Theorem imasgrp2 17530

Description: The image structure of a group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasgrp.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasgrp.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasgrp.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
imasgrp.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasgrp.e	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
imasgrp2.r	|- ( ph -> R e. W )
imasgrp2.1	|- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( x .+ y ) e. V )
imasgrp2.2	|- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
imasgrp2.3	|- ( ph -> .0. e. V )
imasgrp2.4	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .0. .+ x ) ) = ( F ` x ) )
imasgrp2.5	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> N e. V )
imasgrp2.6	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( N .+ x ) ) = ( F ` .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
imasgrp2	|- ( ph -> ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )

Distinct variable groups:   q, p, x, B   N, p   a, b, p, q, x, y, z, ph   R, p, q   F, a, b, p, q, x, y, z   .+ , p, q, x, y   U, a, b, p, q, x, y, z   V, a, b, p, q, x, y, z   .0. , p, q, x

Allowed substitution hints:   B( y, z, a, b)   .+ ( z, a, b)   R( x, y, z, a, b)   N( x, y, z, q, a, b)   W( x, y, z, q, p, a, b)   .0. ( y, z, a, b)

Proof of Theorem imasgrp2

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasgrp.u	. . . 4 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasgrp.v	. . . 4 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasgrp.f	. . . 4 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
4		imasgrp2.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. W )
5	1, 2, 3, 4	imasbas 16172	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` U ) )
6		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` U ) = ( +g ` U ) )
7		imasgrp.e	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
8		imasgrp.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
9	8	oveqd 6667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( a .+ b ) = ( a ( +g ` R ) b ) )
10	9	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) )
11	8	oveqd 6667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( p .+ q ) = ( p ( +g ` R ) q ) )
12	11	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` ( p .+ q ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) )
13	10, 12	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) <-> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
14	13	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) <-> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
15	7, 14	sylibd 229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
16		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
17		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
18	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .+ q ) = ( p ( +g ` R ) q ) )
19		imasgrp2.1	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( x .+ y ) e. V )
20	19	3expb 1266	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
21	20	caovclg 6826	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .+ q ) e. V )
22	18, 21	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p ( +g ` R ) q ) e. V )
23	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17, 22	imasaddf 16193	. . . 4 |- ( ph -> ( +g ` U ) : ( B X. B ) --> B )
24		fovrn 6804	. . . 4 |- ( ( ( +g ` U ) : ( B X. B ) --> B /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( +g ` U ) v ) e. B )
25	23, 24	syl3an1 1359	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( +g ` U ) v ) e. B )
26		forn 6118	. . . . . . . . . 10 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
27	3, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran F = B )
28	27	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> u e. B ) )
29	27	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( v e. ran F <-> v e. B ) )
30	27	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. ran F <-> w e. B ) )
31	28, 29, 30	3anbi123d 1399	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
32		fofn 6117	. . . . . . . . 9 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
33	3, 32	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn V )
34		fvelrnb 6243	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
35		fvelrnb 6243	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( v e. ran F <-> E. y e. V ( F ` y ) = v ) )
36		fvelrnb 6243	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( w e. ran F <-> E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
37	34, 35, 36	3anbi123d 1399	. . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
38	33, 37	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
39	31, 38	bitr3d 270	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
40		3reeanv 3108	. . . . . 6 |- ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
41	39, 40	syl6bbr 278	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) ) )
42		imasgrp2.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) = ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
43	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> .+ = ( +g ` R ) )
44	43	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( ( x .+ y ) ( +g ` R ) z ) )
45	44	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .+ z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) ( +g ` R ) z ) ) )
46	43	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ ( y .+ z ) ) = ( x ( +g ` R ) ( y .+ z ) ) )
47	46	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( x .+ ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) ( y .+ z ) ) ) )
48	42, 45, 47	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) ( +g ` R ) z ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) ( y .+ z ) ) ) )
49		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ph )
50	19	3adant3r3 1276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
51		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
52	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 16192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .+ y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) ( +g ` R ) z ) ) )
53	49, 50, 51, 52	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) ( +g ` R ) z ) ) )
54		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. V )
55	21	caovclg 6826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
56	55	3adantr1 1220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
57	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 16192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .+ z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) ( y .+ z ) ) ) )
58	49, 54, 56, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) ( y .+ z ) ) ) )
59	48, 53, 58	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
60	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 16192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) )
