Theorem hspmbllem2 40841

Description: Any half-space of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. This is Step (b) of Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hspmbllem2.h	|- H = ( x e. Fin |-> ( l e. x , y e. RR |-> X_ k e. x if ( k = l , ( -oo (,) y ) , RR ) ) )
hspmbllem2.x	|- ( ph -> X e. Fin )
hspmbllem2.k	|- ( ph -> K e. X )
hspmbllem2.y	|- ( ph -> Y e. RR )
hspmbllem2.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
hspmbllem2.c	|- ( ph -> C : NN --> ( RR ^m X ) )
hspmbllem2.d	|- ( ph -> D : NN --> ( RR ^m X ) )
hspmbllem2.a	|- ( ph -> A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
hspmbllem2.g	|- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` A ) + E ) )
hspmbllem2.r	|- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` A ) e. RR )
hspmbllem2.i	|- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) e. RR )
hspmbllem2.f	|- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) e. RR )
hspmbllem2.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
hspmbllem2.t	|- T = ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) )
hspmbllem2.s	|- S = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h = K , if ( x <_ ( c ` h ) , ( c ` h ) , x ) , ( c ` h ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
hspmbllem2	|- ( ph -> ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` A ) + E ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, j, k   C, a, b, c, h, k, l   D, a, b, c, h, j, k, l   j, H, k   K, a, b, c, h, j, k, l, x, y   S, a, b, k, l   T, a, b, k, l   X, a, b, c, h, j, k, l, x, y   Y, a, b, c, h, j, k, l, x, y   ph, a, b, c, h, j, k, l, x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y, h, a, b, c, l)   C( x, y, j)   D( x, y)   S( x, y, h, j, c)   T( x, y, h, j, c)   E( x, y, h, j, k, a, b, c, l)   H( x, y, h, a, b, c, l)   L( x, y, h, j, k, a, b, c, l)

Proof of Theorem hspmbllem2

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hspmbllem2.i	. . 3 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) e. RR )
2		hspmbllem2.f	. . 3 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) e. RR )
3	1, 2	readdcld 10069	. 2 |- ( ph -> ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) e. RR )
4		hspmbllem2.r	. . . 4 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` A ) e. RR )
5		hspmbllem2.e	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
6	5	rpred 11872	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR )
7	4, 6	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( (voln* ` X ) ` A ) + E ) e. RR )
8		nfv 1843	. . . 4 |- F/ j ph
9		nnex 11026	. . . . 5 |- NN e. _V
10	9	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> NN e. _V )
11		icossicc 12260	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
12		hspmbllem2.l	. . . . . 6 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
13		hspmbllem2.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. Fin )
14	13	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X e. Fin )
15		hspmbllem2.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C : NN --> ( RR ^m X ) )
16	15	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. ( RR ^m X ) )
17		elmapi 7879	. . . . . . 7 |- ( ( C ` j ) e. ( RR ^m X ) -> ( C ` j ) : X --> RR )
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) : X --> RR )
19		hspmbllem2.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D : NN --> ( RR ^m X ) )
20	19	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. ( RR ^m X ) )
21		elmapi 7879	. . . . . . 7 |- ( ( D ` j ) e. ( RR ^m X ) -> ( D ` j ) : X --> RR )
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) : X --> RR )
23	12, 14, 18, 22	hoidmvcl 40796	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
24	11, 23	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
25	8, 10, 24	sge0clmpt 40642	. . 3 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
26		hspmbllem2.k	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. X )
27		ne0i 3921	. . . . . . . . 9 |- ( K e. X -> X =/= (/) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X =/= (/) )
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X =/= (/) )
30	12, 14, 29, 18, 22	hoidmvn0val 40798	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) )
31	30	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) )
32	31	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) ) )
33		hspmbllem2.g	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` A ) + E ) )
34	32, 33	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` A ) + E ) )
35	7, 25, 34	ge0lere 39759	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR )
36		hspmbllem2.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) )
37		hspmbllem2.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. RR )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Y e. RR )
39	36, 38, 14, 22	hsphoif 40790	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) : X --> RR )
40	12, 14, 18, 39	hoidmvcl 40796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
41	11, 40	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
42	8, 10, 41	sge0clmpt 40642	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
43		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( RR ^m x ) = ( RR ^m y ) )
44		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x = (/) <-> y = (/) ) )
45		prodeq1 14639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) = prod_ k e. y ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) )
46	44, 45	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) = if ( y = (/) , 0 , prod_ k e. y ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) )
47	43, 43, 46	mpt2eq123dv 6717	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) = ( a e. ( RR ^m y ) , b e. ( RR ^m y ) |-> if ( y = (/) , 0 , prod_ k e. y ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
48	47	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 |- ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) ) = ( y e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m y ) , b e. ( RR ^m y ) |-> if ( y = (/) , 0 , prod_ k e. y ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
49	12, 48	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- L = ( y e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m y ) , b e. ( RR ^m y ) |-> if ( y = (/) , 0 , prod_ k e. y ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
50		diffi 8192	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. Fin -> ( X \ { K } ) e. Fin )
51	13, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X \ { K } ) e. Fin )
52		snfi 8038	. . . . . . . . . . 11 |- { K } e. Fin
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { K } e. Fin )
54		unfi 8227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X \ { K } ) e. Fin /\ { K } e. Fin ) -> ( ( X \ { K } ) u. { K } ) e. Fin )
55	51, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X \ { K } ) u. { K } ) e. Fin )
56	55	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( X \ { K } ) u. { K } ) e. Fin )
57		snidg 4206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. X -> K e. { K } )
58	26, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. { K } )
59		elun2 3781	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. { K } -> K e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) )
61		neldifsnd 4322	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. K e. ( X \ { K } ) )
62	60, 61	eldifd 3585	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ( ( ( X \ { K } ) u. { K } ) \ ( X \ { K } ) ) )
63	62	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> K e. ( ( ( X \ { K } ) u. { K } ) \ ( X \ { K } ) ) )
64		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ( X \ { K } ) u. { K } ) = ( ( X \ { K } ) u. { K } )
65		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) |-> ( h e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) ) = ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) |-> ( h e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) )
66		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X \ { K } ) u. { K } ) = ( { K } u. ( X \ { K } ) )
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X \ { K } ) u. { K } ) = ( { K } u. ( X \ { K } ) ) )
68	26	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { K } C_ X )
69		undif 4049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { K } C_ X <-> ( { K } u. ( X \ { K } ) ) = X )
70	68, 69	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( { K } u. ( X \ { K } ) ) = X )
