Theorem ominf 8172

Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ominf	|- -. om e. Fin

Proof of Theorem ominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7979	. . 3 |- ( om e. Fin <-> E. x e. om om ~~ x )
2		nnord 7073	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> Ord x )
3		ordom 7074	. . . . . . . 8 |- Ord om
4		ordelssne 5750	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord x /\ Ord om ) -> ( x e. om <-> ( x C_ om /\ x =/= om ) ) )
5	2, 3, 4	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( x e. om -> ( x e. om <-> ( x C_ om /\ x =/= om ) ) )
6	5	ibi 256	. . . . . 6 |- ( x e. om -> ( x C_ om /\ x =/= om ) )
7		df-pss 3590	. . . . . 6 |- ( x C. om <-> ( x C_ om /\ x =/= om ) )
8	6, 7	sylibr 224	. . . . 5 |- ( x e. om -> x C. om )
9		ensym 8005	. . . . 5 |- ( om ~~ x -> x ~~ om )
10		pssinf 8170	. . . . 5 |- ( ( x C. om /\ x ~~ om ) -> -. om e. Fin )
11	8, 9, 10	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ om ~~ x ) -> -. om e. Fin )
12	11	rexlimiva 3028	. . 3 |- ( E. x e. om om ~~ x -> -. om e. Fin )
13	1, 12	sylbi 207	. 2 |- ( om e. Fin -> -. om e. Fin )
14		pm2.01 180	. 2 |- ( ( om e. Fin -> -. om e. Fin ) -> -. om e. Fin )
15	13, 14	ax-mp 5	1 |- -. om e. Fin

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   C_ wss 3574   C. wpss 3575   class class class wbr 4653   Ord word 5722   omcom 7065   ~~ cen 7952   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  fineqv  8175  nnsdomg  8219  ackbij1lem18  9059  fin23lem21  9161  fin23lem28  9162  fin23lem30  9164  isfin1-2  9207  uzinf  12764  bitsf1  15168  odhash  17989  ufinffr  21733  poimirlem30  33439  diophin  37336  diophren  37377  fiphp3d  37383