Theorem axdc4uzlem 12782

Description: Lemma for axdc4uz 12783. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
axdc4uz.1	|- M e. ZZ
axdc4uz.2	|- Z = ( ZZ>= ` M )
axdc4uz.3	|- A e. _V
axdc4uz.4	|- G = ( rec ( ( y e. _V |-> ( y + 1 ) ) , M ) |` om )
axdc4uz.5	|- H = ( n e. om , x e. A |-> ( ( G ` n ) F x ) )

Assertion

Ref	Expression
axdc4uzlem	|- ( ( C e. A /\ F : ( Z X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> E. g ( g : Z --> A /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) )

Distinct variable groups:   g, k, n, x, A   C, g   g, F, k, n, x   y, g, M, k, n, x   g, Z, n, x   g, G, k, n, x   k, H

Allowed substitution hints:   A( y)   C( x, y, k, n)   F( y)   G( y)   H( x, y, g, n)   Z( y, k)

Proof of Theorem axdc4uzlem

Dummy variables f m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axdc4uz.1	. . . . . . . . . . 11 |- M e. ZZ
2		axdc4uz.4	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( rec ( ( y e. _V |-> ( y + 1 ) ) , M ) |` om )
3	1, 2	om2uzf1oi 12752	. . . . . . . . . 10 |- G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` M )
4		axdc4uz.2	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5		f1oeq3 6129	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z = ( ZZ>= ` M ) -> ( G : om -1-1-onto-> Z <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` M ) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( G : om -1-1-onto-> Z <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` M ) )
7	3, 6	mpbir 221	. . . . . . . . 9 |- G : om -1-1-onto-> Z
8		f1of 6137	. . . . . . . . 9 |- ( G : om -1-1-onto-> Z -> G : om --> Z )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- G : om --> Z
10	9	ffvelrni 6358	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( G ` n ) e. Z )
11		fovrn 6804	. . . . . . 7 |- ( ( F : ( Z X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) /\ ( G ` n ) e. Z /\ x e. A ) -> ( ( G ` n ) F x ) e. ( ~P A \ { (/) } ) )
12	10, 11	syl3an2 1360	. . . . . 6 |- ( ( F : ( Z X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) /\ n e. om /\ x e. A ) -> ( ( G ` n ) F x ) e. ( ~P A \ { (/) } ) )
13	12	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( F : ( Z X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) /\ ( n e. om /\ x e. A ) ) -> ( ( G ` n ) F x ) e. ( ~P A \ { (/) } ) )
14	13	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( F : ( Z X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) -> A. n e. om A. x e. A ( ( G ` n ) F x ) e. ( ~P A \ { (/) } ) )
15		axdc4uz.5	. . . . 5 |- H = ( n e. om , x e. A |-> ( ( G ` n ) F x ) )
16	15	fmpt2 7237	. . . 4 |- ( A. n e. om A. x e. A ( ( G ` n ) F x ) e. ( ~P A \ { (/) } ) <-> H : ( om X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) )
17	14, 16	sylib 208	. . 3 |- ( F : ( Z X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) -> H : ( om X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) )
18		axdc4uz.3	. . . 4 |- A e. _V
19	18	axdc4 9278	. . 3 |- ( ( C e. A /\ H : ( om X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> E. f ( f : om --> A /\ ( f ` (/) ) = C /\ A. m e. om ( f ` suc m ) e. ( m H ( f ` m ) ) ) )
20	17, 19	sylan2 491	. 2 |- ( ( C e. A /\ F : ( Z X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> E. f ( f : om --> A /\ ( f ` (/) ) = C /\ A. m e. om ( f ` suc m ) e. ( m H ( f ` m ) ) ) )
21		f1ocnv 6149	. . . . . . 7 |- ( G : om -1-1-onto-> Z -> `' G : Z -1-1-onto-> om )
22		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( `' G : Z -1-1-onto-> om -> `' G : Z --> om )
23	7, 21, 22	mp2b 10	. . . . . 6 |- `' G : Z --> om
24		fco 6058	. . . . . 6 |- ( ( f : om --> A /\ `' G : Z --> om ) -> ( f o. `' G ) : Z --> A )
25	23, 24	mpan2 707	. . . . 5 |- ( f : om --> A -> ( f o. `' G ) : Z --> A )
