Theorem frfi 8205

Description: A partial order is well-founded on a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
frfi	|- ( ( R Po A /\ A e. Fin ) -> R Fr A )

Proof of Theorem frfi

Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poeq2 5039	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( R Po x <-> R Po (/) ) )
2		freq2 5085	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( R Fr x <-> R Fr (/) ) )
3	1, 2	imbi12d 334	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( R Po x -> R Fr x ) <-> ( R Po (/) -> R Fr (/) ) ) )
4		poeq2 5039	. . . 4 |- ( x = y -> ( R Po x <-> R Po y ) )
5		freq2 5085	. . . 4 |- ( x = y -> ( R Fr x <-> R Fr y ) )
6	4, 5	imbi12d 334	. . 3 |- ( x = y -> ( ( R Po x -> R Fr x ) <-> ( R Po y -> R Fr y ) ) )
7		poeq2 5039	. . . 4 |- ( x = ( y u. { w } ) -> ( R Po x <-> R Po ( y u. { w } ) ) )
8		freq2 5085	. . . 4 |- ( x = ( y u. { w } ) -> ( R Fr x <-> R Fr ( y u. { w } ) ) )
9	7, 8	imbi12d 334	. . 3 |- ( x = ( y u. { w } ) -> ( ( R Po x -> R Fr x ) <-> ( R Po ( y u. { w } ) -> R Fr ( y u. { w } ) ) ) )
10		poeq2 5039	. . . 4 |- ( x = A -> ( R Po x <-> R Po A ) )
11		freq2 5085	. . . 4 |- ( x = A -> ( R Fr x <-> R Fr A ) )
12	10, 11	imbi12d 334	. . 3 |- ( x = A -> ( ( R Po x -> R Fr x ) <-> ( R Po A -> R Fr A ) ) )
13		fr0 5093	. . . 4 |- R Fr (/)
14	13	a1i 11	. . 3 |- ( R Po (/) -> R Fr (/) )
15		ssun1 3776	. . . . . . 7 |- y C_ ( y u. { w } )
16		poss 5037	. . . . . . 7 |- ( y C_ ( y u. { w } ) -> ( R Po ( y u. { w } ) -> R Po y ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( R Po ( y u. { w } ) -> R Po y )
18	17	imim1i 63	. . . . 5 |- ( ( R Po y -> R Fr y ) -> ( R Po ( y u. { w } ) -> R Fr y ) )
19		uncom 3757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y u. { w } ) = ( { w } u. y )
20	19	sseq2i 3630	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ ( y u. { w } ) <-> x C_ ( { w } u. y ) )
21		ssundif 4052	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ ( { w } u. y ) <-> ( x \ { w } ) C_ y )
22	20, 21	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ ( y u. { w } ) <-> ( x \ { w } ) C_ y )
23	22	anbi1i 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ ( y u. { w } ) /\ x =/= (/) ) <-> ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) )
24		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = z -> ( v R w <-> z R w ) )
25	24	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. v e. x v R w <-> E. z e. x z R w )
26		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) ) /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) -> R Fr y )
27		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) ) /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) -> ( x \ { w } ) C_ y )
28		poss 5037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x C_ ( y u. { w } ) -> ( R Po ( y u. { w } ) -> R Po x ) )
29	28	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ x C_ ( y u. { w } ) ) -> R Po x )
30	22, 29	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ ( x \ { w } ) C_ y ) -> R Po x )
31	30	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) ) -> R Po x )
32		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) -> z e. x )
33		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) -> z R w )
34		poirr 5046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R Po x /\ w e. x ) -> -. w R w )
35	34	3ad2antr3 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) -> -. w R w )
36		nbrne2 4673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z R w /\ -. w R w ) -> z =/= w )
37	33, 35, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) -> z =/= w )
38		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ( x \ { w } ) <-> ( z e. x /\ z =/= w ) )
39	32, 37, 38	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) -> z e. ( x \ { w } ) )
40	31, 39	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) ) /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) -> z e. ( x \ { w } ) )
41		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( x \ { w } ) -> ( x \ { w } ) =/= (/) )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) ) /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) -> ( x \ { w } ) =/= (/) )
43		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x \ { w } ) C_ x
44		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- x e. _V
45		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. _V -> ( x \ { w } ) e. _V )
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x \ { w } ) e. _V
47		fri 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( x \ { w } ) e. _V /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ ( x \ { w } ) =/= (/) ) ) -> E. u e. ( x \ { w } ) A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u )