71	67, 70	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( X \ { K } ) u. { K } ) = X )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( X \ { K } ) u. { K } ) = X )
73	72	feq2d 6031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) : ( ( X \ { K } ) u. { K } ) --> RR <-> ( C ` j ) : X --> RR ) )
74	18, 73	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) : ( ( X \ { K } ) u. { K } ) --> RR )
75	72	feq2d 6031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( D ` j ) : ( ( X \ { K } ) u. { K } ) --> RR <-> ( D ` j ) : X --> RR ) )
76	22, 75	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) : ( ( X \ { K } ) u. { K } ) --> RR )
77	49, 56, 63, 64, 38, 65, 74, 76	hsphoidmvle 40800	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) ( ( ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) |-> ( h e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) ) ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) ( D ` j ) ) )
78	71	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L ` ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) = ( L ` X ) )
79		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ` j ) = ( C ` j ) )
80	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T = ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) ) )
81	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( RR ^m ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) = ( RR ^m X ) )
82	71	mpteq1d 4738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( h e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) = ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) )
83	81, 82	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( c e. ( RR ^m ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) |-> ( h e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) )
84	83	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) |-> ( h e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) )
85	84	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) ) = ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) |-> ( h e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) ) )
86	80, 85	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) |-> ( h e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) ) = T )
87	86	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) |-> ( h e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) ) ` Y ) = ( T ` Y ) )
88	87	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) |-> ( h e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) ) ` Y ) ` ( D ` j ) ) = ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) )
89	78, 79, 88	oveq123d 6671	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C ` j ) ( L ` ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) ( ( ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) |-> ( h e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) ) ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) = ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) )
90	89	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) ( ( ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) |-> ( h e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) ) ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) = ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) )
91	78	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( L ` ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) = ( L ` X ) )
92	91	oveqd 6667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) ( D ` j ) ) = ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) )
93	90, 92	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) ( ( ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) |-> ( h e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) ) ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ) ( D ` j ) ) <-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) )
94	77, 93	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) )
95	8, 10, 41, 24, 94	sge0lempt 40627	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
96	35, 42, 95	ge0lere 39759	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
97		hspmbllem2.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h = K , if ( x <_ ( c ` h ) , ( c ` h ) , x ) , ( c ` h ) ) ) ) )
98	97, 38, 14, 18	hoidifhspf 40832	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) : X --> RR )
99	12, 14, 98, 22	hoidmvcl 40796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
100		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) )
101	99, 100	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
102	11	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) )
103	101, 102	fssd 6057	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
104	10, 103	sge0cl 40598	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
105	11, 99	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
106	26	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> K e. X )
107	12, 14, 18, 22, 106, 97, 38	hoidifhspdmvle 40834	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) )
108	8, 10, 105, 24, 107	sge0lempt 40627	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
109	35, 104, 108	ge0lere 39759	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR )
110	37	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> Y e. RR )
111	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> X e. Fin )
112		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = l -> ( j e. NN <-> l e. NN ) )
113	112	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = l -> ( ( ph /\ j e. NN ) <-> ( ph /\ l e. NN ) ) )
114		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = l -> ( D ` j ) = ( D ` l ) )
115	114	feq1d 6030	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = l -> ( ( D ` j ) : X --> RR <-> ( D ` l ) : X --> RR ) )
116	113, 115	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( j = l -> ( ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) : X --> RR ) <-> ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( D ` l ) : X --> RR ) ) )
117	116, 22	chvarv 2263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( D ` l ) : X --> RR )
118	36, 110, 111, 117	hsphoif 40790	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) : X --> RR )
119		reex 10027	. . . . . . . . . . . 12 |- RR e. _V
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> RR e. _V )
121	120, 13	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR e. _V /\ X e. Fin ) )
122	121	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( RR e. _V /\ X e. Fin ) )
123		elmapg 7870	. . . . . . . . 9 |- ( ( RR e. _V /\ X e. Fin ) -> ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) e. ( RR ^m X ) <-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) : X --> RR ) )
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) e. ( RR ^m X ) <-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) : X --> RR ) )
125	118, 124	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) e. ( RR ^m X ) )
126		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) ) = ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) )
127	125, 126	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) ) : NN --> ( RR ^m X ) )
128		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) -> ph )
129		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) -> f e. A )
130	129	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) -> f e. A )
131		hspmbllem2.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
132	131	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
133		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) <-> E. j e. NN f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
134	132, 133	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> E. j e. NN f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
135	128, 130, 134	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) -> E. j e. NN f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
136	128	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) -> ph )
137		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) -> f e. ( K ( H ` X ) Y ) )
138	137	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) -> f e. ( K ( H ` X ) Y ) )
139	138	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) -> f e. ( K ( H ` X ) Y ) )
140		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) -> j e. NN )
141		ixpfn 7914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) -> f Fn X )
142	141	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> f Fn X )
143		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ k ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN )
