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Theorem hsphoidmvle2 40799
Description: The dimensional volume of a half-open interval intersected with a two half-spaces. Used in the last inequality of step (c) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hsphoidmvle2.l |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
hsphoidmvle2.x |- ( ph -> X e. Fin )
hsphoidmvle2.z |- ( ph -> Z e. ( X \ Y ) )
hsphoidmvle2.y |- X = ( Y u. { Z } )
hsphoidmvle2.c |- ( ph -> C e. RR )
hsphoidmvle2.d |- ( ph -> D e. RR )
hsphoidmvle2.e |- ( ph -> C <_ D )
hsphoidmvle2.h |- H = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) )
hsphoidmvle2.a |- ( ph -> A : X --> RR )
hsphoidmvle2.b |- ( ph -> B : X --> RR )
Assertion
Ref Expression
hsphoidmvle2 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( H ` C ) ` B ) ) <_ ( A ( L ` X ) ( ( H ` D ) ` B ) ) )
Distinct variable groups:   x, k   A, a, b, k   B, a, b, k   B, c, j, k   C, a, b, k, x   C, c, j, x   D, a, b, k, x   D, c, j   H, a, b, k   X, a, b, k, x   X, c, j   Y, c, j, x   Z, c, j, k, x   ph, a, b, k, x   ph, c, j
Allowed substitution hints:   A( x, j, c)   B( x)   H( x, j, c)   L( x, j, k, a, b, c)   Y( k, a, b)   Z( a, b)
Proof of Theorem hsphoidmvle2
StepHypRef Expression
1 hsphoidmvle2.a . . . . 5 |- ( ph -> A : X --> RR )
2 hsphoidmvle2.z . . . . . 6 |- ( ph -> Z e. ( X \ Y ) )
32eldifad 3586 . . . . 5 |- ( ph -> Z e. X )
41, 3ffvelrnd 6360 . . . 4 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. RR )
5 hsphoidmvle2.b . . . . . 6 |- ( ph -> B : X --> RR )
65, 3ffvelrnd 6360 . . . . 5 |- ( ph -> ( B ` Z ) e. RR )
7 hsphoidmvle2.c . . . . 5 |- ( ph -> C e. RR )
86, 7ifcld 4131 . . . 4 |- ( ph -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) e. RR )
9 volicore 40795 . . . 4 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) e. RR )
104, 8, 9syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) e. RR )
11 hsphoidmvle2.d . . . . 5 |- ( ph -> D e. RR )
126, 11ifcld 4131 . . . 4 |- ( ph -> if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) e. RR )
13 volicore 40795 . . . 4 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) ) e. RR )
144, 12, 13syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) ) e. RR )
15 hsphoidmvle2.x . . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
16 difssd 3738 . . . . 5 |- ( ph -> ( X \ { Z } ) C_ X )
17 ssfi 8180 . . . . 5 |- ( ( X e. Fin /\ ( X \ { Z } ) C_ X ) -> ( X \ { Z } ) e. Fin )
1815, 16, 17syl2anc 693 . . . 4 |- ( ph -> ( X \ { Z } ) e. Fin )
19 eldifi 3732 . . . . . 6 |- ( k e. ( X \ { Z } ) -> k e. X )
2019adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> k e. X )
211ffvelrnda 6359 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
225ffvelrnda 6359 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
23 volicore 40795 . . . . . 6 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
2421, 22, 23syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
2520, 24syldan 487 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
2618, 25fprodrecl 14683 . . 3 |- ( ph -> prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
27 nfv 1843 . . . 4 |- F/ k ph
2820, 21syldan 487 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( A ` k ) e. RR )
2920, 22syldan 487 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( B ` k ) e. RR )
3029rexrd 10089 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( B ` k ) e. RR* )
31 icombl 23332 . . . . . 6 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR* ) -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol )
3228, 30, 31syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol )
33 volge0 40177 . . . . 5 |- ( ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol -> 0 <_ ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
3432, 33syl 17 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> 0 <_ ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
3527, 18, 25, 34fprodge0 14724 . . 3 |- ( ph -> 0 <_ prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
368rexrd 10089 . . . . 5 |- ( ph -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) e. RR* )
37 icombl 23332 . . . . 5 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) e. RR* ) -> ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) e. dom vol )
384, 36, 37syl2anc 693 . . . 4 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) e. dom vol )
3912rexrd 10089 . . . . 5 |- ( ph -> if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) e. RR* )
40 icombl 23332 . . . . 5 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) e. RR* ) -> ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) e. dom vol )
414, 39, 40syl2anc 693 . . . 4 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) e. dom vol )
424rexrd 10089 . . . . 5 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. RR* )
434leidd 10594 . . . . 5 |- ( ph -> ( A ` Z ) <_ ( A ` Z ) )
446leidd 10594 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ` Z ) <_ ( B ` Z ) )
4544adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B ` Z ) <_ C ) -> ( B ` Z ) <_ ( B ` Z ) )
46 iftrue 4092 . . . . . . . . 9 |- ( ( B ` Z ) <_ C -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) = ( B ` Z ) )
4746adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B ` Z ) <_ C ) -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) = ( B ` Z ) )
486adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B ` Z ) <_ C ) -> ( B ` Z ) e. RR )
497adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B ` Z ) <_ C ) -> C e. RR )
5011adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B ` Z ) <_ C ) -> D e. RR )
51 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B ` Z ) <_ C ) -> ( B ` Z ) <_ C )
52 hsphoidmvle2.e . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C <_ D )
5352adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B ` Z ) <_ C ) -> C <_ D )
5448, 49, 50, 51, 53letrd 10194 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B ` Z ) <_ C ) -> ( B ` Z ) <_ D )
5554iftrued 4094 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B ` Z ) <_ C ) -> if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) = ( B ` Z ) )
5647, 55breq12d 4666 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B ` Z ) <_ C ) -> ( if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) <_ if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) <-> ( B ` Z ) <_ ( B ` Z ) ) )
5745, 56mpbird 247 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B ` Z ) <_ C ) -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) <_ if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) )