61	60	3adant3r3 1276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) )
62	43	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` R ) y ) )
63	62	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) )
64	61, 63	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
65	64	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) )
66	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 16192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y ( +g ` R ) z ) ) )
67	66	3adant3r1 1274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y ( +g ` R ) z ) ) )
68	43	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) = ( y ( +g ` R ) z ) )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( y .+ z ) ) = ( F ` ( y ( +g ` R ) z ) ) )
70	67, 69	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
71	70	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
72	59, 65, 71	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) )
73		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` x ) = u )
74		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` y ) = v )
75	73, 74	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( +g ` U ) v ) )
76		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` z ) = w )
77	75, 76	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) )
78	74, 76	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( +g ` U ) w ) )
79	73, 78	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
80	77, 79	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
81	72, 80	syl5ibcom 235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
82	81	3exp2 1285	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
83	82	imp32 449	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) ) )
84	83	rexlimdv 3030	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
85	84	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
86	41, 85	sylbid 230	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) ) )
87	86	imp 445	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( +g ` U ) w ) = ( u ( +g ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
88		fof 6115	. . . . 5 |- ( F : V -onto-> B -> F : V --> B )
89	3, 88	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> F : V --> B )
90		imasgrp2.3	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. V )
91	89, 90	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ph -> ( F ` .0. ) e. B )
92	33, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
93	28, 92	bitr3d 270	. . . . 5 |- ( ph -> ( u e. B <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
94		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ph )
95	90	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> .0. e. V )
96		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. V )
97	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 16192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ .0. e. V /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .0. ( +g ` R ) x ) ) )
98	94, 95, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .0. ( +g ` R ) x ) ) )
99	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> .+ = ( +g ` R ) )
100	99	oveqd 6667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( .0. .+ x ) = ( .0. ( +g ` R ) x ) )
101	100	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .0. .+ x ) ) = ( F ` ( .0. ( +g ` R ) x ) ) )
102		imasgrp2.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .0. .+ x ) ) = ( F ` x ) )
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
104		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) )
105		id 22	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( F ` x ) = u )
106	104, 105	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) <-> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
107	103, 106	syl5ibcom 235	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
108	107	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
109	93, 108	sylbid 230	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u ) )
110	109	imp 445	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( ( F ` .0. ) ( +g ` U ) u ) = u )
111	89	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> F : V --> B )
112		imasgrp2.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> N e. V )
113	111, 112	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` N ) e. B )
114	3, 15, 1, 2, 4, 16, 17	imasaddval 16192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. V /\ x e. V ) -> ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( N ( +g ` R ) x ) ) )
115	94, 112, 96, 114	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( N ( +g ` R ) x ) ) )
116	99	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( N .+ x ) = ( N ( +g ` R ) x ) )
117	116	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( N .+ x ) ) = ( F ` ( N ( +g ` R ) x ) ) )
118		imasgrp2.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( N .+ x ) ) = ( F ` .0. ) )
119	115, 117, 118	3eqtr2d 2662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) )
120		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( F ` N ) -> ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) )
121	120	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( F ` N ) -> ( ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) <-> ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) ) )
122	121	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` N ) e. B /\ ( ( F ` N ) ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) ) -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) )
123	113, 119, 122	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) )
124		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) = u -> ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( v ( +g ` U ) u ) )
125	124	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) <-> ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) ) )
126	125	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( E. v e. B ( v ( +g ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` .0. ) <-> E. v e. B ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) ) )
127	123, 126	syl5ibcom 235	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) ) )
128	127	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) ) )
129	93, 128	sylbid 230	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) ) )
130	129	imp 445	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> E. v e. B ( v ( +g ` U ) u ) = ( F ` .0. ) )
131	5, 6, 25, 87, 91, 110, 130	isgrpde 17443	. 2 |- ( ph -> U e. Grp )
132	5, 6, 91, 110, 131	grpidd2 17459	. 2 |- ( ph -> ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) )
133	131, 132	jca 554	1 |- ( ph -> ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   "_s cimas 16164   Grpcgrp 17422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-0g 16102  df-imas 16168  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425

This theorem is referenced by:  imasgrp  17531  qusgrp2  17533