144		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k f
145		nfixp1 7928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) )
146	144, 145	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ k f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) )
147	143, 146	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
148	18	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> ( C ` j ) : X --> RR )
149		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> k e. X )
150	148, 149	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> ( ( C ` j ) ` k ) e. RR )
151	150	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> ( ( C ` j ) ` k ) e. RR* )
152	151	ad5ant135 1314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` j ) ` k ) e. RR* )
153	39	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) : X --> RR )
154	153, 149	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) e. RR )
155	154	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) e. RR* )
156	155	ad5ant135 1314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) e. RR* )
157		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = K -> if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) = ( -oo (,) Y ) )
158		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( -oo (,) Y ) C_ RR
159	158	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = K -> ( -oo (,) Y ) C_ RR )
160	157, 159	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = K -> if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) C_ RR )
161		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( -. k = K -> if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) = RR )
162		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- RR C_ RR
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( -. k = K -> RR C_ RR )
164	161, 163	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. k = K -> if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) C_ RR )
165	160, 164	pm2.61i 176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) C_ RR
166		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) -> f e. ( K ( H ` X ) Y ) )
167		hspmbllem2.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- H = ( x e. Fin |-> ( l e. x , y e. RR |-> X_ k e. x if ( k = l , ( -oo (,) y ) , RR ) ) )
168	167, 13, 26, 37	hspval 40823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( K ( H ` X ) Y ) = X_ k e. X if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
169	168	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) -> ( K ( H ` X ) Y ) = X_ k e. X if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
170	166, 169	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) -> f e. X_ k e. X if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
171	170	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ k e. X ) -> f e. X_ k e. X if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
172		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ k e. X ) -> k e. X )
173		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- f e. _V
174	173	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f e. X_ k e. X if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) <-> ( f Fn X /\ A. k e. X ( f ` k ) e. if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) ) )
175	174	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f e. X_ k e. X if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) -> ( f Fn X /\ A. k e. X ( f ` k ) e. if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) ) )
176	175	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f e. X_ k e. X if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) -> A. k e. X ( f ` k ) e. if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
177	176	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( f e. X_ k e. X if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) /\ k e. X ) -> A. k e. X ( f ` k ) e. if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
178		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( f e. X_ k e. X if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) /\ k e. X ) -> k e. X )
179		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A. k e. X ( f ` k ) e. if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
180	177, 178, 179	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( f e. X_ k e. X if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
181	171, 172, 180	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
182	165, 181	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. RR )
183	182	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. RR* )
184	183	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. RR* )
185	151	ad4ant124 1295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` j ) ` k ) e. RR* )
186	22	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> ( D ` j ) : X --> RR )
187	186, 149	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> ( ( D ` j ) ` k ) e. RR )
188	187	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> ( ( D ` j ) ` k ) e. RR* )
189	188	ad4ant124 1295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( ( D ` j ) ` k ) e. RR* )
190	173	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) <-> ( f Fn X /\ A. k e. X ( f ` k ) e. ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) )
191	190	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) -> ( f Fn X /\ A. k e. X ( f ` k ) e. ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) )
192	191	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) -> A. k e. X ( f ` k ) e. ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
193	192	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) /\ k e. X ) -> A. k e. X ( f ` k ) e. ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
194		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) /\ k e. X ) -> k e. X )
195		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A. k e. X ( f ` k ) e. ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
196	193, 194, 195	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
197	196	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
198		icogelb 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( C ` j ) ` k ) e. RR* /\ ( ( D ` j ) ` k ) e. RR* /\ ( f ` k ) e. ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> ( ( C ` j ) ` k ) <_ ( f ` k ) )
199	185, 189, 197, 198	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` j ) ` k ) <_ ( f ` k ) )
200	199	ad5ant1345 1316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` j ) ` k ) <_ ( f ` k ) )
201		icoltub 39732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( C ` j ) ` k ) e. RR* /\ ( ( D ` j ) ` k ) e. RR* /\ ( f ` k ) e. ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> ( f ` k ) < ( ( D ` j ) ` k ) )
202	185, 189, 197, 201	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) < ( ( D ` j ) ` k ) )
203	202	ad5ant1345 1316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) < ( ( D ` j ) ` k ) )
204	203	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ k = K ) /\ ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> ( f ` k ) < ( ( D ` j ) ` k ) )
205		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) -> ph )
206		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) -> j e. NN )
207	205, 206	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) -> ( ph /\ j e. NN ) )
208	207	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ k = K /\ ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> ( ph /\ j e. NN ) )
209		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ k = K /\ ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> k = K )
210		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ k = K /\ ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y )
211		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( k = K -> ( ( D ` j ) ` k ) = ( ( D ` j ) ` K ) )
212	211	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( k = K -> ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y <-> ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y ) )
213	212	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( k = K /\ ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y )
214	213	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( k = K /\ ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) = ( ( D ` j ) ` K ) )
215	211	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( k = K -> ( ( D ` j ) ` K ) = ( ( D ` j ) ` k ) )
