isbnd3 - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem isbnd3 33583

Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
isbnd3	$/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem isbnd3 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bndmet 33580	. . 3
2		0re 10040	. . . . . 6
3	2	ne0ii 3923	. . . . 5
4		metf 22135	. . . . . . . . . 10
5		ffn 6045	. . . . . . . . . 10
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9
7	1, 6	syl 17	. . . . . . . 8
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
9	1, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
10		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11
12		xpeq2 5129	. . . . . . . . . . . 12
13		xp0 5552	. . . . . . . . . . . 12
14	12, 13	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11
15	11, 14	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . 10 $/\$
16	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
17		dm0rn0 5342	. . . . . . . . 9
18	16, 17	sylib 208	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		0ss 3972	. . . . . . . 8
20	18, 19	syl6eqss 3655	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
21		df-f 5892	. . . . . . 7 $/\$
22	8, 20, 21	sylanbrc 698	. . . . . 6 $/\$ $/\$
23	22	ralrimiva 2966	. . . . 5 $/\$
24		r19.2z 4060	. . . . 5 $/\$
25	3, 23, 24	sylancr 695	. . . 4 $/\$
26		isbnd2 33582	. . . . . 6 $/\$ $/\$
27	26	simprbi 480	. . . . 5 $/\$
28		2re 11090	. . . . . . . . . . 11
29		simprlr 803	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
30	29	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
31		remulcl 10021	. . . . . . . . . . 11 $/\$
32	28, 30, 31	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
33	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
34		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		metge0 22150	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
40	34, 35, 36, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
45	34, 43, 35, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
47	34, 43, 36, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	45, 47	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		mettri2 22146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
50	34, 43, 35, 36, 49	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	35, 52	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		metxmet 22139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
55	34, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
57	56	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
58	57	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		elbl2 22195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
60	55, 58, 43, 35, 59	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	53, 60	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	36, 52	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		elbl2 22195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
64	55, 58, 43, 36, 63	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	62, 64	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	45, 47, 51, 51, 61, 65	lt2addd 10650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	51	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	67	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	66, 68	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	38, 48, 41, 50, 69	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	38, 41, 70	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
73	2, 41, 72	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	38, 40, 71, 73	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	74	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
76		ffnov 6764	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	33, 75, 76	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
78		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
79	78	feq3d 6032	. . . . . . . . . . 11
80	79	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 $/\$
81	32, 77, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
82	81	expr 643	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
83	82	rexlimdvva 3038	. . . . . . 7
84	1, 83	syl 17	. . . . . 6
85	84	adantr 481	. . . . 5 $/\$
86	27, 85	mpd 15	. . . 4 $/\$
87	25, 86	pm2.61dane 2881	. . 3
88	1, 87	jca 554	. 2 $/\$
89		simpll 790	. . . 4 $/\$ $/\$
90		simpllr 799	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
91	89	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
92		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
93		met0 22148	. . . . . . . . 9 $/\$
94	91, 92, 93	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
95		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
96	95, 92, 92	fovrnd 6806	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
97		elicc2 12238	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
98	2, 90, 97	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	96, 98	mpbid 222	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	99	simp3d 1075	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
101	94, 100	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
102	90, 101	ge0p1rpd 11902	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
103		fovrn 6804	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
104	103	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
105	104	adantlll 754	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
107	2, 90, 106	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	105, 108	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	109	simp1d 1073	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	90	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . 12
113	90, 112	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	109	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	111	ltp1d 10954	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	110, 111, 114, 115, 116	lelttrd 10195	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
119		rabid2 3118	. . . . . . . 8
120	118, 119	sylibr 224	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
121	91, 54	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
122	113	rexrd 10089	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
123		blval 22191	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124	121, 92, 122, 123	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
125	120, 124	eqtr4d 2659	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
126		oveq2 6658	. . . . . . . 8
127	126	eqeq2d 2632	. . . . . . 7
128	127	rspcev 3309	. . . . . 6 $/\$
129	102, 125, 128	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
130	129	ralrimiva 2966	. . . 4 $/\$ $/\$
131		isbnd 33579	. . . 4 $/\$
132	89, 130, 131	sylanbrc 698	. . 3 $/\$ $/\$
133	132	r19.29an 3077	. 2 $/\$
134	88, 133	impbii 199	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

wss 3574

c0 3915 class class class wbr 4653

cxp 5112

cdm 5114

crn 5115

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

c2 11070

crp 11832

cicc 12178

cxmt 19731

cme 19732

cbl 19733

cbnd 33566

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-po 5035 df-so 5036 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-er 7742 df-ec 7744 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-2 11079 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-icc 12182 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-bnd 33578

This theorem is referenced by: isbnd3b 33584 prdsbnd 33592

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