Theorem fineqv 8175

Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fineqv	|- ( -. om e. _V <-> Fin = _V )

Proof of Theorem fineqv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3625	. . . 4 |- Fin C_ _V
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( -. om e. _V -> Fin C_ _V )
3		vex 3203	. . . . . . . 8 |- a e. _V
4		fineqvlem 8174	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. _V /\ -. a e. Fin ) -> om ~<_ ~P ~P a )
5	3, 4	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( -. a e. Fin -> om ~<_ ~P ~P a )
6		reldom 7961	. . . . . . . 8 |- Rel ~<_
7	6	brrelexi 5158	. . . . . . 7 |- ( om ~<_ ~P ~P a -> om e. _V )
8	5, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( -. a e. Fin -> om e. _V )
9	8	con1i 144	. . . . 5 |- ( -. om e. _V -> a e. Fin )
10	9	a1d 25	. . . 4 |- ( -. om e. _V -> ( a e. _V -> a e. Fin ) )
11	10	ssrdv 3609	. . 3 |- ( -. om e. _V -> _V C_ Fin )
12	2, 11	eqssd 3620	. 2 |- ( -. om e. _V -> Fin = _V )
13		ominf 8172	. . 3 |- -. om e. Fin
14		eleq2 2690	. . 3 |- ( Fin = _V -> ( om e. Fin <-> om e. _V ) )
15	13, 14	mtbii 316	. 2 |- ( Fin = _V -> -. om e. _V )
16	12, 15	impbii 199	1 |- ( -. om e. _V <-> Fin = _V )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  npomex  9818