26	25	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( f : om --> A /\ ( f ` (/) ) = C /\ A. m e. om ( f ` suc m ) e. ( m H ( f ` m ) ) ) -> ( f o. `' G ) : Z --> A )
27		uzid 11702	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
28	1, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- M e. ( ZZ>= ` M )
29	28, 4	eleqtrri 2700	. . . . . . 7 |- M e. Z
30		fvco3 6275	. . . . . . 7 |- ( ( `' G : Z --> om /\ M e. Z ) -> ( ( f o. `' G ) ` M ) = ( f ` ( `' G ` M ) ) )
31	23, 29, 30	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( f o. `' G ) ` M ) = ( f ` ( `' G ` M ) )
32	1, 2	om2uz0i 12746	. . . . . . . 8 |- ( G ` (/) ) = M
33		peano1 7085	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
34		f1ocnvfv 6534	. . . . . . . . 9 |- ( ( G : om -1-1-onto-> Z /\ (/) e. om ) -> ( ( G ` (/) ) = M -> ( `' G ` M ) = (/) ) )
35	7, 33, 34	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` (/) ) = M -> ( `' G ` M ) = (/) )
36	32, 35	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( `' G ` M ) = (/)
37	36	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( f ` ( `' G ` M ) ) = ( f ` (/) )
38	31, 37	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( ( f o. `' G ) ` M ) = ( f ` (/) )
39		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( f : om --> A /\ ( f ` (/) ) = C /\ A. m e. om ( f ` suc m ) e. ( m H ( f ` m ) ) ) -> ( f ` (/) ) = C )
40	38, 39	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( f : om --> A /\ ( f ` (/) ) = C /\ A. m e. om ( f ` suc m ) e. ( m H ( f ` m ) ) ) -> ( ( f o. `' G ) ` M ) = C )
41	23	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z -> ( `' G ` k ) e. om )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : om --> A /\ k e. Z ) -> ( `' G ` k ) e. om )
43		suceq 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( `' G ` k ) -> suc m = suc ( `' G ` k ) )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( `' G ` k ) -> ( f ` suc m ) = ( f ` suc ( `' G ` k ) ) )
45		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( `' G ` k ) -> m = ( `' G ` k ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( `' G ` k ) -> ( f ` m ) = ( f ` ( `' G ` k ) ) )
47	45, 46	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( `' G ` k ) -> ( m H ( f ` m ) ) = ( ( `' G ` k ) H ( f ` ( `' G ` k ) ) ) )
48	44, 47	eleq12d 2695	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( `' G ` k ) -> ( ( f ` suc m ) e. ( m H ( f ` m ) ) <-> ( f ` suc ( `' G ` k ) ) e. ( ( `' G ` k ) H ( f ` ( `' G ` k ) ) ) ) )
49	48	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' G ` k ) e. om -> ( A. m e. om ( f ` suc m ) e. ( m H ( f ` m ) ) -> ( f ` suc ( `' G ` k ) ) e. ( ( `' G ` k ) H ( f ` ( `' G ` k ) ) ) ) )
50	42, 49	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( f : om --> A /\ k e. Z ) -> ( A. m e. om ( f ` suc m ) e. ( m H ( f ` m ) ) -> ( f ` suc ( `' G ` k ) ) e. ( ( `' G ` k ) H ( f ` ( `' G ` k ) ) ) ) )
51	4	peano2uzs 11742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z -> ( k + 1 ) e. Z )
52		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' G : Z --> om /\ ( k + 1 ) e. Z ) -> ( ( f o. `' G ) ` ( k + 1 ) ) = ( f ` ( `' G ` ( k + 1 ) ) ) )
53	23, 51, 52	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> ( ( f o. `' G ) ` ( k + 1 ) ) = ( f ` ( `' G ` ( k + 1 ) ) ) )
54	1, 2	om2uzsuci 12747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' G ` k ) e. om -> ( G ` suc ( `' G ` k ) ) = ( ( G ` ( `' G ` k ) ) + 1 ) )
55	41, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. Z -> ( G ` suc ( `' G ` k ) ) = ( ( G ` ( `' G ` k ) ) + 1 ) )
56		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G : om -1-1-onto-> Z /\ k e. Z ) -> ( G ` ( `' G ` k ) ) = k )
57	7, 56	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. Z -> ( G ` ( `' G ` k ) ) = k )
58	57	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. Z -> ( ( G ` ( `' G ` k ) ) + 1 ) = ( k + 1 ) )
