Theorem hspmbllem1 40840

Description: Any half-space of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. This is Step (a) of Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hspmbllem1.x	|- ( ph -> X e. Fin )
hspmbllem1.k	|- ( ph -> K e. X )
hspmbllem1.y	|- ( ph -> Y e. RR )
hspmbllem1.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
hspmbllem1.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
hspmbllem1.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
hspmbllem1.t	|- T = ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) )
hspmbllem1.s	|- S = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h = K , if ( x <_ ( c ` h ) , ( c ` h ) , x ) , ( c ` h ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
hspmbllem1	|- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = ( ( A ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` B ) ) +e ( ( ( S ` Y ) ` A ) ( L ` X ) B ) ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, a, b, k   A, c, h, k   B, a, b, k   B, c, h   K, c, h, k, x   y, K, c, h, k   S, a, b, k   T, a, b, k   X, a, b, k, x   X, c, h, y   Y, a, b, k, x   Y, c, h, y   ph, a, b, k, x   ph, c, h, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   S( x, y, h, c)   T( x, y, h, c)   K( a, b)   L( x, y, h, k, a, b, c)

Proof of Theorem hspmbllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 12280	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
2		hspmbllem1.l	. . . . 5 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
3		hspmbllem1.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
4		hspmbllem1.a	. . . . 5 |- ( ph -> A : X --> RR )
5		hspmbllem1.t	. . . . . 6 |- T = ( y e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h e. ( X \ { K } ) , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ y , ( c ` h ) , y ) ) ) ) )
6		hspmbllem1.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. RR )
7		hspmbllem1.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B : X --> RR )
8	5, 6, 3, 7	hsphoif 40790	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T ` Y ) ` B ) : X --> RR )
9	2, 3, 4, 8	hoidmvcl 40796	. . . 4 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
10	1, 9	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` B ) ) e. RR )
11		hspmbllem1.s	. . . . . 6 |- S = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h = K , if ( x <_ ( c ` h ) , ( c ` h ) , x ) , ( c ` h ) ) ) ) )
12	11, 6, 3, 4	hoidifhspf 40832	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S ` Y ) ` A ) : X --> RR )
13	2, 3, 12, 7	hoidmvcl 40796	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S ` Y ) ` A ) ( L ` X ) B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
14	1, 13	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( S ` Y ) ` A ) ( L ` X ) B ) e. RR )
15	10, 14	rexaddd 12065	. 2 |- ( ph -> ( ( A ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` B ) ) +e ( ( ( S ` Y ) ` A ) ( L ` X ) B ) ) = ( ( A ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` B ) ) + ( ( ( S ` Y ) ` A ) ( L ` X ) B ) ) )
16		hspmbllem1.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. X )
17		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( K e. X -> X =/= (/) )
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> X =/= (/) )
19	2, 3, 18, 4, 8	hoidmvn0val 40798	. . . 4 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` B ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) ) )
20	2, 3, 18, 12, 7	hoidmvn0val 40798	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S ` Y ) ` A ) ( L ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
21	19, 20	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( ( A ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` B ) ) + ( ( ( S ` Y ) ` A ) ( L ` X ) B ) ) = ( prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) ) + prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
22		uncom 3757	. . . . . . . . 9 |- ( ( X \ { K } ) u. { K } ) = ( { K } u. ( X \ { K } ) )
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X \ { K } ) u. { K } ) = ( { K } u. ( X \ { K } ) ) )
24	16	snssd 4340	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { K } C_ X )
25		undif 4049	. . . . . . . . 9 |- ( { K } C_ X <-> ( { K } u. ( X \ { K } ) ) = X )
26	24, 25	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { K } u. ( X \ { K } ) ) = X )
27	23, 26	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X \ { K } ) u. { K } ) = X )
28	27	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> X = ( ( X \ { K } ) u. { K } ) )
29	28	prodeq1d 14651	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) ) = prod_ k e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) ) )
30		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ k ph
31		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ k ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) )
32		difssd 3738	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X \ { K } ) C_ X )
33	3, 32	ssfid 8183	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X \ { K } ) e. Fin )
34		neldifsnd 4322	. . . . . 6 |- ( ph -> -. K e. ( X \ { K } ) )
35	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> A : X --> RR )
36	32	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> k e. X )
37	35, 36	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( A ` k ) e. RR )
38	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> Y e. RR )
39	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> X e. Fin )
40	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> B : X --> RR )
41	5, 38, 39, 40	hsphoif 40790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( ( T ` Y ) ` B ) : X --> RR )
42	41, 36	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) e. RR )
43		volicore 40795	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) ) e. RR )
44	37, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) ) e. RR )
45	44	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) ) e. CC )
46		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( A ` k ) = ( A ` K ) )
47		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) = ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) )
48	46, 47	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) = ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) )
49	48	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) )
50	4, 16	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ` K ) e. RR )
51	8, 16	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) e. RR )
52		volicore 40795	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ` K ) e. RR /\ ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) e. RR )
53	50, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) e. RR )
54	53	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) e. CC )
55	30, 31, 33, 16, 34, 45, 49, 54	fprodsplitsn 14720	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) ) = ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) ) )
56	5, 38, 39, 40, 36	hsphoival 40793	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) = if ( k e. ( X \ { K } ) , ( B ` k ) , if ( ( B ` k ) <_ Y , ( B ` k ) , Y ) ) )
57		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( X \ { K } ) -> if ( k e. ( X \ { K } ) , ( B ` k ) , if ( ( B ` k ) <_ Y , ( B ` k ) , Y ) ) = ( B ` k ) )
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> if ( k e. ( X \ { K } ) , ( B ` k ) , if ( ( B ` k ) <_ Y , ( B ` k ) , Y ) ) = ( B ` k ) )
59	56, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) = ( B ` k ) )
60	59	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
61	60	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
62	61	prodeq2dv 14653	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) ) = prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
