Theorem fofinf1o 8241

Description: Any surjection from one finite set to another of equal size must be a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fofinf1o	|- ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Proof of Theorem fofinf1o

Dummy variables w u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) -> F : A -onto-> B )
2		fof 6115	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) -> F : A --> B )
4		domnsym 8086	. . . . . . 7 |- ( B ~<_ ( A \ { y } ) -> -. ( A \ { y } ) ~< B )
5		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) -> B e. Fin )
6		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) -> A ~~ B )
7		enfii 8177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )
8	5, 6, 7	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) -> A e. Fin )
9	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> A e. Fin )
10		difssd 3738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( A \ { y } ) C_ A )
11		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> y e. A )
12		neldifsn 4321	. . . . . . . . . . . 12 |- -. y e. ( A \ { y } )
13		nelne1 2890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. A /\ -. y e. ( A \ { y } ) ) -> A =/= ( A \ { y } ) )
14	11, 12, 13	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> A =/= ( A \ { y } ) )
15	14	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( A \ { y } ) =/= A )
16		df-pss 3590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ { y } ) C. A <-> ( ( A \ { y } ) C_ A /\ ( A \ { y } ) =/= A ) )
17	10, 15, 16	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( A \ { y } ) C. A )
18		php3 8146	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ ( A \ { y } ) C. A ) -> ( A \ { y } ) ~< A )
19	9, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( A \ { y } ) ~< A )
20	6	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> A ~~ B )
21		sdomentr 8094	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ { y } ) ~< A /\ A ~~ B ) -> ( A \ { y } ) ~< B )
22	19, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( A \ { y } ) ~< B )
23	4, 22	nsyl3 133	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> -. B ~<_ ( A \ { y } ) )
24	8	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> A e. Fin )
25		difss 3737	. . . . . . . . . . 11 |- ( A \ { y } ) C_ A
26		ssfi 8180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ ( A \ { y } ) C_ A ) -> ( A \ { y } ) e. Fin )
27	24, 25, 26	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> ( A \ { y } ) e. Fin )
28	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> F : A --> B )
29		fssres 6070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> B /\ ( A \ { y } ) C_ A ) -> ( F |` ( A \ { y } ) ) : ( A \ { y } ) --> B )
30	28, 25, 29	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> ( F |` ( A \ { y } ) ) : ( A \ { y } ) --> B )
31	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> F : A -onto-> B )
32		foelrn 6378	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : A -onto-> B /\ z e. B ) -> E. u e. A z = ( F ` u ) )
33	31, 32	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) /\ z e. B ) -> E. u e. A z = ( F ` u ) )
34		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> x e. A )
35		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> x =/= y )
36		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( A \ { y } ) <-> ( x e. A /\ x =/= y ) )
37	34, 35, 36	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> x e. ( A \ { y } ) )
38		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
39	38	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
40		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = x -> ( F ` w ) = ( F ` x ) )
41	40	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = x -> ( ( F ` y ) = ( F ` w ) <-> ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
42	41	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( A \ { y } ) /\ ( F ` y ) = ( F ` x ) ) -> E. w e. ( A \ { y } ) ( F ` y ) = ( F ` w ) )
43	37, 39, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> E. w e. ( A \ { y } ) ( F ` y ) = ( F ` w ) )
44		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = y -> ( F ` u ) = ( F ` y ) )
45	44	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = y -> ( ( F ` u ) = ( F ` w ) <-> ( F ` y ) = ( F ` w ) ) )
46	45	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u = y -> ( E. w e. ( A \ { y } ) ( F ` u ) = ( F ` w ) <-> E. w e. ( A \ { y } ) ( F ` y ) = ( F ` w ) ) )
47	43, 46	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> ( u = y -> E. w e. ( A \ { y } ) ( F ` u ) = ( F ` w ) ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) /\ u e. A ) -> ( u = y -> E. w e. ( A \ { y } ) ( F ` u ) = ( F ` w ) ) )