216	215	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( k = K /\ ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> ( ( D ` j ) ` K ) = ( ( D ` j ) ` k ) )
217	214, 216	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( k = K /\ ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) = ( ( D ` j ) ` k ) )
218	217	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k = K /\ ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) = ( ( D ` j ) ` k ) )
219		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( y = Y -> ( ( c ` h ) <_ y <-> ( c ` h ) <_ Y ) )
220		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( y = Y -> y = Y )
221	219, 220	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( y = Y -> if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) = if ( ( c ` h ) <_ Y , ( c ` h ) , Y ) )
222	221	ifeq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( y = Y -> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) = if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ Y , ( c ` h ) , Y ) ) )
223	222	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( y = Y -> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) = ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ Y , ( c ` h ) , Y ) ) ) )
224	223	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( y = Y -> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ Y , ( c ` h ) , Y ) ) ) ) )
225	224	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ y = Y ) -> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ Y , ( c ` h ) , Y ) ) ) ) )
226		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( RR ^m X ) e. _V
227	226	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ Y , ( c ` h ) , Y ) ) ) ) e. _V
228	227	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ph -> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ Y , ( c ` h ) , Y ) ) ) ) e. _V )
229	80, 225, 37, 228	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ph -> ( T ` Y ) = ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ Y , ( c ` h ) , Y ) ) ) ) )
230	229	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ` Y ) = ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ Y , ( c ` h ) , Y ) ) ) ) )
231		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( c = ( D ` j ) -> ( c ` h ) = ( ( D ` j ) ` h ) )
232	231	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( c = ( D ` j ) -> ( ( c ` h ) <_ Y <-> ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y ) )
233	232, 231	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( c = ( D ` j ) -> if ( ( c ` h ) <_ Y , ( c ` h ) , Y ) = if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) )
234	231, 233	ifeq12d 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( c = ( D ` j ) -> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ Y , ( c ` h ) , Y ) ) = if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) )
235	234	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( c = ( D ` j ) -> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ Y , ( c ` h ) , Y ) ) ) = ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) ) )
236	235	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ c = ( D ` j ) ) -> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ Y , ( c ` h ) , Y ) ) ) = ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) ) )
237		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( X e. Fin -> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) ) e. _V )
238	13, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ph -> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) ) e. _V )
239	238	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) ) e. _V )
240	230, 236, 20, 239	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) = ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) ) )
241	240	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) = ( ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) ) ` k ) )
242	241	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k = K ) -> ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) = ( ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) ) ` k ) )
243		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ k = K ) -> ph )
244		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ k = K ) -> k = K )
245	243, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ k = K ) -> K e. X )
246	244, 245	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ k = K ) -> k e. X )
247		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) ) = ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) ) )
248		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( h = k -> ( h e. ( X \ { K } ) <-> k e. ( X \ { K } ) ) )
249		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( h = k -> ( ( D ` j ) ` h ) = ( ( D ` j ) ` k ) )
250	249	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( h = k -> ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y <-> ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) )
251	250, 249	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( h = k -> if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) = if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) )
252	248, 249, 251	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( h = k -> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) = if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) )
253	252	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ h = k ) -> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) = if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) )
254		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> k e. X )
255		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ph -> ( ( D ` j ) ` k ) e. _V )
256		ifexg 4157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( D ` j ) ` k ) e. _V /\ Y e. RR ) -> if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) e. _V )
257	255, 37, 256	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ph -> if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) e. _V )
258		ifexg 4157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( D ` j ) ` k ) e. _V /\ if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) e. _V ) -> if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) e. _V )
259	255, 257, 258	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ph -> if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) e. _V )
260	259	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) e. _V )
261	247, 253, 254, 260	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) ) ` k ) = if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) )
262	243, 246, 261	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ k = K ) -> ( ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) ) ` k ) = if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) )
263		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( k = K -> ( k e. ( X \ { K } ) <-> K e. ( X \ { K } ) ) )
264	212, 211	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( k = K -> if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) = if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) )
265	263, 211, 264	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( k = K -> if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) = if ( K e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` K ) , if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) ) )
266	265	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ k = K ) -> if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) = if ( K e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` K ) , if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) ) )
267	262, 266	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ k = K ) -> ( ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) ) ` k ) = if ( K e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` K ) , if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) ) )
268	267	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k = K ) -> ( ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) ) ` k ) = if ( K e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` K ) , if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) ) )
269		neldifsnd 4322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( k = K -> -. K e. ( X \ { K } ) )
270	269	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( k = K -> if ( K e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` K ) , if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) ) = if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) )
