Theorem hmoplin 28801

Description: A Hermitian operator is linear. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmoplin	|- ( T e. HrmOp -> T e. LinOp )

Proof of Theorem hmoplin

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 28733	. 2 |- ( T e. HrmOp -> T : ~H --> ~H )
2		simplll 798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> T e. HrmOp )
3		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
4		hvaddcl 27869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x .h y ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
5	3, 4	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
6	5	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
8		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> w e. ~H )
9		hmop 28781	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. HrmOp /\ ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H /\ w e. ~H ) -> ( ( ( x .h y ) +h z ) .ih ( T ` w ) ) = ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) .ih w ) )
10	9	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. HrmOp /\ ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) .ih w ) = ( ( ( x .h y ) +h z ) .ih ( T ` w ) ) )
11	2, 7, 8, 10	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) .ih w ) = ( ( ( x .h y ) +h z ) .ih ( T ` w ) ) )
12		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> x e. CC )
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> x e. CC )
14		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> y e. ~H )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> y e. ~H )
16		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> z e. ~H )
17	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. HrmOp /\ w e. ~H ) -> ( T ` w ) e. ~H )
18	17	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( T ` w ) e. ~H )
19	18	adantllr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( T ` w ) e. ~H )
20		hiassdi 27948	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ ( z e. ~H /\ ( T ` w ) e. ~H ) ) -> ( ( ( x .h y ) +h z ) .ih ( T ` w ) ) = ( ( x x. ( y .ih ( T ` w ) ) ) + ( z .ih ( T ` w ) ) ) )
21	13, 15, 16, 19, 20	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( ( x .h y ) +h z ) .ih ( T ` w ) ) = ( ( x x. ( y .ih ( T ` w ) ) ) + ( z .ih ( T ` w ) ) ) )
22	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. HrmOp /\ y e. ~H ) -> ( T ` y ) e. ~H )
23	22	adantrl 752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( T ` y ) e. ~H )
24	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( T ` y ) e. ~H )
25	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. HrmOp /\ z e. ~H ) -> ( T ` z ) e. ~H )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( T ` z ) e. ~H )
27	26	adantllr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( T ` z ) e. ~H )
28		hiassdi 27948	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. CC /\ ( T ` y ) e. ~H ) /\ ( ( T ` z ) e. ~H /\ w e. ~H ) ) -> ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) = ( ( x x. ( ( T ` y ) .ih w ) ) + ( ( T ` z ) .ih w ) ) )
29	13, 24, 27, 8, 28	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) = ( ( x x. ( ( T ` y ) .ih w ) ) + ( ( T ` z ) .ih w ) ) )
30		hmop 28781	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. HrmOp /\ y e. ~H /\ w e. ~H ) -> ( y .ih ( T ` w ) ) = ( ( T ` y ) .ih w ) )
31	30	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. HrmOp /\ y e. ~H /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` y ) .ih w ) = ( y .ih ( T ` w ) ) )
32	31	3expa 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ y e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` y ) .ih w ) = ( y .ih ( T ` w ) ) )
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ y e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( x x. ( ( T ` y ) .ih w ) ) = ( x x. ( y .ih ( T ` w ) ) ) )
34	33	adantlrl 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ w e. ~H ) -> ( x x. ( ( T ` y ) .ih w ) ) = ( x x. ( y .ih ( T ` w ) ) ) )
35	34	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( x x. ( ( T ` y ) .ih w ) ) = ( x x. ( y .ih ( T ` w ) ) ) )
36		hmop 28781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. HrmOp /\ z e. ~H /\ w e. ~H ) -> ( z .ih ( T ` w ) ) = ( ( T ` z ) .ih w ) )
37	36	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. HrmOp /\ z e. ~H /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` z ) .ih w ) = ( z .ih ( T ` w ) ) )
38	37	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` z ) .ih w ) = ( z .ih ( T ` w ) ) )
39	38	adantllr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` z ) .ih w ) = ( z .ih ( T ` w ) ) )
40	35, 39	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( x x. ( ( T ` y ) .ih w ) ) + ( ( T ` z ) .ih w ) ) = ( ( x x. ( y .ih ( T ` w ) ) ) + ( z .ih ( T ` w ) ) ) )
41	29, 40	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( x x. ( y .ih ( T ` w ) ) ) + ( z .ih ( T ` w ) ) ) = ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) )
42	11, 21, 41	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) .ih w ) = ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) )
43	42	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> A. w e. ~H ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) .ih w ) = ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) )
44		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) e. ~H )
45	5, 44	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) e. ~H )
46	45	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) e. ~H )
47		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) -> ( T ` y ) e. ~H )
48		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( T ` y ) e. ~H ) -> ( x .h ( T ` y ) ) e. ~H )
49	47, 48	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( x .h ( T ` y ) ) e. ~H )
50	49	an12s 843	. . . . . . . . 9 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( x .h ( T ` y ) ) e. ~H )
51	50	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( x .h ( T ` y ) ) e. ~H )
52		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ z e. ~H ) -> ( T ` z ) e. ~H )
53	52	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( T ` z ) e. ~H )
54		hvaddcl 27869	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .h ( T ` y ) ) e. ~H /\ ( T ` z ) e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) e. ~H )
55	51, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) e. ~H )
56		hial2eq 27963	. . . . . . 7 |- ( ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) e. ~H /\ ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) e. ~H ) -> ( A. w e. ~H ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) .ih w ) = ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) <-> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )
57	46, 55, 56	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( A. w e. ~H ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) .ih w ) = ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) <-> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )
58	1, 57	sylanl1 682	. . . . 5 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( A. w e. ~H ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) .ih w ) = ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) <-> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )
59	43, 58	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) )
60	59	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( T e. HrmOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) )
61	60	ralrimivva 2971	. 2 |- ( T e. HrmOp -> A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) )
62		ellnop 28717	. 2 |- ( T e. LinOp <-> ( T : ~H --> ~H /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )
63	1, 61, 62	sylanbrc 698	1 |- ( T e. HrmOp -> T e. LinOp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   x. cmul 9941   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   .ih csp 27779   LinOpclo 27804   HrmOpcho 27807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-hvsub 27828  df-lnop 28700  df-hmop 28703

This theorem is referenced by:  0lnop  28843  hmopbdoptHIL  28847  leoptri  28995  leopnmid  28997  nmopleid  28998  opsqrlem1  28999  opsqrlem6  29004  pjlnopi  29006  hmopidmchi  29010  hmopidmpji  29011