63	62	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) ) = ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) ) )
64	29, 55, 63	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) ) = ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) ) )
65	28	prodeq1d 14651	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
66		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ k ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) )
67	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( ( S ` Y ) ` A ) : X --> RR )
68	67, 36	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) e. RR )
69	59, 42	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( B ` k ) e. RR )
70		volicore 40795	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
71	68, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
72	71	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. CC )
73		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) = ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) )
74		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( B ` k ) = ( B ` K ) )
75	73, 74	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) = ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) )
76	75	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
77	12, 16	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) e. RR )
78	7, 16	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ` K ) e. RR )
79		volicore 40795	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) e. RR /\ ( B ` K ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) e. RR )
80	77, 78, 79	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) e. RR )
81	80	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) e. CC )
82	30, 66, 33, 16, 34, 72, 76, 81	fprodsplitsn 14720	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) )
83	11, 38, 39, 35, 36	hoidifhspval3 40833	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) = if ( k = K , if ( Y <_ ( A ` k ) , ( A ` k ) , Y ) , ( A ` k ) ) )
84		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( X \ { K } ) -> k =/= K )
85		neneq 2800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k =/= K -> -. k = K )
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( X \ { K } ) -> -. k = K )
87	86	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( X \ { K } ) -> if ( k = K , if ( Y <_ ( A ` k ) , ( A ` k ) , Y ) , ( A ` k ) ) = ( A ` k ) )
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> if ( k = K , if ( Y <_ ( A ` k ) , ( A ` k ) , Y ) , ( A ` k ) ) = ( A ` k ) )
89	83, 88	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) = ( A ` k ) )
90	89	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
91	90	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
92	91	prodeq2dv 14653	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
93	92	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) )
94	65, 82, 93	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) )
95	64, 94	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` k ) ) ) + prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) = ( ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) ) + ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) ) )
96	28	prodeq1d 14651	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
97		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ k ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) )
98	61, 45	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { K } ) ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. CC )
99	46, 74	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) )
100	99	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
101		volicore 40795	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ` K ) e. RR /\ ( B ` K ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) e. RR )
102	50, 78, 101	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) e. RR )
103	102	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) e. CC )
104	30, 97, 33, 16, 34, 98, 100, 103	fprodsplitsn 14720	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( X \ { K } ) u. { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) )
105	96, 104	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) )
106	5, 6, 3, 7, 16	hsphoival 40793	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) = if ( K e. ( X \ { K } ) , ( B ` K ) , if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) )
107	34	iffalsed 4097	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( K e. ( X \ { K } ) , ( B ` K ) , if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) = if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) )
108	106, 107	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) = if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) )
109	108	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) = ( ( A ` K ) [,) if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) )
110	109	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) ) )
111	11, 6, 3, 4, 16	hoidifhspval3 40833	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) = if ( K = K , if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) , ( A ` K ) ) )
112		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- K = K
113	112	iftruei 4093	. . . . . . . . . . 11 |- if ( K = K , if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) , ( A ` K ) ) = if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y )
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( K = K , if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) , ( A ` K ) ) = if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) )
115	111, 114	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) = if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) )
116	115	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) = ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) )
117	116	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) = ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) )
118	110, 117	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) + ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) )
119		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B ` K ) <_ Y -> if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) = ( B ` K ) )
120	119	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B ` K ) <_ Y -> ( ( A ` K ) [,) if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) = ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) )
121	120	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B ` K ) <_ Y -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
122	121	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( B ` K ) <_ Y -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) )
123	122	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) )
124		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y <_ ( A ` K ) -> if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) = ( A ` K ) )
125	124	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y <_ ( A ` K ) -> ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) = ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) )
126	125	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) = ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) )
127	78	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( B ` K ) e. RR )
128	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> Y e. RR )
129	50	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( A ` K ) e. RR )
130		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( B ` K ) <_ Y )
131		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> Y <_ ( A ` K ) )
132	127, 128, 129, 130, 131	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( B ` K ) <_ ( A ` K ) )