271	270	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k = K ) -> if ( K e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` K ) , if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) ) = if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) )
272	242, 268, 271	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k = K ) -> if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) = ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
273	272	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k = K ) -> if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) = ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
274	273	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k = K /\ ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) = ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
275	218, 274	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k = K /\ ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> ( ( D ` j ) ` k ) = ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
276	208, 209, 210, 275	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ k = K /\ ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> ( ( D ` j ) ` k ) = ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
277	276	ad5ant145 1315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ k = K ) /\ ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> ( ( D ` j ) ` k ) = ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
278	204, 277	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ k = K ) /\ ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> ( f ` k ) < ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
279		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- -oo e. RR*
280	279	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ k e. X /\ k = K ) -> -oo e. RR* )
281	37	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> Y e. RR* )
282	281	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) -> Y e. RR* )
283	282	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ k e. X /\ k = K ) -> Y e. RR* )
284	181	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ k e. X /\ k = K ) -> ( f ` k ) e. if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
285	157	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ k e. X /\ k = K ) -> if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) = ( -oo (,) Y ) )
286	284, 285	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ k e. X /\ k = K ) -> ( f ` k ) e. ( -oo (,) Y ) )
287		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( -oo e. RR* /\ Y e. RR* /\ ( f ` k ) e. ( -oo (,) Y ) ) -> ( f ` k ) < Y )
288	280, 283, 286, 287	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ k e. X /\ k = K ) -> ( f ` k ) < Y )
289	288	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. X /\ k = K ) -> ( f ` k ) < Y )
290	289	ad4ant123 1294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. X ) /\ k = K ) /\ -. ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> ( f ` k ) < Y )
291		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( k = K /\ -. ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> -. ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y )
292	212	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( k = K -> ( -. ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y <-> -. ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y ) )
293	292	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( k = K /\ -. ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> ( -. ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y <-> -. ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y ) )
294	291, 293	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( k = K /\ -. ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> -. ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y )
295	294	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( k = K /\ -. ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) = Y )
296		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( k = K /\ -. ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> Y = Y )
297	295, 296	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( k = K /\ -. ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> Y = if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) )
298	297	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. X ) /\ k = K ) /\ -. ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> Y = if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) )
299	273	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) = ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
300	299	adantlllr 39199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) = ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
301	300	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. X ) /\ k = K ) /\ -. ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> if ( ( ( D ` j ) ` K ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` K ) , Y ) = ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
302	298, 301	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. X ) /\ k = K ) /\ -. ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> Y = ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
303	290, 302	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. X ) /\ k = K ) /\ -. ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> ( f ` k ) < ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
304	303	ad5ant1345 1316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ k = K ) /\ -. ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y ) -> ( f ` k ) < ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
305	278, 304	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> ( f ` k ) < ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
306	203	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> ( f ` k ) < ( ( D ` j ) ` k ) )
307	240	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) = ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) ) )
308	252	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) /\ h = k ) -> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` h ) , if ( ( ( D ` j ) ` h ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` h ) , Y ) ) = if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) )
309	260	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) e. _V )
310	307, 308, 149, 309	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) = if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) )
311	310	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) = if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) )
312	311	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) = if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) )
313	312	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) = if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) )
314		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( k e. X /\ -. k = K ) -> k e. X )
315		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( -. k = K -> k =/= K )
316		nelsn 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k =/= K -> -. k e. { K } )
317	315, 316	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( -. k = K -> -. k e. { K } )
318	317	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( k e. X /\ -. k = K ) -> -. k e. { K } )
319	314, 318	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( k e. X /\ -. k = K ) -> k e. ( X \ { K } ) )
320	319	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. X /\ -. k = K ) -> if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) = ( ( D ` j ) ` k ) )
321	320	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> if ( k e. ( X \ { K } ) , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Y , ( ( D ` j ) ` k ) , Y ) ) = ( ( D ` j ) ` k ) )
322	313, 321	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> ( ( D ` j ) ` k ) = ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
323	306, 322	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> ( f ` k ) < ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
324	305, 323	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) < ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
325	152, 156, 184, 200, 324	elicod 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) )
326	325	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> ( k e. X -> ( f ` k ) e. ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) )
