Theorem mbfi1fseqlem5 23486

Description: Lemma for mbfi1fseq 23488. Verify that G describes an increasing sequence of positive functions. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfi1fseq.1	|- ( ph -> F e. MblFn )
mbfi1fseq.2	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
mbfi1fseq.3	|- J = ( m e. NN , y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) )
mbfi1fseq.4	|- G = ( m e. NN |-> ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u m [,] m ) , if ( ( m J x ) <_ m , ( m J x ) , m ) , 0 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mbfi1fseqlem5	|- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( G ` A ) /\ ( G ` A ) oR <_ ( G ` ( A + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, m, y, F   x, G   m, J   ph, m, x, y   A, m, x, y

Allowed substitution hints:   G( y, m)   J( x, y)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfi1fseq.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
2	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
3	2	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
4		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
5	3, 4	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
6	5	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR )
7		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
8		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. NN -> A e. NN0 )
9		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. NN0 ) -> ( 2 ^ A ) e. NN )
10	7, 8, 9	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ A ) e. NN )
11	10	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( 2 ^ A ) e. NN )
12	11	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( 2 ^ A ) e. RR )
13	6, 12	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) e. RR )
14	11	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( 2 ^ A ) e. NN0 )
15	14	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( 2 ^ A ) )
16		mulge0 10546	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) /\ ( ( 2 ^ A ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ A ) ) ) -> 0 <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) )
17	5, 12, 15, 16	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) )
18		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) e. NN0 )
19	13, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) e. NN0 )
20	19	nn0red 11352	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) e. RR )
21	19	nn0ge0d 11354	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) )
22	11	nngt0d 11064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 < ( 2 ^ A ) )
23		divge0 10892	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) ) /\ ( ( 2 ^ A ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ A ) ) ) -> 0 <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) )
24	20, 21, 12, 22, 23	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) )
25		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m = A /\ y = x ) -> y = x )
26	25	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m = A /\ y = x ) -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
27		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m = A /\ y = x ) -> m = A )
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m = A /\ y = x ) -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ A ) )
29	26, 28	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m = A /\ y = x ) -> ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) = ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m = A /\ y = x ) -> ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) = ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) )
31	30, 28	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = A /\ y = x ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) )
32		mbfi1fseq.3	. . . . . . . . 9 |- J = ( m e. NN , y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) )
33		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) e. _V
34	31, 32, 33	ovmpt2a 6791	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ x e. RR ) -> ( A J x ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) )
35	34	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( A J x ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) )
36	24, 35	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( A J x ) )
37	8	nn0ge0d 11354	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> 0 <_ A )
38	37	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ A )
39		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( ( A J x ) = if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) -> ( 0 <_ ( A J x ) <-> 0 <_ if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) ) )
40		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( A = if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) -> ( 0 <_ A <-> 0 <_ if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) ) )
41	39, 40	ifboth 4124	. . . . . 6 |- ( ( 0 <_ ( A J x ) /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) )
42	36, 38, 41	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) )
43		0le0 11110	. . . . 5 |- 0 <_ 0
44		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) = if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) -> ( 0 <_ if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <-> 0 <_ if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) ) )
45		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( 0 = if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) -> ( 0 <_ 0 <-> 0 <_ if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) ) )
46	44, 45	ifboth 4124	. . . . 5 |- ( ( 0 <_ if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) /\ 0 <_ 0 ) -> 0 <_ if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) )
47	42, 43, 46	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) )
48	47	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> A. x e. RR 0 <_ if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) )
49		0re 10040	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
50		fnconstg 6093	. . . . . . 7 |- ( 0 e. RR -> ( CC X. { 0 } ) Fn CC )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( CC X. { 0 } ) Fn CC
52		df-0p 23437	. . . . . . 7 |- 0p = ( CC X. { 0 } )
53	52	fneq1i 5985	. . . . . 6 |- ( 0p Fn CC <-> ( CC X. { 0 } ) Fn CC )
54	51, 53	mpbir 221	. . . . 5 |- 0p Fn CC
55	54	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> 0p Fn CC )
56		mbfi1fseq.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. MblFn )
57		mbfi1fseq.4	. . . . . . 7 |- G = ( m e. NN |-> ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u m [,] m ) , if ( ( m J x ) <_ m , ( m J x ) , m ) , 0 ) ) )
58	56, 1, 32, 57	mbfi1fseqlem4 23485	. . . . . 6 |- ( ph -> G : NN --> dom S.1 )
59	58	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( G ` A ) e. dom S.1 )
60		i1ff 23443	. . . . 5 |- ( ( G ` A ) e. dom S.1 -> ( G ` A ) : RR --> RR )
61		ffn 6045	. . . . 5 |- ( ( G ` A ) : RR --> RR -> ( G ` A ) Fn RR )
62	59, 60, 61	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( G ` A ) Fn RR )
