Theorem hsphoidmvle 40800

Description: The dimensional volume of a half-open interval intersected with a half-space, is less than or equal to the dimensional volume of the original half-open interval. Used in the last inequality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hsphoidmvle.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
hsphoidmvle.x	|- ( ph -> X e. Fin )
hsphoidmvle.z	|- ( ph -> Z e. ( X \ Y ) )
hsphoidmvle.y	|- X = ( Y u. { Z } )
hsphoidmvle.c	|- ( ph -> C e. RR )
hsphoidmvle.h	|- H = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) )
hsphoidmvle.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
hsphoidmvle.b	|- ( ph -> B : X --> RR )

Assertion

Ref	Expression
hsphoidmvle	|- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( H ` C ) ` B ) ) <_ ( A ( L ` X ) B ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, a, b, k   B, a, b, k   B, c, j, k   C, a, b, k, x   C, c, j, x   H, a, b, k   X, a, b, k, x   X, c, j   Y, c, j, x   Z, c, j, k, x   ph, a, b, k, x   ph, c, j

Allowed substitution hints:   A( x, j, c)   B( x)   H( x, j, c)   L( x, j, k, a, b, c)   Y( k, a, b)   Z( a, b)

Proof of Theorem hsphoidmvle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hsphoidmvle.a	. . . . 5 |- ( ph -> A : X --> RR )
2		hsphoidmvle.z	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. ( X \ Y ) )
3	2	eldifad 3586	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. X )
4	1, 3	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. RR )
5		hsphoidmvle.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B : X --> RR )
6	5, 3	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ph -> ( B ` Z ) e. RR )
7		hsphoidmvle.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR )
8	6, 7	ifcld 4131	. . . 4 |- ( ph -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) e. RR )
9		volicore 40795	. . . 4 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) e. RR )
10	4, 8, 9	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) e. RR )
11		volicore 40795	. . . 4 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ ( B ` Z ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) e. RR )
12	4, 6, 11	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) e. RR )
13		hsphoidmvle.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
14		difssd 3738	. . . . 5 |- ( ph -> ( X \ { Z } ) C_ X )
15		ssfi 8180	. . . . 5 |- ( ( X e. Fin /\ ( X \ { Z } ) C_ X ) -> ( X \ { Z } ) e. Fin )
16	13, 14, 15	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( X \ { Z } ) e. Fin )
17		eldifi 3732	. . . . . 6 |- ( k e. ( X \ { Z } ) -> k e. X )
18	17	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> k e. X )
19	1	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
20	5	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
21		volicore 40795	. . . . . 6 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
22	19, 20, 21	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
23	18, 22	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
24	16, 23	fprodrecl 14683	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
25		nfv 1843	. . . 4 |- F/ k ph
26	18, 19	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( A ` k ) e. RR )
27	18, 20	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( B ` k ) e. RR )
28	27	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( B ` k ) e. RR* )
29		icombl 23332	. . . . . 6 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR* ) -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol )
30	26, 28, 29	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol )
31		volge0 40177	. . . . 5 |- ( ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol -> 0 <_ ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
32	30, 31	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> 0 <_ ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
33	25, 16, 23, 32	fprodge0 14724	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
34	8	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) e. RR* )
35		icombl 23332	. . . . 5 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) e. RR* ) -> ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) e. dom vol )
36	4, 34, 35	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) e. dom vol )
37	6	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ph -> ( B ` Z ) e. RR* )
38		icombl 23332	. . . . 5 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ ( B ` Z ) e. RR* ) -> ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) e. dom vol )
39	4, 37, 38	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) e. dom vol )
40	4	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. RR* )
41	4	leidd 10594	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ` Z ) <_ ( A ` Z ) )
42		min1 12020	. . . . . 6 |- ( ( ( B ` Z ) e. RR /\ C e. RR ) -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) <_ ( B ` Z ) )
43	6, 7, 42	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) <_ ( B ` Z ) )
44		icossico 12243	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ` Z ) e. RR* /\ ( B ` Z ) e. RR* ) /\ ( ( A ` Z ) <_ ( A ` Z ) /\ if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) <_ ( B ` Z ) ) ) -> ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) C_ ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) )
45	40, 37, 41, 43, 44	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) C_ ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) )
46		volss 23301	. . . 4 |- ( ( ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) e. dom vol /\ ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) e. dom vol /\ ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) C_ ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) <_ ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
47	36, 39, 45, 46	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) <_ ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
