Theorem hsphoif 40790

Description: H is a function (that returns the representation of the right side of a half-open interval intersected with a half-space). Step (b) in Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hsphoif.h	|- H = ( x e. RR |-> ( a e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ x , ( a ` j ) , x ) ) ) ) )
hsphoif.a	|- ( ph -> A e. RR )
hsphoif.x	|- ( ph -> X e. V )
hsphoif.b	|- ( ph -> B : X --> RR )

Assertion

Ref	Expression
hsphoif	|- ( ph -> ( ( H ` A ) ` B ) : X --> RR )

Distinct variable groups:   A, a, j, x   B, a, j   X, a, j, x   Y, a, x   ph, a, j, x

Allowed substitution hints:   B( x)   H( x, j, a)   V( x, j, a)   Y( j)

Proof of Theorem hsphoif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hsphoif.b	. . . . 5 |- ( ph -> B : X --> RR )
2	1	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( B ` j ) e. RR )
3		hsphoif.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> A e. RR )
5	2, 4	ifcld 4131	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> if ( ( B ` j ) <_ A , ( B ` j ) , A ) e. RR )
6	2, 5	ifcld 4131	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> if ( j e. Y , ( B ` j ) , if ( ( B ` j ) <_ A , ( B ` j ) , A ) ) e. RR )
7		eqid 2622	. . 3 |- ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( B ` j ) , if ( ( B ` j ) <_ A , ( B ` j ) , A ) ) ) = ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( B ` j ) , if ( ( B ` j ) <_ A , ( B ` j ) , A ) ) )
8	6, 7	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( B ` j ) , if ( ( B ` j ) <_ A , ( B ` j ) , A ) ) ) : X --> RR )
9		hsphoif.h	. . . . . 6 |- H = ( x e. RR |-> ( a e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ x , ( a ` j ) , x ) ) ) ) )
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> H = ( x e. RR |-> ( a e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ x , ( a ` j ) , x ) ) ) ) ) )
11		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> ( ( a ` j ) <_ x <-> ( a ` j ) <_ A ) )
12		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> x = A )
13	11, 12	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> if ( ( a ` j ) <_ x , ( a ` j ) , x ) = if ( ( a ` j ) <_ A , ( a ` j ) , A ) )
14	13	ifeq2d 4105	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ x , ( a ` j ) , x ) ) = if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ A , ( a ` j ) , A ) ) )
15	14	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ x , ( a ` j ) , x ) ) ) = ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ A , ( a ` j ) , A ) ) ) )
16	15	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( a e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ x , ( a ` j ) , x ) ) ) ) = ( a e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ A , ( a ` j ) , A ) ) ) ) )
17	16	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( a e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ x , ( a ` j ) , x ) ) ) ) = ( a e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ A , ( a ` j ) , A ) ) ) ) )
18		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( RR ^m X ) e. _V
19	18	mptex 6486	. . . . . 6 |- ( a e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ A , ( a ` j ) , A ) ) ) ) e. _V
20	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( a e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ A , ( a ` j ) , A ) ) ) ) e. _V )
21	10, 17, 3, 20	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` A ) = ( a e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ A , ( a ` j ) , A ) ) ) ) )
22		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( a = B -> ( a ` j ) = ( B ` j ) )
23	22	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( a = B -> ( ( a ` j ) <_ A <-> ( B ` j ) <_ A ) )
24	23, 22	ifbieq1d 4109	. . . . . . 7 |- ( a = B -> if ( ( a ` j ) <_ A , ( a ` j ) , A ) = if ( ( B ` j ) <_ A , ( B ` j ) , A ) )
25	22, 24	ifeq12d 4106	. . . . . 6 |- ( a = B -> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ A , ( a ` j ) , A ) ) = if ( j e. Y , ( B ` j ) , if ( ( B ` j ) <_ A , ( B ` j ) , A ) ) )
26	25	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( a = B -> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ A , ( a ` j ) , A ) ) ) = ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( B ` j ) , if ( ( B ` j ) <_ A , ( B ` j ) , A ) ) ) )
27	26	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ a = B ) -> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( a ` j ) , if ( ( a ` j ) <_ A , ( a ` j ) , A ) ) ) = ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( B ` j ) , if ( ( B ` j ) <_ A , ( B ` j ) , A ) ) ) )
28		reex 10027	. . . . . . . 8 |- RR e. _V
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. _V )
30		hsphoif.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
31	29, 30	jca 554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR e. _V /\ X e. V ) )
32		elmapg 7870	. . . . . 6 |- ( ( RR e. _V /\ X e. V ) -> ( B e. ( RR ^m X ) <-> B : X --> RR ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( B e. ( RR ^m X ) <-> B : X --> RR ) )
34	1, 33	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> B e. ( RR ^m X ) )
35		mptexg 6484	. . . . 5 |- ( X e. V -> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( B ` j ) , if ( ( B ` j ) <_ A , ( B ` j ) , A ) ) ) e. _V )
36	30, 35	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( B ` j ) , if ( ( B ` j ) <_ A , ( B ` j ) , A ) ) ) e. _V )
37	21, 27, 34, 36	fvmptd 6288	. . 3 |- ( ph -> ( ( H ` A ) ` B ) = ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( B ` j ) , if ( ( B ` j ) <_ A , ( B ` j ) , A ) ) ) )
38	37	feq1d 6030	. 2 |- ( ph -> ( ( ( H ` A ) ` B ) : X --> RR <-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( B ` j ) , if ( ( B ` j ) <_ A , ( B ` j ) , A ) ) ) : X --> RR ) )
39	8, 38	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( ( H ` A ) ` B ) : X --> RR )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   RRcr 9935   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859

This theorem is referenced by:  hsphoidmvle2  40799  hsphoidmvle  40800  sge0hsphoire  40803  hoidmvlelem1  40809  hoidmvlelem2  40810  hoidmvlelem4  40812  hspmbllem1  40840  hspmbllem2  40841