63		cnex 10017	. . . . 5 |- CC e. _V
64	63	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> CC e. _V )
65		reex 10027	. . . . 5 |- RR e. _V
66	65	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> RR e. _V )
67		ax-resscn 9993	. . . . 5 |- RR C_ CC
68		sseqin2 3817	. . . . 5 |- ( RR C_ CC <-> ( CC i^i RR ) = RR )
69	67, 68	mpbi 220	. . . 4 |- ( CC i^i RR ) = RR
70		0pval 23438	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( 0p ` x ) = 0 )
71	70	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( 0p ` x ) = 0 )
72	56, 1, 32, 57	mbfi1fseqlem2 23483	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( G ` A ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) ) )
73	72	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( ( G ` A ) ` x ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) ) ` x ) )
74	73	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( G ` A ) ` x ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) ) ` x ) )
75		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> x e. RR )
76		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
77		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. NN /\ y e. RR ) -> y e. RR )
78		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
79	1, 77, 78	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
80	76, 79	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
81		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
82		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. NN /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
83	7, 81, 82	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> ( 2 ^ m ) e. NN )
84	83	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
85	84	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( 2 ^ m ) e. RR )
86	80, 85	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) e. RR )
87		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) e. RR -> ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) e. RR )
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) e. RR )
89	88, 84	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) e. RR )
90	89	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. m e. NN A. y e. RR ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) e. RR )
91	32	fmpt2 7237	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. m e. NN A. y e. RR ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) e. RR <-> J : ( NN X. RR ) --> RR )
92	90, 91	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J : ( NN X. RR ) --> RR )
93		fovrn 6804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J : ( NN X. RR ) --> RR /\ A e. NN /\ x e. RR ) -> ( A J x ) e. RR )
94	92, 93	syl3an1 1359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A e. NN /\ x e. RR ) -> ( A J x ) e. RR )
95	94	3expa 1265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( A J x ) e. RR )
96		nnre 11027	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> A e. RR )
97	96	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> A e. RR )
98	95, 97	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) e. RR )
99		ifcl 4130	. . . . . . 7 |- ( ( if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) e. RR )
100	98, 49, 99	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) e. RR )
101		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) )
102	101	fvmpt2 6291	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) e. RR ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) )
103	75, 100, 102	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) )
104	74, 103	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( G ` A ) ` x ) = if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) )
105	55, 62, 64, 66, 69, 71, 104	ofrfval 6905	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( G ` A ) <-> A. x e. RR 0 <_ if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) ) )
106	48, 105	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> 0p oR <_ ( G ` A ) )
107	56, 1, 32	mbfi1fseqlem1 23482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J : ( NN X. RR ) --> ( 0 [,) +oo ) )
108	107	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> J : ( NN X. RR ) --> ( 0 [,) +oo ) )
109		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )
110	109	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( A + 1 ) e. NN )
111	108, 110, 75	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( A + 1 ) J x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
112		elrege0 12278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A + 1 ) J x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( A + 1 ) J x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A + 1 ) J x ) ) )
113	111, 112	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( A + 1 ) J x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A + 1 ) J x ) ) )
114	113	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( A + 1 ) J x ) e. RR )
115		min1 12020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A J x ) e. RR /\ A e. RR ) -> if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <_ ( A J x ) )
116	95, 97, 115	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <_ ( A J x ) )
117		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. CC
118	8	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> A e. NN0 )
119		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. CC /\ A e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) )
120	117, 118, 119	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) )
121	120	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) = ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) x. ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) ) )
122	35, 95	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) e. RR )
123	122	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) e. CC )
124	12	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( 2 ^ A ) e. CC )
125		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 2 e. CC )
126	123, 124, 125	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) x. ( 2 ^ A ) ) x. 2 ) = ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) x. ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) ) )
127	20	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) e. CC )
128	11	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( 2 ^ A ) =/= 0 )
129	127, 124, 128	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) x. ( 2 ^ A ) ) = ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) )
130	129	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) x. ( 2 ^ A ) ) x. 2 ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) x. 2 ) )
131	121, 126, 130	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) x. 2 ) )
132		flle 12600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) e. RR -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) )
133	13, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) )
134		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