59	55, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. Z -> ( G ` suc ( `' G ` k ) ) = ( k + 1 ) )
60		peano2 7086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' G ` k ) e. om -> suc ( `' G ` k ) e. om )
61	41, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. Z -> suc ( `' G ` k ) e. om )
62		f1ocnvfv 6534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G : om -1-1-onto-> Z /\ suc ( `' G ` k ) e. om ) -> ( ( G ` suc ( `' G ` k ) ) = ( k + 1 ) -> ( `' G ` ( k + 1 ) ) = suc ( `' G ` k ) ) )
63	7, 61, 62	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. Z -> ( ( G ` suc ( `' G ` k ) ) = ( k + 1 ) -> ( `' G ` ( k + 1 ) ) = suc ( `' G ` k ) ) )
64	59, 63	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z -> ( `' G ` ( k + 1 ) ) = suc ( `' G ` k ) )
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> ( f ` ( `' G ` ( k + 1 ) ) ) = ( f ` suc ( `' G ` k ) ) )
66	53, 65	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z -> ( f ` suc ( `' G ` k ) ) = ( ( f o. `' G ) ` ( k + 1 ) ) )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : om --> A /\ k e. Z ) -> ( f ` suc ( `' G ` k ) ) = ( ( f o. `' G ) ` ( k + 1 ) ) )
68		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : om --> A /\ ( `' G ` k ) e. om ) -> ( f ` ( `' G ` k ) ) e. A )
69	41, 68	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : om --> A /\ k e. Z ) -> ( f ` ( `' G ` k ) ) e. A )
70		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( `' G ` k ) -> ( G ` n ) = ( G ` ( `' G ` k ) ) )
71	70	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( `' G ` k ) -> ( ( G ` n ) F x ) = ( ( G ` ( `' G ` k ) ) F x ) )
72		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( f ` ( `' G ` k ) ) -> ( ( G ` ( `' G ` k ) ) F x ) = ( ( G ` ( `' G ` k ) ) F ( f ` ( `' G ` k ) ) ) )
73		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` ( `' G ` k ) ) F ( f ` ( `' G ` k ) ) ) e. _V
74	71, 72, 15, 73	ovmpt2 6796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( `' G ` k ) e. om /\ ( f ` ( `' G ` k ) ) e. A ) -> ( ( `' G ` k ) H ( f ` ( `' G ` k ) ) ) = ( ( G ` ( `' G ` k ) ) F ( f ` ( `' G ` k ) ) ) )
75	42, 69, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : om --> A /\ k e. Z ) -> ( ( `' G ` k ) H ( f ` ( `' G ` k ) ) ) = ( ( G ` ( `' G ` k ) ) F ( f ` ( `' G ` k ) ) ) )
76		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' G : Z --> om /\ k e. Z ) -> ( ( f o. `' G ) ` k ) = ( f ` ( `' G ` k ) ) )
77	23, 76	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. Z -> ( ( f o. `' G ) ` k ) = ( f ` ( `' G ` k ) ) )
78	77	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z -> ( f ` ( `' G ` k ) ) = ( ( f o. `' G ) ` k ) )
79	57, 78	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> ( ( G ` ( `' G ` k ) ) F ( f ` ( `' G ` k ) ) ) = ( k F ( ( f o. `' G ) ` k ) ) )
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : om --> A /\ k e. Z ) -> ( ( G ` ( `' G ` k ) ) F ( f ` ( `' G ` k ) ) ) = ( k F ( ( f o. `' G ) ` k ) ) )
81	75, 80	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : om --> A /\ k e. Z ) -> ( ( `' G ` k ) H ( f ` ( `' G ` k ) ) ) = ( k F ( ( f o. `' G ) ` k ) ) )
82	67, 81	eleq12d 2695	. . . . . . . 8 |- ( ( f : om --> A /\ k e. Z ) -> ( ( f ` suc ( `' G ` k ) ) e. ( ( `' G ` k ) H ( f ` ( `' G ` k ) ) ) <-> ( ( f o. `' G ) ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( ( f o. `' G ) ` k ) ) ) )
83	50, 82	sylibd 229	. . . . . . 7 |- ( ( f : om --> A /\ k e. Z ) -> ( A. m e. om ( f ` suc m ) e. ( m H ( f ` m ) ) -> ( ( f o. `' G ) ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( ( f o. `' G ) ` k ) ) ) )
84	83	impancom 456	. . . . . 6 |- ( ( f : om --> A /\ A. m e. om ( f ` suc m ) e. ( m H ( f ` m ) ) ) -> ( k e. Z -> ( ( f o. `' G ) ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( ( f o. `' G ) ` k ) ) ) )
