Theorem hauseqlcld 21449

Description: In a Hausdorff topology, the equalizer of two continuous functions is closed (thus, two continuous functions which agree on a dense set agree everywhere). (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hauseqlcld.k	|- ( ph -> K e. Haus )
hauseqlcld.f	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
hauseqlcld.g	|- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
hauseqlcld	|- ( ph -> dom ( F i^i G ) e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem hauseqlcld

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hauseqlcld.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
2		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
3		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. K = U. K
4	2, 3	cnf 21050	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : U. J --> U. K )
6	5	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. U. J ) -> ( F ` b ) e. U. K )
7	6	biantrud 528	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. U. J ) -> ( <. ( F ` b ) , ( G ` b ) >. e. _I <-> ( <. ( F ` b ) , ( G ` b ) >. e. _I /\ ( F ` b ) e. U. K ) ) )
8		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( G ` b ) e. _V
9	8	ideq 5274	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` b ) _I ( G ` b ) <-> ( F ` b ) = ( G ` b ) )
10		df-br 4654	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` b ) _I ( G ` b ) <-> <. ( F ` b ) , ( G ` b ) >. e. _I )
11	9, 10	bitr3i 266	. . . . . . 7 |- ( ( F ` b ) = ( G ` b ) <-> <. ( F ` b ) , ( G ` b ) >. e. _I )
12	8	opelres 5401	. . . . . . 7 |- ( <. ( F ` b ) , ( G ` b ) >. e. ( _I |` U. K ) <-> ( <. ( F ` b ) , ( G ` b ) >. e. _I /\ ( F ` b ) e. U. K ) )
13	7, 11, 12	3bitr4g 303	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. U. J ) -> ( ( F ` b ) = ( G ` b ) <-> <. ( F ` b ) , ( G ` b ) >. e. ( _I |` U. K ) ) )
14		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> ( F ` a ) = ( F ` b ) )
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> ( G ` a ) = ( G ` b ) )
16	14, 15	opeq12d 4410	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. = <. ( F ` b ) , ( G ` b ) >. )
17		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) = ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. )
18		opex 4932	. . . . . . . . 9 |- <. ( F ` b ) , ( G ` b ) >. e. _V
19	16, 17, 18	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( b e. U. J -> ( ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) ` b ) = <. ( F ` b ) , ( G ` b ) >. )
20	19	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. U. J ) -> ( ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) ` b ) = <. ( F ` b ) , ( G ` b ) >. )
21	20	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. U. J ) -> ( ( ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) ` b ) e. ( _I |` U. K ) <-> <. ( F ` b ) , ( G ` b ) >. e. ( _I |` U. K ) ) )
22	13, 21	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. U. J ) -> ( ( F ` b ) = ( G ` b ) <-> ( ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) ` b ) e. ( _I |` U. K ) ) )
23	22	pm5.32da 673	. . . 4 |- ( ph -> ( ( b e. U. J /\ ( F ` b ) = ( G ` b ) ) <-> ( b e. U. J /\ ( ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) ` b ) e. ( _I |` U. K ) ) ) )
24		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( F : U. J --> U. K -> F Fn U. J )
25	5, 24	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> F Fn U. J )
26		hauseqlcld.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
27	2, 3	cnf 21050	. . . . . . . . 9 |- ( G e. ( J Cn K ) -> G : U. J --> U. K )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G : U. J --> U. K )
29		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( G : U. J --> U. K -> G Fn U. J )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> G Fn U. J )
31		fndmin 6324	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn U. J /\ G Fn U. J ) -> dom ( F i^i G ) = { b e. U. J | ( F ` b ) = ( G ` b ) } )
32	25, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( F i^i G ) = { b e. U. J | ( F ` b ) = ( G ` b ) } )
33	32	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ph -> ( b e. dom ( F i^i G ) <-> b e. { b e. U. J | ( F ` b ) = ( G ` b ) } ) )
34		rabid 3116	. . . . 5 |- ( b e. { b e. U. J | ( F ` b ) = ( G ` b ) } <-> ( b e. U. J /\ ( F ` b ) = ( G ` b ) ) )
35	33, 34	syl6bb 276	. . . 4 |- ( ph -> ( b e. dom ( F i^i G ) <-> ( b e. U. J /\ ( F ` b ) = ( G ` b ) ) ) )
36		opex 4932	. . . . . 6 |- <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. e. _V
37	36, 17	fnmpti 6022	. . . . 5 |- ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) Fn U. J
38		elpreima 6337	. . . . 5 |- ( ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) Fn U. J -> ( b e. ( `' ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) " ( _I |` U. K ) ) <-> ( b e. U. J /\ ( ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) ` b ) e. ( _I |` U. K ) ) ) )
39	37, 38	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> ( b e. ( `' ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) " ( _I |` U. K ) ) <-> ( b e. U. J /\ ( ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) ` b ) e. ( _I |` U. K ) ) ) )
40	23, 35, 39	3bitr4d 300	. . 3 |- ( ph -> ( b e. dom ( F i^i G ) <-> b e. ( `' ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) " ( _I |` U. K ) ) ) )
41	40	eqrdv 2620	. 2 |- ( ph -> dom ( F i^i G ) = ( `' ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) " ( _I |` U. K ) ) )
42	2, 17	txcnmpt 21427	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( J Cn K ) ) -> ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) e. ( J Cn ( K tX K ) ) )
43	1, 26, 42	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) e. ( J Cn ( K tX K ) ) )
44		hauseqlcld.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. Haus )
45	3	hausdiag 21448	. . . . 5 |- ( K e. Haus <-> ( K e. Top /\ ( _I |` U. K ) e. ( Clsd ` ( K tX K ) ) ) )
46	45	simprbi 480	. . . 4 |- ( K e. Haus -> ( _I |` U. K ) e. ( Clsd ` ( K tX K ) ) )
47	44, 46	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( _I |` U. K ) e. ( Clsd ` ( K tX K ) ) )
48		cnclima 21072	. . 3 |- ( ( ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) e. ( J Cn ( K tX K ) ) /\ ( _I |` U. K ) e. ( Clsd ` ( K tX K ) ) ) -> ( `' ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) " ( _I |` U. K ) ) e. ( Clsd ` J ) )
49	43, 47, 48	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( `' ( a e. U. J |-> <. ( F ` a ) , ( G ` a ) >. ) " ( _I |` U. K ) ) e. ( Clsd ` J ) )
50	41, 49	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> dom ( F i^i G ) e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   i^i cin 3573   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028   Hauscha 21112   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-haus 21119  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  hauseqcn  29941  hausgraph  37790