58 simpl 473 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ C ) -> ph )
59 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ C ) -> -. ( B ` Z ) <_ C )
6058, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ C ) -> C e. RR )
6158, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ C ) -> ( B ` Z ) e. RR )
6260, 61ltnled 10184 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ C ) -> ( C < ( B ` Z ) <-> -. ( B ` Z ) <_ C ) )
6359, 62mpbird 247 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ C ) -> C < ( B ` Z ) )
647adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ C < ( B ` Z ) ) -> C e. RR )
656adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ C < ( B ` Z ) ) -> ( B ` Z ) e. RR )
66 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ C < ( B ` Z ) ) -> C < ( B ` Z ) )
6764, 65, 66ltled 10185 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C < ( B ` Z ) ) -> C <_ ( B ` Z ) )
6867adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C < ( B ` Z ) ) /\ ( B ` Z ) <_ D ) -> C <_ ( B ` Z ) )
69 iftrue 4092 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B ` Z ) <_ D -> if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) = ( B ` Z ) )
7069eqcomd 2628 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B ` Z ) <_ D -> ( B ` Z ) = if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) )
7170adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C < ( B ` Z ) ) /\ ( B ` Z ) <_ D ) -> ( B ` Z ) = if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) )
7268, 71breqtrd 4679 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C < ( B ` Z ) ) /\ ( B ` Z ) <_ D ) -> C <_ if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) )
7352ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C < ( B ` Z ) ) /\ -. ( B ` Z ) <_ D ) -> C <_ D )
74 iffalse 4095 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( B ` Z ) <_ D -> if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) = D )
7574eqcomd 2628 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( B ` Z ) <_ D -> D = if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) )
7675adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C < ( B ` Z ) ) /\ -. ( B ` Z ) <_ D ) -> D = if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) )
7773, 76breqtrd 4679 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C < ( B ` Z ) ) /\ -. ( B ` Z ) <_ D ) -> C <_ if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) )
7872, 77pm2.61dan 832 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C < ( B ` Z ) ) -> C <_ if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) )
7958, 63, 78syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ C ) -> C <_ if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) )
80 iffalse 4095 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( B ` Z ) <_ C -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) = C )
8180adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ C ) -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) = C )
8281breq1d 4663 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ C ) -> ( if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) <_ if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) <-> C <_ if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) )
8379, 82mpbird 247 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ C ) -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) <_ if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) )
8457, 83pm2.61dan 832 . . . . 5 |- ( ph -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) <_ if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) )
85 icossico 12243 . . . . 5 |- ( ( ( ( A ` Z ) e. RR* /\ if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) e. RR* ) /\ ( ( A ` Z ) <_ ( A ` Z ) /\ if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) <_ if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) ) -> ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) C_ ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) )
8642, 39, 43, 84, 85syl22anc 1327 . . . 4 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) C_ ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) )
87 volss 23301 . . . 4 |- ( ( ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) e. dom vol /\ ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) e. dom vol /\ ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) C_ ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) <_ ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) ) )
8838, 41, 86, 87syl3anc 1326 . . 3 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) <_ ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) ) )
8910, 14, 26, 35, 88lemul1ad 10963 . 2 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) <_ ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
90 hsphoidmvle2.l . . . . 5 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
91 ne0i 3921 . . . . . 6 |- ( Z e. X -> X =/= (/) )
923, 91syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> X =/= (/) )
93 hsphoidmvle2.h . . . . . 6 |- H = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) )
9493, 7, 15, 5hsphoif 40790 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( H ` C ) ` B ) : X --> RR )
9590, 15, 92, 1, 94hoidmvn0val 40798 . . . 4 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( H ` C ) ` B ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) )
9694ffvelrnda 6359 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) e. RR )
97 volicore 40795 . . . . . . 7 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) e. RR )
9821, 96, 97syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) e. RR )
9998recnd 10068 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) e. CC )
100 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( k = Z -> ( A ` k ) = ( A ` Z ) )
101 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( k = Z -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) = ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) )
102100, 101oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( k = Z -> ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) = ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) )
103102fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( k = Z -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) ) )
104103adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = Z ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) ) )