49	48	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) /\ u e. A ) /\ u = y ) -> E. w e. ( A \ { y } ) ( F ` u ) = ( F ` w ) )
50		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. ( A \ { y } ) <-> ( u e. A /\ u =/= y ) )
51		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F ` u ) = ( F ` u )
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = u -> ( F ` w ) = ( F ` u ) )
53	52	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = u -> ( ( F ` u ) = ( F ` w ) <-> ( F ` u ) = ( F ` u ) ) )
54	53	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( u e. ( A \ { y } ) /\ ( F ` u ) = ( F ` u ) ) -> E. w e. ( A \ { y } ) ( F ` u ) = ( F ` w ) )
55	51, 54	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. ( A \ { y } ) -> E. w e. ( A \ { y } ) ( F ` u ) = ( F ` w ) )
56	50, 55	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u e. A /\ u =/= y ) -> E. w e. ( A \ { y } ) ( F ` u ) = ( F ` w ) )
57	56	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) /\ u e. A ) /\ u =/= y ) -> E. w e. ( A \ { y } ) ( F ` u ) = ( F ` w ) )
58	49, 57	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) /\ u e. A ) -> E. w e. ( A \ { y } ) ( F ` u ) = ( F ` w ) )
59		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. ( A \ { y } ) -> ( ( F |` ( A \ { y } ) ) ` w ) = ( F ` w ) )
60	59	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( A \ { y } ) -> ( z = ( ( F |` ( A \ { y } ) ) ` w ) <-> z = ( F ` w ) ) )
61	60	rexbiia 3040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. w e. ( A \ { y } ) z = ( ( F |` ( A \ { y } ) ) ` w ) <-> E. w e. ( A \ { y } ) z = ( F ` w ) )
62		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( F ` u ) -> ( z = ( F ` w ) <-> ( F ` u ) = ( F ` w ) ) )
63	62	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( F ` u ) -> ( E. w e. ( A \ { y } ) z = ( F ` w ) <-> E. w e. ( A \ { y } ) ( F ` u ) = ( F ` w ) ) )
64	61, 63	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( F ` u ) -> ( E. w e. ( A \ { y } ) z = ( ( F |` ( A \ { y } ) ) ` w ) <-> E. w e. ( A \ { y } ) ( F ` u ) = ( F ` w ) ) )
65	58, 64	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) /\ u e. A ) -> ( z = ( F ` u ) -> E. w e. ( A \ { y } ) z = ( ( F |` ( A \ { y } ) ) ` w ) ) )
66	65	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> ( E. u e. A z = ( F ` u ) -> E. w e. ( A \ { y } ) z = ( ( F |` ( A \ { y } ) ) ` w ) ) )
67	66	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) /\ E. u e. A z = ( F ` u ) ) -> E. w e. ( A \ { y } ) z = ( ( F |` ( A \ { y } ) ) ` w ) )
68	33, 67	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) /\ z e. B ) -> E. w e. ( A \ { y } ) z = ( ( F |` ( A \ { y } ) ) ` w ) )
69	68	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> A. z e. B E. w e. ( A \ { y } ) z = ( ( F |` ( A \ { y } ) ) ` w ) )
70		dffo3 6374	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F |` ( A \ { y } ) ) : ( A \ { y } ) -onto-> B <-> ( ( F |` ( A \ { y } ) ) : ( A \ { y } ) --> B /\ A. z e. B E. w e. ( A \ { y } ) z = ( ( F |` ( A \ { y } ) ) ` w ) ) )
71	30, 69, 70	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> ( F |` ( A \ { y } ) ) : ( A \ { y } ) -onto-> B )
72		fodomfi 8239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A \ { y } ) e. Fin /\ ( F |` ( A \ { y } ) ) : ( A \ { y } ) -onto-> B ) -> B ~<_ ( A \ { y } ) )
73	27, 71, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) ) -> B ~<_ ( A \ { y } ) )
74	73	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x =/= y ) ) -> B ~<_ ( A \ { y } ) )
75	74	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( x =/= y -> B ~<_ ( A \ { y } ) ) )
76	75	necon1bd 2812	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( -. B ~<_ ( A \ { y } ) -> x = y ) )
77	23, 76	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> x = y )
78	77	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
79	78	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
80		dff13 6512	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
81	3, 79, 80	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) -> F : A -1-1-> B )
82		df-f1o 5895	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B <-> ( F : A -1-1-> B /\ F : A -onto-> B ) )
83	81, 1, 82	sylanbrc 698	1 |- ( ( F : A -onto-> B /\ A ~~ B /\ B e. Fin ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   C. wpss 3575   {csn 4177   class class class wbr 4653   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  rneqdmfinf1o  8242  phpreu  33393