Theorem fovrn 6804

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fovrn	|- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Proof of Theorem fovrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5148	. . 3 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> <. A , B >. e. ( R X. S ) )
2		df-ov 6653	. . . 4 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
3		ffvelrn 6357	. . . 4 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ <. A , B >. e. ( R X. S ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. C )
4	2, 3	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ <. A , B >. e. ( R X. S ) ) -> ( A F B ) e. C )
5	1, 4	sylan2 491	. 2 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( A F B ) e. C )
6	5	3impb 1260	1 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   <.cop 4183   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653

This theorem is referenced by:  fovrnda  6805  fovrnd  6806  ovmpt2elrn  7241  curry1f  7271  curry2f  7273  mapxpen  8126  axdc4lem  9277  axdc4uzlem  12782  imasmnd2  17327  grpsubcl  17495  imasgrp2  17530  imasring  18619  tsmsxplem1  21956  psmetcl  22112  xmetcl  22136  metcl  22137  blssm  22223  mbfi1fseqlem3  23484  mbfi1fseqlem4  23485  mbfi1fseqlem5  23486  grpocl  27354  grpodivcl  27393  vccl  27418  nvmcl  27501  cvmliftphtlem  31299  matunitlindflem1  33405  isbnd3  33583  clmgmOLD  33650  rngocl  33700  isdrngo2  33757