327	147, 326	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> A. k e. X ( f ` k ) e. ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) )
328	142, 327	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> ( f Fn X /\ A. k e. X ( f ` k ) e. ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) )
329	173	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) <-> ( f Fn X /\ A. k e. X ( f ` k ) e. ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) )
330	328, 329	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) )
331	330	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. ( K ( H ` X ) Y ) ) /\ j e. NN ) -> ( f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) -> f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) )
332	136, 139, 140, 331	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) -> ( f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) -> f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) )
333	332	reximdva 3017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) -> ( E. j e. NN f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) -> E. j e. NN f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) )
334	135, 333	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) -> E. j e. NN f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) )
335		eliun 4524	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) <-> E. j e. NN f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) )
336	334, 335	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) -> f e. U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) )
337	336	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. f e. ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) f e. U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) )
338		dfss3 3592	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) <-> A. f e. ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) f e. U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) )
339	337, 338	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) )
340		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) ) = ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) ) )
341		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = j -> ( D ` l ) = ( D ` j ) )
342	341	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = j -> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) = ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) )
343	342	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ l = j ) -> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) = ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) )
344		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j e. NN )
345		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) e. _V )
346	340, 343, 344, 345	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) ) ` j ) = ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) )
347	346	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) ) ` j ) ` k ) = ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
348	347	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) ) ` j ) ` k ) ) = ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) )
349	348	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) ) ` j ) ` k ) ) = X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) )
350	349	iuneq2i 4539	. . . . . . 7 |- U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) ) ` j ) ` k ) ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ` k ) )
351	339, 350	syl6sseqr 3652	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) ) ` j ) ` k ) ) )
352	13, 15, 127, 351, 12	ovnlecvr2 40824	. . . . 5 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) ) ` j ) ) ) ) )
353	346	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) ) ` j ) ) = ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) )
354	353	mpteq2ia 4740	. . . . . . 7 |- ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) ) ` j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) )
355	354	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) ) ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) ) )
356	355	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( l e. NN |-> ( ( T ` Y ) ` ( D ` l ) ) ) ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) )
357	352, 356	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) )
358	15	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( C ` l ) e. ( RR ^m X ) )
359		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C ` l ) e. ( RR ^m X ) -> ( C ` l ) : X --> RR )
360	358, 359	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( C ` l ) : X --> RR )
361	97, 110, 111, 360	hoidifhspf 40832	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) : X --> RR )
362		elmapg 7870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR e. _V /\ X e. Fin ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) e. ( RR ^m X ) <-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) : X --> RR ) )
363	121, 362	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) e. ( RR ^m X ) <-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) : X --> RR ) )
364	363	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) e. ( RR ^m X ) <-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) : X --> RR ) )
365	361, 364	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) e. ( RR ^m X ) )
366		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) = ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) )
367	365, 366	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) : NN --> ( RR ^m X ) )
368		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) -> ph )
369		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) -> f e. A )
370	369	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) -> f e. A )
371	368, 370, 134	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) -> E. j e. NN f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
372	141	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> f Fn X )
373		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN )
374	373, 146	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
375	98	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) : X --> RR )
376	375, 149	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) e. RR )
377	376	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) e. RR* )
378	377	ad5ant135 1314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) e. RR* )
379	189	adantl3r 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( ( D ` j ) ` k ) e. RR* )
380	150	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` j ) ` k ) e. RR )
381	188	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( D ` j ) ` k ) e. RR* )
382		icossre 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( C ` j ) ` k ) e. RR /\ ( ( D ` j ) ` k ) e. RR* ) -> ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) C_ RR )
383	380, 381, 382	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) C_ RR )
384	383	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) C_ RR )
385	384, 197	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. RR )
386	385	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. RR* )
387	386	ad5ant1345 1316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. RR* )
388	38	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> Y e. RR )
389	14	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> X e. Fin )
390	97, 388, 389, 148, 149	hoidifhspval3 40833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. NN /\ k e. X ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) = if ( k = K , if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) , ( ( C ` j ) ` k ) ) )
391	390	ad5ant134 1313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) = if ( k = K , if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) , ( ( C ` j ) ` k ) ) )
392		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = K -> if ( k = K , if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) , ( ( C ` j ) ` k ) ) = if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) )
393	392	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> if ( k = K , if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) , ( ( C ` j ) ` k ) ) = if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) )
394	391, 393	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) = if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) )
395	394	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) = if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) )
