Theorem xmetcl 22136

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 22134	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		fovrn 6804	. 2 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
3	1, 2	syl3an1 1359	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   *Metcxmt 19731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-xr 10078  df-xmet 19739

This theorem is referenced by:  xmetge0  22149  xmetlecl  22151  xmetsym  22152  xmetrtri  22160  xmetrtri2  22161  xmetgt0  22163  prdsdsf  22172  prdsxmetlem  22173  imasdsf1olem  22178  imasf1oxmet  22180  xpsdsval  22186  xblpnf  22201  bldisj  22203  blgt0  22204  xblss2  22207  blhalf  22210  xbln0  22219  blin  22226  blss  22230  xmscl  22267  prdsbl  22296  blsscls2  22309  blcld  22310  blcls  22311  comet  22318  stdbdxmet  22320  stdbdmet  22321  stdbdbl  22322  tmsxpsval2  22344  metcnpi3  22351  txmetcnp  22352  xrsmopn  22615  metdcnlem  22639  metdsf  22651  metdsge  22652  metdstri  22654  metdsle  22655  metdscnlem  22658  metnrmlem1  22662  metnrmlem3  22664  lmnn  23061  iscfil2  23064  iscau3  23076  dvlip2  23758  heicant  33444