48	10, 12, 24, 33, 47	lemul1ad 10963	. 2 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) <_ ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
49		hsphoidmvle.l	. . . . 5 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
50		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( Z e. X -> X =/= (/) )
51	3, 50	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> X =/= (/) )
52		hsphoidmvle.h	. . . . . 6 |- H = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) )
53	52, 7, 13, 5	hsphoif 40790	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( H ` C ) ` B ) : X --> RR )
54	49, 13, 51, 1, 53	hoidmvn0val 40798	. . . 4 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( H ` C ) ` B ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) )
55	53	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) e. RR )
56		volicore 40795	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) e. RR )
57	19, 55, 56	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) e. RR )
58	57	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) e. CC )
59		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = Z -> ( A ` k ) = ( A ` Z ) )
60		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = Z -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) = ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) )
61	59, 60	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( k = Z -> ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) = ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) )
62	61	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( k = Z -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) ) )
63	62	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = Z ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) ) )
64	52, 7, 13, 5, 3	hsphoival 40793	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) = if ( Z e. Y , ( B ` Z ) , if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) )
65	2	eldifbd 3587	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. Z e. Y )
66	65	iffalsed 4097	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( Z e. Y , ( B ` Z ) , if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) = if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) )
67	64, 66	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) = if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) )
68	67	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) = ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) )
70	69	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = Z ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) )
71	63, 70	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = Z ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) )
72	13, 58, 3, 71	fprodsplit1 39825	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) ) )
73	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> C e. RR )
74	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> X e. Fin )
75	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> B : X --> RR )
76	52, 73, 74, 75, 18	hsphoival 40793	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) = if ( k e. Y , ( B ` k ) , if ( ( B ` k ) <_ C , ( B ` k ) , C ) ) )
77		hsphoidmvle.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = ( Y u. { Z } )
78	17, 77	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( X \ { Z } ) -> k e. ( Y u. { Z } ) )
79		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( X \ { Z } ) -> -. k e. { Z } )
80		elunnel2 39198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( Y u. { Z } ) /\ -. k e. { Z } ) -> k e. Y )
81	78, 79, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( X \ { Z } ) -> k e. Y )
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> k e. Y )
83	82	iftrued 4094	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> if ( k e. Y , ( B ` k ) , if ( ( B ` k ) <_ C , ( B ` k ) , C ) ) = ( B ` k ) )
84	76, 83	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) = ( B ` k ) )
85	84	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
86	85	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
87	86	prodeq2dv 14653	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
88	87	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
89	54, 72, 88	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( H ` C ) ` B ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
90	49, 1, 5, 13	hoidmvval 40791	. . . 4 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = if ( X = (/) , 0 , prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
91	51	neneqd 2799	. . . . 5 |- ( ph -> -. X = (/) )
92	91	iffalsed 4097	. . . 4 |- ( ph -> if ( X = (/) , 0 , prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
93	22	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. CC )
94		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = Z -> ( B ` k ) = ( B ` Z ) )
95	59, 94	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = Z -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) )
96	95	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( k = Z -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
97	96	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = Z ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
98	13, 93, 3, 97	fprodsplit1 39825	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
99	90, 92, 98	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
100	89, 99	breq12d 4666	. 2 |- ( ph -> ( ( A ( L ` X ) ( ( H ` C ) ` B ) ) <_ ( A ( L ` X ) B ) <-> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) <_ ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) ) )
101	48, 100	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( H ` C ) ` B ) ) <_ ( A ( L ` X ) B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   [,)cico 12177   prod_cprod 14635   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  sge0hsphoire  40803  hoidmvlelem1  40809  hoidmvlelem4  40812  hspmbllem2  40841