396		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) -> if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) = ( ( C ` j ) ` k ) )
397	396	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ k = K ) /\ Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) ) -> if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) = ( ( C ` j ) ` k ) )
398	199	adantl3r 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` j ) ` k ) <_ ( f ` k ) )
399	398	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ k = K ) /\ Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) ) -> ( ( C ` j ) ` k ) <_ ( f ` k ) )
400	397, 399	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ k = K ) /\ Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) ) -> if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) <_ ( f ` k ) )
401		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) -> if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) = Y )
402	401	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ k = K ) /\ -. Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) ) -> if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) = Y )
403		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) /\ -. Y <_ ( f ` k ) ) -> ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) )
404		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( k = K /\ -. Y <_ ( f ` k ) ) -> -. Y <_ ( f ` k ) )
405		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( k = K -> ( f ` k ) = ( f ` K ) )
406	405	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( k = K -> ( Y <_ ( f ` k ) <-> Y <_ ( f ` K ) ) )
407	406	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( k = K -> ( -. Y <_ ( f ` k ) <-> -. Y <_ ( f ` K ) ) )
408	407	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( k = K /\ -. Y <_ ( f ` k ) ) -> ( -. Y <_ ( f ` k ) <-> -. Y <_ ( f ` K ) ) )
409	404, 408	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( k = K /\ -. Y <_ ( f ` k ) ) -> -. Y <_ ( f ` K ) )
410	409	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) /\ -. Y <_ ( f ` k ) ) -> -. Y <_ ( f ` K ) )
411	405	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( k = K -> ( f ` K ) = ( f ` k ) )
412	411	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) -> ( f ` K ) = ( f ` k ) )
413	371	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X ) -> E. j e. NN f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
414		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ph /\ j e. NN ) )
415	414	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> ( ph /\ j e. NN ) )
416		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
417	254	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> k e. X )
418	415, 416, 417, 385	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> ( f ` k ) e. RR )
419	418	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ j e. NN ) -> ( f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) -> ( f ` k ) e. RR ) )
420	419	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( E. j e. NN f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) -> ( f ` k ) e. RR ) )
421	420	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X ) -> ( E. j e. NN f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) -> ( f ` k ) e. RR ) )
422	413, 421	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. RR )
423	422	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) -> ( f ` k ) e. RR )
424	412, 423	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) -> ( f ` K ) e. RR )
425	424	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) /\ -. Y <_ ( f ` k ) ) -> ( f ` K ) e. RR )
426	403, 368, 37	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) /\ -. Y <_ ( f ` k ) ) -> Y e. RR )
427	425, 426	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) /\ -. Y <_ ( f ` k ) ) -> ( ( f ` K ) < Y <-> -. Y <_ ( f ` K ) ) )
428	410, 427	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) /\ -. Y <_ ( f ` k ) ) -> ( f ` K ) < Y )
429	372, 371	r19.29a 3078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) -> f Fn X )
430	429	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ ( f ` K ) < Y ) -> f Fn X )
431	279	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ ( f ` K ) < Y ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> -oo e. RR* )
432	281	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ ( f ` K ) < Y ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> Y e. RR* )
433	422	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ ( f ` K ) < Y ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> ( f ` k ) e. RR )
434	433	mnfltd 11958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ ( f ` K ) < Y ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> -oo < ( f ` k ) )
435	405	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( f ` K ) < Y /\ k = K ) -> ( f ` k ) = ( f ` K ) )
436		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( f ` K ) < Y /\ k = K ) -> ( f ` K ) < Y )
437	435, 436	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( f ` K ) < Y /\ k = K ) -> ( f ` k ) < Y )
438	437	ad4ant24 1298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ ( f ` K ) < Y ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> ( f ` k ) < Y )
439	431, 432, 433, 434, 438	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ ( f ` K ) < Y ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> ( f ` k ) e. ( -oo (,) Y ) )
440	157	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( k = K -> ( -oo (,) Y ) = if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
441	440	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ ( f ` K ) < Y ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> ( -oo (,) Y ) = if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
442	439, 441	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ ( f ` K ) < Y ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> ( f ` k ) e. if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
443	422	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ ( f ` K ) < Y ) /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> ( f ` k ) e. RR )
444	161	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( -. k = K -> RR = if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
445	444	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ ( f ` K ) < Y ) /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> RR = if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
446	443, 445	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ ( f ` K ) < Y ) /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> ( f ` k ) e. if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
447	442, 446	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ ( f ` K ) < Y ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
448	447	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ ( f ` K ) < Y ) -> A. k e. X ( f ` k ) e. if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
449	430, 448	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ ( f ` K ) < Y ) -> ( f Fn X /\ A. k e. X ( f ` k ) e. if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) ) )
450	403, 428, 449	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) /\ -. Y <_ ( f ` k ) ) -> ( f Fn X /\ A. k e. X ( f ` k ) e. if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) ) )
451	450, 174	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) /\ -. Y <_ ( f ` k ) ) -> f e. X_ k e. X if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) )
452	168	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> X_ k e. X if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) = ( K ( H ` X ) Y ) )
453	452	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ -. Y <_ ( f ` k ) ) -> X_ k e. X if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) = ( K ( H ` X ) Y ) )
454	453	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) /\ -. Y <_ ( f ` k ) ) -> X_ k e. X if ( k = K , ( -oo (,) Y ) , RR ) = ( K ( H ` X ) Y ) )
455	451, 454	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) /\ -. Y <_ ( f ` k ) ) -> f e. ( K ( H ` X ) Y ) )
456		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) -> -. f e. ( K ( H ` X ) Y ) )
457	456	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) -> -. f e. ( K ( H ` X ) Y ) )
458	457	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) -> -. f e. ( K ( H ` X ) Y ) )
459	458	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) /\ -. Y <_ ( f ` k ) ) -> -. f e. ( K ( H ` X ) Y ) )
