. dom F ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) = x -> ( x =/= ( F ` y ) -> x e. ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) ) )
34	33	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( E. k e. dom F ( F ` k ) = x -> ( x =/= ( F ` y ) -> x e. ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) ) )
35	16, 34	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( x e. ran F -> ( x =/= ( F ` y ) -> x e. ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) ) )
36	35	impd 447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( ( x e. ran F /\ x =/= ( F ` y ) ) -> x e. ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) )
37	12, 36	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( x e. ( ran F \ { ( F ` y ) } ) -> x e. ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) )
38	37	ssrdv 3609	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( ran F \ { ( F ` y ) } ) C_ ( F " ( dom F \ { y } ) ) )
39	11, 38	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) /\ y e. dom F ) -> ( ran F \ { ( F ` y ) } ) C_ ( F " ( dom F \ { y } ) ) )
40		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
41	1, 40	lspss 18984	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( F " ( dom F \ { y } ) ) C_ ( Base ` W ) /\ ( ran F \ { ( F ` y ) } ) C_ ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) -> ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { ( F ` y ) } ) ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) )
42	6, 9, 39, 41	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) /\ y e. dom F ) -> ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { ( F ` y ) } ) ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) )
43	42	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) /\ ( y e. dom F /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { ( F ` y ) } ) ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) )
44		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) /\ ( y e. dom F /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> F LIndF W )
45		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) /\ ( y e. dom F /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> y e. dom F )
46		eldifi 3732	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -> k e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
47	46	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) /\ ( y e. dom F /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> k e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
48		eldifsni 4320	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -> k =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
49	48	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) /\ ( y e. dom F /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> k =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
50		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
51		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
52		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` (Scalar ` W ) ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) )
53		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
54	50, 40, 51, 52, 53	lindfind 20155	. . . . . 6 |- ( ( ( F LIndF W /\ y e. dom F ) /\ ( k e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ k =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) ) -> -. ( k ( .s ` W ) ( F ` y ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) )
55	44, 45, 47, 49, 54	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) /\ ( y e. dom F /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> -. ( k ( .s ` W ) ( F ` y ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { y } ) ) ) )
56	43, 55	ssneldd 3606	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) /\ ( y e. dom F /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> -. ( k ( .s ` W ) ( F ` y ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { ( F ` y ) } ) ) )
57	56	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) -> A. y e. dom F A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) ( F ` y ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { ( F ` y ) } ) ) )
58	11, 13	sylib 208	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) -> F Fn dom F )
59		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` y ) -> ( k ( .s ` W ) x ) = ( k ( .s ` W ) ( F ` y ) ) )
60		sneq 4187	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F ` y ) -> { x } = { ( F ` y ) } )
61	60	difeq2d 3728	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` y ) -> ( ran F \ { x } ) = ( ran F \ { ( F ` y ) } ) )
62	61	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` y ) -> ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { x } ) ) = ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { ( F ` y ) } ) ) )
63	59, 62	eleq12d 2695	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` y ) -> ( ( k ( .s ` W ) x ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { x } ) ) <-> ( k ( .s ` W ) ( F ` y ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { ( F ` y ) } ) ) ) )
64	63	notbid 308	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` y ) -> ( -. ( k ( .s ` W ) x ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { x } ) ) <-> -. ( k ( .s ` W ) ( F ` y ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { ( F ` y ) } ) ) ) )
65	64	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = ( F ` y ) -> ( A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) x ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { x } ) ) <-> A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) ( F ` y ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { ( F ` y ) } ) ) ) )
66	65	ralrn 6362	. . . 4 |- ( F Fn dom F -> ( A. x e. ran F A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) x ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { x } ) ) <-> A. y e. dom F A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) ( F ` y ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { ( F ` y ) } ) ) ) )
67	58, 66	syl 17	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) -> ( A. x e. ran F A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) x ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { x } ) ) <-> A. y e. dom F A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) ( F ` y ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { ( F ` y ) } ) ) ) )
68	57, 67	mpbird 247	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) -> A. x e. ran F A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) x ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { x } ) ) )
69	1, 50, 40, 51, 53, 52	islinds2 20152	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( ran F e. (LIndS ` W ) <-> ( ran F C_ ( Base ` W ) /\ A. x e. ran F A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) x ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { x } ) ) ) ) )
70	69	adantr 481	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) -> ( ran F e. (LIndS ` W ) <-> ( ran F C_ ( Base ` W ) /\ A. x e. ran F A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) x ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ran F \ { x } ) ) ) ) )
71	5, 68, 70	mpbir2and 957	1 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) -> ran F e. (LIndS ` W ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LSpanclspn 18971   LIndF clindf 20143  LIndSclinds 20144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-slot 15861  df-base 15863  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lindf 20145  df-linds 20146

This theorem is referenced by:  islindf3  20165  lindsmm  20167  matunitlindflem2  33406