85	84	ralrimiv 2965	. . . . 5 |- ( ( f : om --> A /\ A. m e. om ( f ` suc m ) e. ( m H ( f ` m ) ) ) -> A. k e. Z ( ( f o. `' G ) ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( ( f o. `' G ) ` k ) ) )
86	85	3adant2 1080	. . . 4 |- ( ( f : om --> A /\ ( f ` (/) ) = C /\ A. m e. om ( f ` suc m ) e. ( m H ( f ` m ) ) ) -> A. k e. Z ( ( f o. `' G ) ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( ( f o. `' G ) ` k ) ) )
87		vex 3203	. . . . . 6 |- f e. _V
88		rdgfun 7512	. . . . . . . . 9 |- Fun rec ( ( y e. _V |-> ( y + 1 ) ) , M )
89		omex 8540	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
90		resfunexg 6479	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun rec ( ( y e. _V |-> ( y + 1 ) ) , M ) /\ om e. _V ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y + 1 ) ) , M ) |` om ) e. _V )
91	88, 89, 90	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( rec ( ( y e. _V |-> ( y + 1 ) ) , M ) |` om ) e. _V
92	2, 91	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- G e. _V
93	92	cnvex 7113	. . . . . 6 |- `' G e. _V
94	87, 93	coex 7118	. . . . 5 |- ( f o. `' G ) e. _V
95		feq1 6026	. . . . . 6 |- ( g = ( f o. `' G ) -> ( g : Z --> A <-> ( f o. `' G ) : Z --> A ) )
96		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( g = ( f o. `' G ) -> ( g ` M ) = ( ( f o. `' G ) ` M ) )
97	96	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( g = ( f o. `' G ) -> ( ( g ` M ) = C <-> ( ( f o. `' G ) ` M ) = C ) )
98		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( g = ( f o. `' G ) -> ( g ` ( k + 1 ) ) = ( ( f o. `' G ) ` ( k + 1 ) ) )
99		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( f o. `' G ) -> ( g ` k ) = ( ( f o. `' G ) ` k ) )
100	99	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( g = ( f o. `' G ) -> ( k F ( g ` k ) ) = ( k F ( ( f o. `' G ) ` k ) ) )
101	98, 100	eleq12d 2695	. . . . . . 7 |- ( g = ( f o. `' G ) -> ( ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) <-> ( ( f o. `' G ) ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( ( f o. `' G ) ` k ) ) ) )
102	101	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( g = ( f o. `' G ) -> ( A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) <-> A. k e. Z ( ( f o. `' G ) ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( ( f o. `' G ) ` k ) ) ) )
103	95, 97, 102	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( g = ( f o. `' G ) -> ( ( g : Z --> A /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) <-> ( ( f o. `' G ) : Z --> A /\ ( ( f o. `' G ) ` M ) = C /\ A. k e. Z ( ( f o. `' G ) ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( ( f o. `' G ) ` k ) ) ) ) )
104	94, 103	spcev 3300	. . . 4 |- ( ( ( f o. `' G ) : Z --> A /\ ( ( f o. `' G ) ` M ) = C /\ A. k e. Z ( ( f o. `' G ) ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( ( f o. `' G ) ` k ) ) ) -> E. g ( g : Z --> A /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) )
105	26, 40, 86, 104	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( f : om --> A /\ ( f ` (/) ) = C /\ A. m e. om ( f ` suc m ) e. ( m H ( f ` m ) ) ) -> E. g ( g : Z --> A /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) )
106	105	exlimiv 1858	. 2 |- ( E. f ( f : om --> A /\ ( f ` (/) ) = C /\ A. m e. om ( f ` suc m ) e. ( m H ( f ` m ) ) ) -> E. g ( g : Z --> A /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) )
107	20, 106	syl 17	1 |- ( ( C e. A /\ F : ( Z X. A ) --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> E. g ( g : Z --> A /\ ( g ` M ) = C /\ A. k e. Z ( g ` ( k + 1 ) ) e. ( k F ( g ` k ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   reccrdg 7505   1c1 9937   + caddc 9939   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-dc 9268  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  axdc4uz  12783