460	455, 459	condan 835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ k e. X /\ k = K ) -> Y <_ ( f ` k ) )
461	460	ad5ant145 1315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> Y <_ ( f ` k ) )
462	461	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ k = K ) /\ -. Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) ) -> Y <_ ( f ` k ) )
463	402, 462	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ k = K ) /\ -. Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) ) -> if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) <_ ( f ` k ) )
464	400, 463	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) <_ ( f ` k ) )
465	395, 464	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ k = K ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) <_ ( f ` k ) )
466	390	ad5ant124 1311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) = if ( k = K , if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) , ( ( C ` j ) ` k ) ) )
467		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. k = K -> if ( k = K , if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) , ( ( C ` j ) ` k ) ) = ( ( C ` j ) ` k ) )
468	467	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> if ( k = K , if ( Y <_ ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( C ` j ) ` k ) , Y ) , ( ( C ` j ) ` k ) ) = ( ( C ` j ) ` k ) )
469	466, 468	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) = ( ( C ` j ) ` k ) )
470	199	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> ( ( C ` j ) ` k ) <_ ( f ` k ) )
471	469, 470	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) <_ ( f ` k ) )
472	471	adantl4r 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) <_ ( f ` k ) )
473	465, 472	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) <_ ( f ` k ) )
474	202	adantl3r 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) < ( ( D ` j ) ` k ) )
475	378, 379, 387, 473, 474	elicod 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) /\ k e. X ) -> ( f ` k ) e. ( ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
476	475	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> ( k e. X -> ( f ` k ) e. ( ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) )
477	374, 476	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> A. k e. X ( f ` k ) e. ( ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
478	372, 477	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> ( f Fn X /\ A. k e. X ( f ` k ) e. ( ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) )
479	173	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. X_ k e. X ( ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) <-> ( f Fn X /\ A. k e. X ( f ` k ) e. ( ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) )
480	478, 479	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> f e. X_ k e. X ( ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
481		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. NN -> ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) = ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) )
482		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l = j -> ( C ` l ) = ( C ` j ) )
483	482	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = j -> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) = ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) )
484	483	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. NN /\ l = j ) -> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) = ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) )
485		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. NN -> ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) e. _V )
486	481, 484, 344, 485	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) = ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) )
487	486	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) = ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) )
488	487	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> ( ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = ( ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
489	488	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> X_ k e. X ( ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = X_ k e. X ( ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
490	489	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> X_ k e. X ( ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = X_ k e. X ( ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
491	490	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> ( f e. X_ k e. X ( ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) <-> f e. X_ k e. X ( ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) )
492	480, 491	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) /\ f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) -> f e. X_ k e. X ( ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
493	492	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) /\ j e. NN ) -> ( f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) -> f e. X_ k e. X ( ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) )
494	493	reximdva 3017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) -> ( E. j e. NN f e. X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) -> E. j e. NN f e. X_ k e. X ( ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) )
495	371, 494	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) -> E. j e. NN f e. X_ k e. X ( ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
496		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( f e. U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) <-> E. j e. NN f e. X_ k e. X ( ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
497	495, 496	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) -> f e. U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
498	497	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) f e. U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
499		dfss3 3592	. . . . . . 7 |- ( ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) <-> A. f e. ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) f e. U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
500	498, 499	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
501	13, 367, 19, 500, 12	ovnlecvr2 40824	. . . . 5 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
502	486	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) = ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) )
503	502	mpteq2ia 4740	. . . . . . 7 |- ( j e. NN |-> ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) )
504	503	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) )
505	504	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( l e. NN |-> ( ( S ` Y ) ` ( C ` l ) ) ) ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
506	501, 505	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
507	1, 2, 96, 109, 357, 506	leadd12dd 39532	. . 3 |- ( ph -> ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) ) )
508	14, 106, 38, 18, 22, 12, 36, 97	hspmbllem1 40840	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) = ( ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) +e ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) )
509	508	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) +e ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
510	509	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) +e ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) ) )
511	8, 10, 41, 105	sge0xadd 40652	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) +e ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) +e (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) ) )
512	96, 109	rexaddd 12065	. . . 4 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) +e (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) ) )
513	510, 511, 512	3eqtrrd 2661	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( ( S ` Y ) ` ( C ` j ) ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
514	507, 513	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
515	3, 35, 7, 514, 34	letrd 10194	1 |- ( ph -> ( ( (voln* ` X ) ` ( A i^i ( K ( H ` X ) Y ) ) ) + ( (voln* ` X ) ` ( A \ ( K ( H ` X ) Y ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` A ) + E ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   RR+crp 11832   +ecxad 11944   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579  voln^*covoln 40750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580  df-ovoln 40751

This theorem is referenced by:  hspmbllem3  40842