mbfi1fseqlem4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem mbfi1fseqlem4 23485

Description: Lemma for mbfi1fseq 23488. This lemma is not as interesting as it is long - it is simply checking that

is in fact a sequence of simple functions, by verifying that its range is in

(which is to say, the numbers from

in increments of

), and also that the preimage of each point

is measurable, because it is equal to

for

and

for

. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mbfi1fseq.1	MblFn
mbfi1fseq.2
mbfi1fseq.3
mbfi1fseq.4

**Assertion**
Ref	Expression
mbfi1fseqlem4

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem4 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 10027	. . . . 5
2	1	mptex 6486	. . . 4
3		mbfi1fseq.4	. . . 4
4	2, 3	fnmpti 6022	. . 3
5	4	a1i 11	. 2
6		mbfi1fseq.1	. . . . . 6 MblFn
7		mbfi1fseq.2	. . . . . 6
8		mbfi1fseq.3	. . . . . 6
9	6, 7, 8, 3	mbfi1fseqlem3 23484	. . . . 5 $/\$
10		elfznn0 12433	. . . . . . . . 9
11	10	nn0red 11352	. . . . . . . 8
12		2nn 11185	. . . . . . . . . 10
13		nnnn0 11299	. . . . . . . . . 10
14		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . 10 $/\$
15	12, 13, 14	sylancr 695	. . . . . . . . 9
16	15	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
17		nndivre 11056	. . . . . . . 8 $/\$
18	11, 16, 17	syl2anr 495	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
19		eqid 2622	. . . . . . 7
20	18, 19	fmptd 6385	. . . . . 6 $/\$
21		frn 6053	. . . . . 6
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 $/\$
23	9, 22	fssd 6057	. . . 4 $/\$
24		fzfid 12772	. . . . . 6 $/\$
25		ffn 6045	. . . . . . . 8
26	20, 25	syl 17	. . . . . . 7 $/\$
27		dffn4 6121	. . . . . . 7
28	26, 27	sylib 208	. . . . . 6 $/\$
29		fofi 8252	. . . . . 6 $/\$
30	24, 28, 29	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$
31		frn 6053	. . . . . 6
32	9, 31	syl 17	. . . . 5 $/\$
33		ssfi 8180	. . . . 5 $/\$
34	30, 32, 33	syl2anc 693	. . . 4 $/\$
35	6, 7, 8, 3	mbfi1fseqlem2 23483	. . . . . . . . . . . . . 14
36	35	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13
37	36	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
39		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15
40		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	39, 40	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . 14
42		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . 14
43	41, 42	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . 13
44		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
46	38, 43, 45	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
47	37, 46	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
48	47	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
49	48	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
50		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
51	50	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
52		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . 12
53	51, 52	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
54		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12
55	54	necon1ai 2821	. . . . . . . . . . 11
56	53, 55	syl6 35	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
57	56	pm4.71rd 667	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
58		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12
59	58	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11
60		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
61	60	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
63		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
64		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
65		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
66	7, 64, 65	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
67	63, 66	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
68		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
69		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
70	12, 68, 69	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
71	70	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
72	71	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
73	67, 72	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
74		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
76	75, 71	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
77	76	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
78	8	fmpt2 7237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
79	77, 78	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
80		fovrn 6804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
81	79, 80	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
82	81	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
83	82	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
84	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
85		lemin 12023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
86	62, 84, 62, 85	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	84, 62	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
88	87, 62	letri3d 10179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
89		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
90	89	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
91		min2 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
92	84, 62, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
93	92	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	88, 90, 93	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
95	62	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
96	95	biantrud 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	86, 94, 96	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
98		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15
99	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
100	99	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
101		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
102	100, 101	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
103	102	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
104	103	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
105	60, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
106	105	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
107	104, 106	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
108		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
110	105	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
111		lemuldiv 10903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
112	61, 109, 106, 110, 111	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
113		lemul1 10875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
114	61, 104, 106, 110, 113	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
115		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
116	15, 115	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117	60, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
118	117	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
119		flge 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
120	107, 118, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
121	114, 120	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
122		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
123		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
124	123	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
125		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
126	125	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
127	124, 126	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
128	127	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
129	128, 126	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
130		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
131	129, 8, 130	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
132	60, 122, 131	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
133	132	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
134	112, 121, 133	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
135	98, 134	sylan9bbr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
136	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
137		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
138	137	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
139	136, 138	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
140	139	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	97, 135, 140	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	32	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\$
143	142	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$
144	19	rnmpt 5371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
145	144	abeq2i 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
146		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
147	146	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
148	147	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
149	15	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
150	149	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
151	149	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
152	148, 150, 151	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
153	152, 147	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
154		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
155	154	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
156	153, 155	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
157	156	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
158	145, 157	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
159	158	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
160	143, 159	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$
161	160	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
162		flbi 12617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
163	107, 161, 162	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
165		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
166	165	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
167		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
168	167	necon1ai 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
169	166, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
170	169	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
171		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
172	170, 171	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
173	172, 169	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
174	173, 172	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
175	174	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
176		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
177	176	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
178	177	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
179		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
180	178, 179	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
181	175, 180	impbid1 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
182	181	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
183		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
184		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
185	184	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
186	82, 185, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
187	13	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
188	187	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
189		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
190		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
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Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

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cvol 23232 MblFncmbf 23383

citg1 23384

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388 df-itg1 23389

This theorem is referenced by: mbfi1fseqlem5 23486 mbfi1fseqlem6 23487

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