10593, 7, 15, 5, 3hsphoival 40793 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) = if ( Z e. Y , ( B ` Z ) , if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) )
1062eldifbd 3587 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. Z e. Y )
107106iffalsed 4097 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( Z e. Y , ( B ` Z ) , if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) = if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) )
108105, 107eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) = if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) )
109108oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) = ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) )
110109fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) )
111110adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = Z ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) )
112104, 111eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k = Z ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) )
11315, 99, 3, 112fprodsplit1 39825 . . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) ) )
1147adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> C e. RR )
11515adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> X e. Fin )
1165adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> B : X --> RR )
11793, 114, 115, 116, 20hsphoival 40793 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) = if ( k e. Y , ( B ` k ) , if ( ( B ` k ) <_ C , ( B ` k ) , C ) ) )
118 hsphoidmvle2.y . . . . . . . . . . . . 13 |- X = ( Y u. { Z } )
11919, 118syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( X \ { Z } ) -> k e. ( Y u. { Z } ) )
120 eldifn 3733 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( X \ { Z } ) -> -. k e. { Z } )
121 elunnel2 39198 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( Y u. { Z } ) /\ -. k e. { Z } ) -> k e. Y )
122119, 120, 121syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( X \ { Z } ) -> k e. Y )
123122adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> k e. Y )
124123iftrued 4094 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> if ( k e. Y , ( B ` k ) , if ( ( B ` k ) <_ C , ( B ` k ) , C ) ) = ( B ` k ) )
125117, 124eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) = ( B ` k ) )
126125oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
127126fveq2d 6195 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
128127prodeq2dv 14653 . . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
129128oveq2d 6666 . . . 4 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
13095, 113, 1293eqtrd 2660 . . 3 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( H ` C ) ` B ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
13193, 11, 15, 5hsphoif 40790 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( H ` D ) ` B ) : X --> RR )
13290, 15, 92, 1, 131hoidmvn0val 40798 . . . 4 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( H ` D ) ` B ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) ) ) )
133131ffvelrnda 6359 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) e. RR )
134 volicore 40795 . . . . . . 7 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) ) ) e. RR )
13521, 133, 134syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) ) ) e. RR )
136135recnd 10068 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) ) ) e. CC )
137 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( k = Z -> ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) = ( ( ( H ` D ) ` B ) ` Z ) )
138100, 137oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( k = Z -> ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) ) = ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` Z ) ) )
139138fveq2d 6195 . . . . . 6 |- ( k = Z -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` Z ) ) ) )
140139adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k = Z ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` Z ) ) ) )
14115, 136, 3, 140fprodsplit1 39825 . . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) ) ) ) )
14293, 11, 15, 5, 3hsphoival 40793 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( H ` D ) ` B ) ` Z ) = if ( Z e. Y , ( B ` Z ) , if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) )
143106iffalsed 4097 . . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( Z e. Y , ( B ` Z ) , if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) = if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) )
144142, 143eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( H ` D ) ` B ) ` Z ) = if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) )
145144oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` Z ) ) = ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) )
146145fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` Z ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) ) )
14711adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> D e. RR )
14893, 147, 115, 116, 20hsphoival 40793 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) = if ( k e. Y , ( B ` k ) , if ( ( B ` k ) <_ D , ( B ` k ) , D ) ) )
149123iftrued 4094 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> if ( k e. Y , ( B ` k ) , if ( ( B ` k ) <_ D , ( B ` k ) , D ) ) = ( B ` k ) )
150148, 149eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) = ( B ` k ) )
151150oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
152151fveq2d 6195 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
153152prodeq2dv 14653 . . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) ) ) = prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
154146, 153oveq12d 6668 . . . 4 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` D ) ` B ) ` k ) ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
155132, 141, 1543eqtrd 2660 . . 3 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( H ` D ) ` B ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
156130, 155breq12d 4666 . 2 |- ( ph -> ( ( A ( L ` X ) ( ( H ` C ) ` B ) ) <_ ( A ( L ` X ) ( ( H ` D ) ` B ) ) <-> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) <_ ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ D , ( B ` Z ) , D ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) ) )
15789, 156mpbird 247 1 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( H ` C ) ` B ) ) <_ ( A ( L ` X ) ( ( H ` D ) ` B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177   prod_cprod 14635   volcvol 23232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234
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