48	46, 47	mpanl1 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R Fr y /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ ( x \ { w } ) =/= (/) ) ) -> E. u e. ( x \ { w } ) A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u )
49		ssrexv 3667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x \ { w } ) C_ x -> ( E. u e. ( x \ { w } ) A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u -> E. u e. x A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u ) )
50	43, 48, 49	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Fr y /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ ( x \ { w } ) =/= (/) ) ) -> E. u e. x A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u )
51	26, 27, 42, 50	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) ) /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) -> E. u e. x A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u )
52		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = z -> ( v R u <-> z R u ) )
53	52	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = z -> ( -. v R u <-> -. z R u ) )
54	53	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ( x \ { w } ) -> ( A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u -> -. z R u ) )
55	39, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) -> ( A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u -> -. z R u ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) /\ u e. x ) -> ( A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u -> -. z R u ) )
57		simplr2 1104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) /\ u e. x ) -> z R w )
58		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) /\ u e. x ) -> R Po x )
59		simplr1 1103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) /\ u e. x ) -> z e. x )
60		simplr3 1105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) /\ u e. x ) -> w e. x )
61		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) /\ u e. x ) -> u e. x )
62		potr 5047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ w e. x /\ u e. x ) ) -> ( ( z R w /\ w R u ) -> z R u ) )
63	58, 59, 60, 61, 62	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) /\ u e. x ) -> ( ( z R w /\ w R u ) -> z R u ) )
64	57, 63	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) /\ u e. x ) -> ( w R u -> z R u ) )
65	64	con3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) /\ u e. x ) -> ( -. z R u -> -. w R u ) )
66		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- w e. _V
67		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = w -> ( v R u <-> w R u ) )
68	67	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v = w -> ( -. v R u <-> -. w R u ) )
69	66, 68	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. v e. { w } -. v R u <-> -. w R u )
70	65, 69	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) /\ u e. x ) -> ( -. z R u -> A. v e. { w } -. v R u ) )
71	56, 70	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) /\ u e. x ) -> ( A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u -> A. v e. { w } -. v R u ) )
72		ralun 3795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u /\ A. v e. { w } -. v R u ) -> A. v e. ( ( x \ { w } ) u. { w } ) -. v R u )
73	72	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u -> ( A. v e. { w } -. v R u -> A. v e. ( ( x \ { w } ) u. { w } ) -. v R u ) )
74	71, 73	sylcom 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) /\ u e. x ) -> ( A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u -> A. v e. ( ( x \ { w } ) u. { w } ) -. v R u ) )
75		difsnid 4341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w e. x -> ( ( x \ { w } ) u. { w } ) = x )
76	75	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. x -> ( A. v e. ( ( x \ { w } ) u. { w } ) -. v R u <-> A. v e. x -. v R u ) )
77	60, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) /\ u e. x ) -> ( A. v e. ( ( x \ { w } ) u. { w } ) -. v R u <-> A. v e. x -. v R u ) )
78	74, 77	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) /\ u e. x ) -> ( A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u -> A. v e. x -. v R u ) )
79	78	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Po x /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) -> ( E. u e. x A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) )
80	31, 79	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) ) /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) -> ( E. u e. x A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) )
81	51, 80	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) ) /\ ( z e. x /\ z R w /\ w e. x ) ) -> E. u e. x A. v e. x -. v R u )
82	81	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) ) -> ( z e. x -> ( z R w -> ( w e. x -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) ) ) )
