Theorem gass 17734

Description: A subset of a group action is a group action iff it is closed under the group action operation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
gass.1	|- X = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
gass	|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) -> ( ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) <-> A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, X, y   x, Y, y   x, Z, y   x, .(+) , y

Proof of Theorem gass

Dummy variables v u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovres 6800	. . . . 5 |- ( ( x e. X /\ y e. Z ) -> ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) = ( x .(+) y ) )
2	1	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Z ) ) -> ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) = ( x .(+) y ) )
3		gass.1	. . . . . . 7 |- X = ( Base ` G )
4	3	gaf 17728	. . . . . 6 |- ( ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) -> ( .(+) |` ( X X. Z ) ) : ( X X. Z ) --> Z )
5	4	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) ) -> ( .(+) |` ( X X. Z ) ) : ( X X. Z ) --> Z )
6	5	fovrnda 6805	. . . 4 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Z ) ) -> ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) e. Z )
7	2, 6	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Z ) ) -> ( x .(+) y ) e. Z )
8	7	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) ) -> A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z )
9		gagrp 17725	. . . . 5 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> G e. Grp )
10	9	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> G e. Grp )
11		gaset 17726	. . . . . . 7 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> Y e. _V )
12	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) -> Y e. _V )
13		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) -> Z C_ Y )
14	12, 13	ssexd 4805	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) -> Z e. _V )
15	14	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> Z e. _V )
16	10, 15	jca 554	. . 3 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( G e. Grp /\ Z e. _V ) )
17	3	gaf 17728	. . . . . . . 8 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
18	17	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
19		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( .(+) : ( X X. Y ) --> Y -> .(+) Fn ( X X. Y ) )
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> .(+) Fn ( X X. Y ) )
21		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> Z C_ Y )
22		xpss2 5229	. . . . . . 7 |- ( Z C_ Y -> ( X X. Z ) C_ ( X X. Y ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( X X. Z ) C_ ( X X. Y ) )
24		fnssres 6004	. . . . . 6 |- ( ( .(+) Fn ( X X. Y ) /\ ( X X. Z ) C_ ( X X. Y ) ) -> ( .(+) |` ( X X. Z ) ) Fn ( X X. Z ) )
25	20, 23, 24	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( .(+) |` ( X X. Z ) ) Fn ( X X. Z ) )
26		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z )
27	1	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X /\ y e. Z ) -> ( ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) e. Z <-> ( x .(+) y ) e. Z ) )
28	27	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( x e. X -> ( A. y e. Z ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) e. Z <-> A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) )
29	28	ralbiia 2979	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A. y e. Z ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) e. Z <-> A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z )
30	26, 29	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> A. x e. X A. y e. Z ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) e. Z )
31		ffnov 6764	. . . . 5 |- ( ( .(+) |` ( X X. Z ) ) : ( X X. Z ) --> Z <-> ( ( .(+) |` ( X X. Z ) ) Fn ( X X. Z ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) e. Z ) )
32	25, 30, 31	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( .(+) |` ( X X. Z ) ) : ( X X. Z ) --> Z )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
34	3, 33	grpidcl 17450	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X )
35	10, 34	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( 0g ` G ) e. X )
36		ovres 6800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0g ` G ) e. X /\ z e. Z ) -> ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( ( 0g ` G ) .(+) z ) )
37	35, 36	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) -> ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( ( 0g ` G ) .(+) z ) )
38	21	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) -> z e. Y )
39		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
40	33	gagrpid 17727	. . . . . . . . 9 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ z e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = z )
41	39, 40	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = z )
42	38, 41	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = z )
43	37, 42	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) -> ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = z )
44	39	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
45		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> u e. X )
46		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> v e. X )
47	38	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> z e. Y )
48		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
49	3, 48	gaass 17730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X /\ z e. Y ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) )
50	44, 45, 46, 47, 49	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) )
51		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> z e. Z )
52		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z )
53		ovrspc2v 6672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( v e. X /\ z e. Z ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( v .(+) z ) e. Z )
54	46, 51, 52, 53	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( v .(+) z ) e. Z )
55		ovres 6800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. X /\ ( v .(+) z ) e. Z ) -> ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v .(+) z ) ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) )
56	45, 54, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v .(+) z ) ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) )
57	50, 56	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v .(+) z ) ) )
58	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> G e. Grp )
59	3, 48	grpcl 17430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. X /\ v e. X ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. X )
60	58, 45, 46, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. X )
61		ovres 6800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u ( +g ` G ) v ) e. X /\ z e. Z ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) )
62	60, 51, 61	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) )
63		ovres 6800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. X /\ z e. Z ) -> ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( v .(+) z ) )
64	46, 51, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( v .(+) z ) )
65	64	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v .(+) z ) ) )
66	57, 62, 65	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) ) )
67	66	ralrimivva 2971	. . . . . 6 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) -> A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) ) )
68	43, 67	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) -> ( ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) ) ) )
69	68	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> A. z e. Z ( ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) ) ) )
70	32, 69	jca 554	. . 3 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( ( .(+) |` ( X X. Z ) ) : ( X X. Z ) --> Z /\ A. z e. Z ( ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) ) ) ) )
71	3, 48, 33	isga 17724	. . 3 |- ( ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) <-> ( ( G e. Grp /\ Z e. _V ) /\ ( ( .(+) |` ( X X. Z ) ) : ( X X. Z ) --> Z /\ A. z e. Z ( ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) ) ) ) ) )
72	16, 70, 71	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) )
73	8, 72	impbida 877	1 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) -> ( ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) <-> A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   X. cxp 5112   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   GrpAct cga 17722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ga 17723

This theorem is referenced by: (None)