Theorem gasubg 17735

Description: The restriction of a group action to a subgroup is a group action. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
gasubg.1	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
gasubg	|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( .(+) |` ( S X. Y ) ) e. ( H GrpAct Y ) )

Proof of Theorem gasubg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gaset 17726	. . 3 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> Y e. _V )
2		gasubg.1	. . . 4 |- H = ( G ↾s S )
3	2	subggrp 17597	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> H e. Grp )
4	1, 3	anim12ci 591	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( H e. Grp /\ Y e. _V ) )
5		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
6	5	gaf 17728	. . . . . 6 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( ( Base ` G ) X. Y ) --> Y )
7	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> .(+) : ( ( Base ` G ) X. Y ) --> Y )
8		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
9	5	subgss 17595	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> S C_ ( Base ` G ) )
11		xpss1 5228	. . . . . 6 |- ( S C_ ( Base ` G ) -> ( S X. Y ) C_ ( ( Base ` G ) X. Y ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( S X. Y ) C_ ( ( Base ` G ) X. Y ) )
13	7, 12	fssresd 6071	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( S X. Y ) --> Y )
14	2	subgbas 17598	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
15	8, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> S = ( Base ` H ) )
16	15	xpeq1d 5138	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( S X. Y ) = ( ( Base ` H ) X. Y ) )
17	16	feq2d 6031	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( S X. Y ) --> Y <-> ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( ( Base ` H ) X. Y ) --> Y ) )
18	13, 17	mpbid 222	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( ( Base ` H ) X. Y ) --> Y )
19	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
20		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
21	20	subg0cl 17602	. . . . . . . 8 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( 0g ` G ) e. S )
23		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> x e. Y )
24		ovres 6800	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` G ) e. S /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( 0g ` G ) .(+) x ) )
25	22, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( 0g ` G ) .(+) x ) )
26	2, 20	subg0 17600	. . . . . . . 8 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
27	19, 26	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
28	27	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) )
29	20	gagrpid 17727	. . . . . . 7 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) x ) = x )
30	29	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) x ) = x )
31	25, 28, 30	3eqtr3d 2664	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = x )
32		eqimss2 3658	. . . . . . . . . . 11 |- ( S = ( Base ` H ) -> ( Base ` H ) C_ S )
33	15, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( Base ` H ) C_ S )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( Base ` H ) C_ S )
35	34	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> y e. S )
36	34	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. ( Base ` H ) ) -> z e. S )
37	35, 36	anim12dan 882	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. ( Base ` H ) /\ z e. ( Base ` H ) ) ) -> ( y e. S /\ z e. S ) )
38		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. S )
39	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> .(+) : ( ( Base ` G ) X. Y ) --> Y )
40	9	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> S C_ ( Base ` G ) )
41		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. S )
42	40, 41	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ( Base ` G ) )
43	23	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> x e. Y )
44	39, 42, 43	fovrnd 6806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z .(+) x ) e. Y )
45		ovres 6800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. S /\ ( z .(+) x ) e. Y ) -> ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z .(+) x ) ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) )
46	38, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z .(+) x ) ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) )
47		ovres 6800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. S /\ x e. Y ) -> ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( z .(+) x ) )
48	41, 43, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( z .(+) x ) )
49	48	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z .(+) x ) ) )
50		simplll 798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
51	40, 38	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ( Base ` G ) )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
53	5, 52	gaass 17730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) /\ x e. Y ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) )
54	50, 51, 42, 43, 53	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) )
55	46, 49, 54	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) = ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) )
56	52	subgcl 17604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ y e. S /\ z e. S ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
57	56	3expb 1266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
58	19, 57	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
59		ovres 6800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ x e. Y ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) )
60	58, 43, 59	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) )
61	2, 52	ressplusg 15993	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` H ) )
62	61	ad3antlr 767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` H ) )
63	62	oveqd 6667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` H ) z ) )
64	63	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) )
65	55, 60, 64	3eqtr2rd 2663	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) )
66	37, 65	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. ( Base ` H ) /\ z e. ( Base ` H ) ) ) -> ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) )
67	66	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> A. y e. ( Base ` H ) A. z e. ( Base ` H ) ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) )
68	31, 67	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = x /\ A. y e. ( Base ` H ) A. z e. ( Base ` H ) ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) ) )
69	68	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> A. x e. Y ( ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = x /\ A. y e. ( Base ` H ) A. z e. ( Base ` H ) ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) ) )
70	18, 69	jca 554	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( ( Base ` H ) X. Y ) --> Y /\ A. x e. Y ( ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = x /\ A. y e. ( Base ` H ) A. z e. ( Base ` H ) ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) ) ) )
71		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
72		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
73		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
74	71, 72, 73	isga 17724	. 2 |- ( ( .(+) |` ( S X. Y ) ) e. ( H GrpAct Y ) <-> ( ( H e. Grp /\ Y e. _V ) /\ ( ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( ( Base ` H ) X. Y ) --> Y /\ A. x e. Y ( ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = x /\ A. y e. ( Base ` H ) A. z e. ( Base ` H ) ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) ) ) ) )
75	4, 70, 74	sylanbrc 698	1 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( .(+) |` ( S X. Y ) ) e. ( H GrpAct Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   GrpAct cga 17722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-subg 17591  df-ga 17723

This theorem is referenced by:  sylow3lem5  18046