135		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < 2
136	134, 135	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
138		lemul1 10875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) e. RR /\ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) <-> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) x. 2 ) <_ ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) x. 2 ) ) )
139	20, 13, 137, 138	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) <-> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) x. 2 ) <_ ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) x. 2 ) ) )
140	133, 139	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) x. 2 ) <_ ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) x. 2 ) )
141	120	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) = ( ( F ` x ) x. ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) ) )
142	6	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. CC )
143	142, 124, 125	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) x. 2 ) = ( ( F ` x ) x. ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) ) )
144	141, 143	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) = ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) x. 2 ) )
145	140, 144	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) x. 2 ) <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) )
146	110	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( A + 1 ) e. NN0 )
147		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. NN /\ ( A + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. NN )
148	7, 146, 147	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. NN )
149	148	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR )
150	6, 149	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) e. RR )
151	13	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) e. ZZ )
152		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. ZZ
153		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) x. 2 ) e. ZZ )
154	151, 152, 153	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) x. 2 ) e. ZZ )
155		flge 12606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) x. 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) x. 2 ) <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) <-> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) x. 2 ) <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) ) )
156	150, 154, 155	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) x. 2 ) <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) <-> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) x. 2 ) <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) ) )
157	145, 156	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) x. 2 ) <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) )
158	131, 157	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) )
159		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) e. RR -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) e. RR )
160	150, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) e. RR )
161	148	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
162		lemuldiv 10903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) e. RR /\ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) e. RR /\ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) <-> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) )
163	122, 160, 149, 161, 162	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) <-> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) )
164	158, 163	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ A ) ) ) / ( 2 ^ A ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) )
165		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m = ( A + 1 ) /\ y = x ) -> y = x )
166	165	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m = ( A + 1 ) /\ y = x ) -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
167		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m = ( A + 1 ) /\ y = x ) -> m = ( A + 1 ) )
168	167	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m = ( A + 1 ) /\ y = x ) -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
169	166, 168	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m = ( A + 1 ) /\ y = x ) -> ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) = ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) )
170	169	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m = ( A + 1 ) /\ y = x ) -> ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) = ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) )
171	170, 168	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m = ( A + 1 ) /\ y = x ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) )
172		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) e. _V
173	171, 32, 172	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A + 1 ) e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( A + 1 ) J x ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) )
174	110, 75, 173	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( A + 1 ) J x ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( A + 1 ) ) ) )
175	164, 35, 174	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( A J x ) <_ ( ( A + 1 ) J x ) )
176	98, 95, 114, 116, 175	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <_ ( ( A + 1 ) J x ) )
177	110	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( A + 1 ) e. RR )
178		min2 12021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A J x ) e. RR /\ A e. RR ) -> if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <_ A )
179	95, 97, 178	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <_ A )
180	97	lep1d 10955	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> A <_ ( A + 1 ) )
181	98, 97, 177, 179, 180	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <_ ( A + 1 ) )
182		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A + 1 ) J x ) = if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) -> ( if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <_ ( ( A + 1 ) J x ) <-> if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <_ if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) ) )
183		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( ( A + 1 ) = if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) -> ( if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <_ ( A + 1 ) <-> if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <_ if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) ) )
184	182, 183	ifboth 4124	. . . . . . . 8 |- ( ( if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <_ ( ( A + 1 ) J x ) /\ if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <_ ( A + 1 ) ) -> if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <_ if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) )
185	176, 181, 184	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <_ if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) )
