Theorem hausgraph 37790

Description: The graph of a continuous function into a Hausdorff space is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hausgraph	|- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) )

Proof of Theorem hausgraph

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1stres 7190	. . . . . . . . 9 |- ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) : ( U. J X. U. K ) --> U. J
2		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) : ( U. J X. U. K ) --> U. J -> ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) Fn ( U. J X. U. K ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) Fn ( U. J X. U. K )
4		fvco2 6273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) Fn ( U. J X. U. K ) /\ a e. ( U. J X. U. K ) ) -> ( ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) ` a ) = ( F ` ( ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ` a ) ) )
5	3, 4	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( a e. ( U. J X. U. K ) -> ( ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) ` a ) = ( F ` ( ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ` a ) ) )
6	5	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ a e. ( U. J X. U. K ) ) -> ( ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) ` a ) = ( F ` ( ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ` a ) ) )
7		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( U. J X. U. K ) -> ( ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ` a ) = ( 1st ` a ) )
8	7	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( a e. ( U. J X. U. K ) -> ( F ` ( ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ` a ) ) = ( F ` ( 1st ` a ) ) )
9	8	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ a e. ( U. J X. U. K ) ) -> ( F ` ( ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ` a ) ) = ( F ` ( 1st ` a ) ) )
10	6, 9	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ a e. ( U. J X. U. K ) ) -> ( ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) ` a ) = ( F ` ( 1st ` a ) ) )
11		fvres 6207	. . . . . 6 |- ( a e. ( U. J X. U. K ) -> ( ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) ` a ) = ( 2nd ` a ) )
12	11	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ a e. ( U. J X. U. K ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) ` a ) = ( 2nd ` a ) )
13	10, 12	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ a e. ( U. J X. U. K ) ) -> ( ( ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) ` a ) = ( ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) ` a ) <-> ( F ` ( 1st ` a ) ) = ( 2nd ` a ) ) )
14	13	rabbidva 3188	. . 3 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> { a e. ( U. J X. U. K ) | ( ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) ` a ) = ( ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) ` a ) } = { a e. ( U. J X. U. K ) | ( F ` ( 1st ` a ) ) = ( 2nd ` a ) } )
15		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
16		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. K = U. K
17	15, 16	cnf 21050	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
18	17	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : U. J --> U. K )
19		fco 6058	. . . . . 6 |- ( ( F : U. J --> U. K /\ ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) : ( U. J X. U. K ) --> U. J ) -> ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) : ( U. J X. U. K ) --> U. K )
20	18, 1, 19	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) : ( U. J X. U. K ) --> U. K )
21		ffn 6045	. . . . 5 |- ( ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) : ( U. J X. U. K ) --> U. K -> ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) Fn ( U. J X. U. K ) )
22	20, 21	syl 17	. . . 4 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) Fn ( U. J X. U. K ) )
23		f2ndres 7191	. . . . 5 |- ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) : ( U. J X. U. K ) --> U. K
24		ffn 6045	. . . . 5 |- ( ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) : ( U. J X. U. K ) --> U. K -> ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) Fn ( U. J X. U. K ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) Fn ( U. J X. U. K )
26		fndmin 6324	. . . 4 |- ( ( ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) Fn ( U. J X. U. K ) /\ ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) Fn ( U. J X. U. K ) ) -> dom ( ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) i^i ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) ) = { a e. ( U. J X. U. K ) | ( ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) ` a ) = ( ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) ` a ) } )
27	22, 25, 26	sylancl 694	. . 3 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> dom ( ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) i^i ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) ) = { a e. ( U. J X. U. K ) | ( ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) ` a ) = ( ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) ` a ) } )
28		fgraphxp 37789	. . . 4 |- ( F : U. J --> U. K -> F = { a e. ( U. J X. U. K ) | ( F ` ( 1st ` a ) ) = ( 2nd ` a ) } )
29	18, 28	syl 17	. . 3 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F = { a e. ( U. J X. U. K ) | ( F ` ( 1st ` a ) ) = ( 2nd ` a ) } )
30	14, 27, 29	3eqtr4rd 2667	. 2 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F = dom ( ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) i^i ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) ) )
31		simpl 473	. . 3 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Haus )
32		cntop1 21044	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
33	32	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Top )
34	15	toptopon 20722	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
35	33, 34	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
36		haustop 21135	. . . . . . 7 |- ( K e. Haus -> K e. Top )
37	31, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Top )
38	16	toptopon 20722	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
39	37, 38	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
40		tx1cn 21412	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) ) -> ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
41	35, 39, 40	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
42		cnco 21070	. . . 4 |- ( ( ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
43	41, 42	sylancom 701	. . 3 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
44		tx2cn 21413	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) ) -> ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
45	35, 39, 44	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
46	31, 43, 45	hauseqlcld 21449	. 2 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> dom ( ( F o. ( 1st |` ( U. J X. U. K ) ) ) i^i ( 2nd |` ( U. J X. U. K ) ) ) e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) )
47	30, 46	eqeltrd 2701	1 |- ( ( K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   i^i cin 3573   U.cuni 4436   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028   Hauscha 21112   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-haus 21119  df-tx 21365

This theorem is referenced by: (None)