Theorem mbfi1fseqlem3 23484

Description: Lemma for mbfi1fseq 23488. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfi1fseq.1	|- ( ph -> F e. MblFn )
mbfi1fseq.2	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
mbfi1fseq.3	|- J = ( m e. NN , y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) )
mbfi1fseq.4	|- G = ( m e. NN |-> ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u m [,] m ) , if ( ( m J x ) <_ m , ( m J x ) , m ) , 0 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mbfi1fseqlem3	|- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( G ` A ) : RR --> ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, m, y, F   x, G   m, J   ph, m, x, y   A, m, x, y

Allowed substitution hints:   G( y, m)   J( x, y)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
2		mbfi1fseq.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
3		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m e. NN /\ y e. RR ) -> y e. RR )
4		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
5	2, 3, 4	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
6	1, 5	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
7		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. NN
8		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
9		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. NN /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
10	7, 8, 9	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> ( 2 ^ m ) e. NN )
11	10	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
12	11	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( 2 ^ m ) e. RR )
13	6, 12	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) e. RR )
14		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) e. RR -> ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) e. RR )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) e. RR )
16	15, 11	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) e. RR )
17	16	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. m e. NN A. y e. RR ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) e. RR )
18		mbfi1fseq.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- J = ( m e. NN , y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) )
19	18	fmpt2 7237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. m e. NN A. y e. RR ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) e. RR <-> J : ( NN X. RR ) --> RR )
20	17, 19	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J : ( NN X. RR ) --> RR )
21		fovrn 6804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J : ( NN X. RR ) --> RR /\ A e. NN /\ x e. RR ) -> ( A J x ) e. RR )
22	20, 21	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A e. NN /\ x e. RR ) -> ( A J x ) e. RR )
23	22	3expa 1265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( A J x ) e. RR )
24		nnre 11027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> A e. RR )
25	24	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> A e. RR )
26		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. NN -> A e. NN0 )
27		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. NN0 ) -> ( 2 ^ A ) e. NN )
28	7, 26, 27	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ A ) e. NN )
29	28	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( 2 ^ A ) e. NN )
30		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 ^ A ) e. NN -> ( 2 ^ A ) e. RR )
31		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 ^ A ) e. NN -> 0 < ( 2 ^ A ) )
32	30, 31	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 ^ A ) e. NN -> ( ( 2 ^ A ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ A ) ) )
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( 2 ^ A ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ A ) ) )
34		lemul1 10875	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A J x ) e. RR /\ A e. RR /\ ( ( 2 ^ A ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ A ) ) ) -> ( ( A J x ) <_ A <-> ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) <_ ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) )
35	23, 25, 33, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( A J x ) <_ A <-> ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) <_ ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) )
36	35	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) <_ ( A x. ( 2 ^ A ) ) )
37		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> A e. NN )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> A e. NN )
39		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> x e. RR )
40		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m = A /\ y = x ) -> y = x )
41	40	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m = A /\ y = x ) -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
42		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m = A /\ y = x ) -> m = A )
43	42	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m = A /\ y = x ) -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ A ) )
44	41, 43	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m = A /\ y = x ) -> ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) = ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) )
45	44	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m = A /\ y = x ) -> ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) = ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) )
46	45, 43	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m = A /\ y = x ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) )
47		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) e. _V
48	46, 18, 47	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ x e. RR ) -> ( A J x ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) )
49	38, 39, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( A J x ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) )
50	49	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) = ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) x. ( 2 ^ A ) ) )
51	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
52	51	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
53		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
54	52, 53	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
55	54	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR )
56	29	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( 2 ^ A ) e. RR )
57	55, 56	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) e. RR )
58	29	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( 2 ^ A ) e. NN0 )
59	58	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( 2 ^ A ) )
60		mulge0 10546	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) /\ ( ( 2 ^ A ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ A ) ) ) -> 0 <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) )
61	54, 56, 59, 60	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) )
62		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) e. NN0 )
63	57, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) e. NN0 )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) e. NN0 )
65	64	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) e. CC )
66	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( 2 ^ A ) e. NN )
67	66	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( 2 ^ A ) e. CC )
68	66	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( 2 ^ A ) =/= 0 )
69	65, 67, 68	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) x. ( 2 ^ A ) ) = ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) )
70	50, 69	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) = ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) )
71	70, 64	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) e. NN0 )
72		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
73	71, 72	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
74		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ ( 2 ^ A ) e. NN ) -> ( A x. ( 2 ^ A ) ) e. NN )
75	28, 74	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> ( A x. ( 2 ^ A ) ) e. NN )
76	75	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( A x. ( 2 ^ A ) ) e. NN )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( A x. ( 2 ^ A ) ) e. NN )
78	77	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( A x. ( 2 ^ A ) ) e. ZZ )
79		elfz5 12334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( A x. ( 2 ^ A ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) <-> ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) <_ ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) )