186	185	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x e. ( -u A [,] A ) ) -> if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) <_ if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) )
187		iftrue 4092	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u A [,] A ) -> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) = if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) )
188	187	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x e. ( -u A [,] A ) ) -> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) = if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) )
189	177	renegcld 10457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> -u ( A + 1 ) e. RR )
190	97, 177	lenegd 10606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( A <_ ( A + 1 ) <-> -u ( A + 1 ) <_ -u A ) )
191	180, 190	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> -u ( A + 1 ) <_ -u A )
192		iccss 12241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -u ( A + 1 ) e. RR /\ ( A + 1 ) e. RR ) /\ ( -u ( A + 1 ) <_ -u A /\ A <_ ( A + 1 ) ) ) -> ( -u A [,] A ) C_ ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) )
193	189, 177, 191, 180, 192	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( -u A [,] A ) C_ ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) )
194	193	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x e. ( -u A [,] A ) ) -> x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) )
195	194	iftrued 4094	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x e. ( -u A [,] A ) ) -> if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) = if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) )
196	186, 188, 195	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x e. ( -u A [,] A ) ) -> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) <_ if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) )
197		iffalse 4095	. . . . . . 7 |- ( -. x e. ( -u A [,] A ) -> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) = 0 )
198	197	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ -. x e. ( -u A [,] A ) ) -> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) = 0 )
199	113	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( ( A + 1 ) J x ) )
200	146	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( A + 1 ) )
201		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A + 1 ) J x ) = if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) -> ( 0 <_ ( ( A + 1 ) J x ) <-> 0 <_ if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) ) )
202		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A + 1 ) = if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) -> ( 0 <_ ( A + 1 ) <-> 0 <_ if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) ) )
203	201, 202	ifboth 4124	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 <_ ( ( A + 1 ) J x ) /\ 0 <_ ( A + 1 ) ) -> 0 <_ if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) )
204	199, 200, 203	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) )
205		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) = if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) -> ( 0 <_ if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) <-> 0 <_ if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) ) )
206		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( 0 = if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) -> ( 0 <_ 0 <-> 0 <_ if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) ) )
207	205, 206	ifboth 4124	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 <_ if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) /\ 0 <_ 0 ) -> 0 <_ if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) )
208	204, 43, 207	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) )
209	208	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ -. x e. ( -u A [,] A ) ) -> 0 <_ if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) )
210	198, 209	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) /\ -. x e. ( -u A [,] A ) ) -> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) <_ if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) )
211	196, 210	pm2.61dan 832	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) <_ if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) )
212	211	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> A. x e. RR if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) <_ if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) )
213		ffvelrn 6357	. . . . . 6 |- ( ( G : NN --> dom S.1 /\ ( A + 1 ) e. NN ) -> ( G ` ( A + 1 ) ) e. dom S.1 )
214	58, 109, 213	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( G ` ( A + 1 ) ) e. dom S.1 )
215		i1ff 23443	. . . . 5 |- ( ( G ` ( A + 1 ) ) e. dom S.1 -> ( G ` ( A + 1 ) ) : RR --> RR )
216		ffn 6045	. . . . 5 |- ( ( G ` ( A + 1 ) ) : RR --> RR -> ( G ` ( A + 1 ) ) Fn RR )
217	214, 215, 216	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( G ` ( A + 1 ) ) Fn RR )
218		inidm 3822	. . . 4 |- ( RR i^i RR ) = RR
219	56, 1, 32, 57	mbfi1fseqlem2 23483	. . . . . . 7 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( G ` ( A + 1 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) ) )
220	219	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( ( G ` ( A + 1 ) ) ` x ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) ) ` x ) )
221	110, 220	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( G ` ( A + 1 ) ) ` x ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) ) ` x ) )
222	114, 177	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) e. RR )
223		ifcl 4130	. . . . . . 7 |- ( ( if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) e. RR )
224	222, 49, 223	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) e. RR )
225		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) )
226	225	fvmpt2 6291	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) e. RR ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) )
227	75, 224, 226	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) )
228	221, 227	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( G ` ( A + 1 ) ) ` x ) = if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) )
229	62, 217, 66, 66, 218, 104, 228	ofrfval 6905	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( ( G ` A ) oR <_ ( G ` ( A + 1 ) ) <-> A. x e. RR if ( x e. ( -u A [,] A ) , if ( ( A J x ) <_ A , ( A J x ) , A ) , 0 ) <_ if ( x e. ( -u ( A + 1 ) [,] ( A + 1 ) ) , if ( ( ( A + 1 ) J x ) <_ ( A + 1 ) , ( ( A + 1 ) J x ) , ( A + 1 ) ) , 0 ) ) )
230	212, 229	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( G ` A ) oR <_ ( G ` ( A + 1 ) ) )
231	106, 230	jca 554	1 |- ( ( ph /\ A e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( G ` A ) /\ ( G ` A ) oR <_ ( G ` ( A + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   oRcofr 6896   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   |_cfl 12591   ^cexp 12860  MblFncmbf 23383   S.1citg1 23384   0pc0p 23436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem6  23487