83	82	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) ) -> ( E. z e. x z R w -> ( w e. x -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) ) )
84	25, 83	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) ) -> ( E. v e. x v R w -> ( w e. x -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) ) )
85		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. v e. x -. v R w <-> -. E. v e. x v R w )
86		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = w -> ( v R u <-> v R w ) )
87	86	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = w -> ( -. v R u <-> -. v R w ) )
88	87	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = w -> ( A. v e. x -. v R u <-> A. v e. x -. v R w ) )
89	88	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. x /\ A. v e. x -. v R w ) -> E. u e. x A. v e. x -. v R u )
90	89	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. v e. x -. v R w -> ( w e. x -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) )
91	85, 90	sylbir 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. E. v e. x v R w -> ( w e. x -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) )
92	84, 91	pm2.61d1 171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) ) -> ( w e. x -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) )
93		difsn 4328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. w e. x -> ( x \ { w } ) = x )
94	50	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Fr y /\ ( x \ { w } ) C_ y ) -> ( ( x \ { w } ) =/= (/) -> E. u e. x A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u ) )
95		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x \ { w } ) = x -> ( ( x \ { w } ) =/= (/) <-> x =/= (/) ) )
96		raleq 3138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x \ { w } ) = x -> ( A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u <-> A. v e. x -. v R u ) )
97	96	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x \ { w } ) = x -> ( E. u e. x A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u <-> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) )
98	95, 97	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x \ { w } ) = x -> ( ( ( x \ { w } ) =/= (/) -> E. u e. x A. v e. ( x \ { w } ) -. v R u ) <-> ( x =/= (/) -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) ) )
99	94, 98	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Fr y /\ ( x \ { w } ) C_ y ) -> ( ( x \ { w } ) = x -> ( x =/= (/) -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) ) )
100	99	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Fr y /\ ( x \ { w } ) C_ y ) -> ( x =/= (/) -> ( ( x \ { w } ) = x -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) ) )
101	100	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( x \ { w } ) C_ y ) -> ( x =/= (/) -> ( ( x \ { w } ) = x -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) ) )
102	101	impr 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) ) -> ( ( x \ { w } ) = x -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) )
103	93, 102	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) ) -> ( -. w e. x -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) )
104	92, 103	pm2.61d 170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) /\ ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) ) -> E. u e. x A. v e. x -. v R u )
105	104	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) -> ( ( ( x \ { w } ) C_ y /\ x =/= (/) ) -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) )
106	23, 105	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) -> ( ( x C_ ( y u. { w } ) /\ x =/= (/) ) -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) )
107	106	alrimiv 1855	. . . . . . 7 |- ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) -> A. x ( ( x C_ ( y u. { w } ) /\ x =/= (/) ) -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) )
108		df-fr 5073	. . . . . . 7 |- ( R Fr ( y u. { w } ) <-> A. x ( ( x C_ ( y u. { w } ) /\ x =/= (/) ) -> E. u e. x A. v e. x -. v R u ) )
109	107, 108	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( R Po ( y u. { w } ) /\ R Fr y ) -> R Fr ( y u. { w } ) )
110	109	ex 450	. . . . 5 |- ( R Po ( y u. { w } ) -> ( R Fr y -> R Fr ( y u. { w } ) ) )
111	18, 110	sylcom 30	. . . 4 |- ( ( R Po y -> R Fr y ) -> ( R Po ( y u. { w } ) -> R Fr ( y u. { w } ) ) )
112	111	a1i 11	. . 3 |- ( y e. Fin -> ( ( R Po y -> R Fr y ) -> ( R Po ( y u. { w } ) -> R Fr ( y u. { w } ) ) ) )
113	3, 6, 9, 12, 14, 112	findcard2 8200	. 2 |- ( A e. Fin -> ( R Po A -> R Fr A ) )
114	113	impcom 446	1 |- ( ( R Po A /\ A e. Fin ) -> R Fr A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   Po wpo 5033   Fr wfr 5070   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  fimax2g  8206  wofi  8209  fimin2g  8403  isfin1-3  9208