80	73, 78, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) <-> ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) <_ ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) )
81	36, 80	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) )
82		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) -> ( m / ( 2 ^ A ) ) = ( ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) / ( 2 ^ A ) ) )
83		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) = ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) )
84		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) / ( 2 ^ A ) ) e. _V
85	82, 83, 84	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ` ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) = ( ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) / ( 2 ^ A ) ) )
86	81, 85	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ` ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) = ( ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) / ( 2 ^ A ) ) )
87	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( A J x ) e. RR )
88	87	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( A J x ) e. CC )
89	88, 67, 68	divcan4d 10807	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) / ( 2 ^ A ) ) = ( A J x ) )
90	86, 89	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ` ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) = ( A J x ) )
91		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) -> m e. NN0 )
92	91	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) -> m e. RR )
93	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( 2 ^ A ) e. NN )
94		nndivre 11056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. RR /\ ( 2 ^ A ) e. NN ) -> ( m / ( 2 ^ A ) ) e. RR )
95	92, 93, 94	syl2anr 495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) ) -> ( m / ( 2 ^ A ) ) e. RR )
96	95, 83	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) : ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) --> RR )
97		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) : ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) --> RR -> ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) Fn ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) )
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) Fn ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) )
99	98	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) Fn ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) Fn ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) )
101		fnfvelrn 6356	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) Fn ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) /\ ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ` ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) e. ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) )
102	100, 81, 101	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ` ( ( A J x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) e. ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) )
103	90, 102	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( A J x ) <_ A ) -> ( A J x ) e. ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) )
104	76	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( A x. ( 2 ^ A ) ) e. NN0 )
105	104, 72	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( A x. ( 2 ^ A ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
106		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A x. ( 2 ^ A ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( A x. ( 2 ^ A ) ) e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) )
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( A x. ( 2 ^ A ) ) e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) )
108		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( A x. ( 2 ^ A ) ) -> ( m / ( 2 ^ A ) ) = ( ( A x. ( 2 ^ A ) ) / ( 2 ^ A ) ) )
109		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A x. ( 2 ^ A ) ) / ( 2 ^ A ) ) e. _V
110	108, 83, 109	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( ( A x. ( 2 ^ A ) ) e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ` ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) = ( ( A x. ( 2 ^ A ) ) / ( 2 ^ A ) ) )
111	107, 110	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ` ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) = ( ( A x. ( 2 ^ A ) ) / ( 2 ^ A ) ) )
112	25	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> A e. CC )
113	29	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( 2 ^ A ) e. CC )
114	29	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( 2 ^ A ) =/= 0 )
115	112, 113, 114	divcan4d 10807	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( A x. ( 2 ^ A ) ) / ( 2 ^ A ) ) = A )
116	111, 115	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ` ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) = A )
117		fnfvelrn 6356	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) Fn ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) /\ ( A x. ( 2 ^ A ) ) e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ` ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) e. ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) )
118	99, 107, 117	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ` ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) e. ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) )
119	116, 118	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> A e. ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) )
120	119	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ -. ( A J x ) <_ A ) -> A e. ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) )
121	103, 120	ifclda 4120	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) e. ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) )
122		eluzfz1 12348	. . . . . . . 8 |- ( ( A x. ( 2 ^ A ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) )
123	105, 122	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) )
124		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( m / ( 2 ^ A ) ) = ( 0 / ( 2 ^ A ) ) )
125		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( 0 / ( 2 ^ A ) ) e. _V
126	124, 83, 125	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ` 0 ) = ( 0 / ( 2 ^ A ) ) )
127	123, 126	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ` 0 ) = ( 0 / ( 2 ^ A ) ) )
128		nncn 11028	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ A ) e. NN -> ( 2 ^ A ) e. CC )
129		nnne0 11053	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ A ) e. NN -> ( 2 ^ A ) =/= 0 )
130	128, 129	div0d 10800	. . . . . . 7 |- ( ( 2 ^ A ) e. NN -> ( 0 / ( 2 ^ A ) ) = 0 )
131	29, 130	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( 0 / ( 2 ^ A ) ) = 0 )
132	127, 131	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ` 0 ) = 0 )
133		fnfvelrn 6356	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) Fn ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) /\ 0 e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ` 0 ) e. ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) )
134	99, 123, 133	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ` 0 ) e. ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) )
135	132, 134	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 e. ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) )
136	121, 135	ifcld 4131	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) e. ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) )
137		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) )
138	136, 137	fmptd 6385	. 2 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) ) : RR --> ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) )
139		mbfi1fseq.1	. . . . 5 |- ( ph -> F e. MblFn )
140		mbfi1fseq.4	. . . . 5 |- G = ( m e. NN |-> ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u m [,] m ) , if ( ( m J x ) <_ m , ( m J x ) , m ) , 0 ) ) )
141	139, 2, 18, 140	mbfi1fseqlem2 23483	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( G ` A ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) ) )
142	141	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( G ` A ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) ) )
143	142	feq1d 6030	. 2 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( ( G ` A ) : RR --> ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) <-> ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) ) : RR --> ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) ) )
144	138, 143	mpbird 247	1 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( G ` A ) : RR --> ran ( m e. ( 0 ... ( A x. ( 2 ^ A ) ) ) |-> ( m / ( 2 ^ A ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem4  23485