133	129	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( A ` K ) e. RR* )
134	127	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( B ` K ) e. RR* )
135		ico0 12221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A ` K ) e. RR* /\ ( B ` K ) e. RR* ) -> ( ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) = (/) <-> ( B ` K ) <_ ( A ` K ) ) )
136	133, 134, 135	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) = (/) <-> ( B ` K ) <_ ( A ` K ) ) )
137	132, 136	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) = (/) )
138	126, 137	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) = (/) )
139		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. Y <_ ( A ` K ) -> if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) = Y )
140	139	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. Y <_ ( A ` K ) -> ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) = ( Y [,) ( B ` K ) ) )
141	140	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) /\ -. Y <_ ( A ` K ) ) -> ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) = ( Y [,) ( B ` K ) ) )
142		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) -> ( B ` K ) <_ Y )
143	6	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Y e. RR* )
144	143	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) -> Y e. RR* )
145	78	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B ` K ) e. RR* )
146	145	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) -> ( B ` K ) e. RR* )
147		ico0 12221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Y e. RR* /\ ( B ` K ) e. RR* ) -> ( ( Y [,) ( B ` K ) ) = (/) <-> ( B ` K ) <_ Y ) )
148	144, 146, 147	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) -> ( ( Y [,) ( B ` K ) ) = (/) <-> ( B ` K ) <_ Y ) )
149	142, 148	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) -> ( Y [,) ( B ` K ) ) = (/) )
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) /\ -. Y <_ ( A ` K ) ) -> ( Y [,) ( B ` K ) ) = (/) )
151	141, 150	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) /\ -. Y <_ ( A ` K ) ) -> ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) = (/) )
152	138, 151	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) -> ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) = (/) )
153	152	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) -> ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) = ( vol ` (/) ) )
154		vol0 40175	. . . . . . . . . . 11 |- ( vol ` (/) ) = 0
155	154	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) -> ( vol ` (/) ) = 0 )
156	153, 155	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) -> ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) = 0 )
157	156	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) + 0 ) )
158	103	addid1d 10236	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) + 0 ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
159	158	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) + 0 ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
160	123, 157, 159	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B ` K ) <_ Y ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
161		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( B ` K ) <_ Y -> if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) = Y )
162	161	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( B ` K ) <_ Y -> ( ( A ` K ) [,) if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) = ( ( A ` K ) [,) Y ) )
163	162	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( B ` K ) <_ Y -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) )
164	163	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( B ` K ) <_ Y ) -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) )
165	164	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( B ` K ) <_ Y ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) )
166		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( B ` K ) <_ Y ) -> ph )
167		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( B ` K ) <_ Y ) -> -. ( B ` K ) <_ Y )
168	166, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. ( B ` K ) <_ Y ) -> Y e. RR )
169	166, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. ( B ` K ) <_ Y ) -> ( B ` K ) e. RR )
170	168, 169	ltnled 10184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( B ` K ) <_ Y ) -> ( Y < ( B ` K ) <-> -. ( B ` K ) <_ Y ) )
171	167, 170	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( B ` K ) <_ Y ) -> Y < ( B ` K ) )
172	125	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y <_ ( A ` K ) -> ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
173	172	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y <_ ( A ` K ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) )
174	173	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) )
175		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> Y <_ ( A ` K ) )
176	50	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A ` K ) e. RR* )
177	176	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( A ` K ) e. RR* )
178	143	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> Y e. RR* )
179		ico0 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A ` K ) e. RR* /\ Y e. RR* ) -> ( ( ( A ` K ) [,) Y ) = (/) <-> Y <_ ( A ` K ) ) )
180	177, 178, 179	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( ( ( A ` K ) [,) Y ) = (/) <-> Y <_ ( A ` K ) ) )
181	175, 180	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( ( A ` K ) [,) Y ) = (/) )
182	181	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) = ( vol ` (/) ) )
183	154	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( vol ` (/) ) = 0 )
184	182, 183	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) = 0 )
185	184	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( 0 + ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) )
186	185	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( 0 + ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) )
187	103	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 + ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
188	187	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( 0 + ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
189	174, 186, 188	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ Y <_ ( A ` K ) ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
190	140	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. Y <_ ( A ` K ) -> ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) = ( vol ` ( Y [,) ( B ` K ) ) ) )
191	190	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. Y <_ ( A ` K ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( Y [,) ( B ` K ) ) ) ) )
192	191	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ -. Y <_ ( A ` K ) ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( Y [,) ( B ` K ) ) ) ) )
193		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ -. Y <_ ( A ` K ) ) -> ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) )
194		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. Y <_ ( A ` K ) ) -> -. Y <_ ( A ` K ) )
195	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. Y <_ ( A ` K ) ) -> ( A ` K ) e. RR )
196	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. Y <_ ( A ` K ) ) -> Y e. RR )
197	195, 196	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. Y <_ ( A ` K ) ) -> ( ( A ` K ) < Y <-> -. Y <_ ( A ` K ) ) )
198	194, 197	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. Y <_ ( A ` K ) ) -> ( A ` K ) < Y )
199	198	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ -. Y <_ ( A ` K ) ) -> ( A ` K ) < Y )
200	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( A ` K ) < Y ) -> ( A ` K ) e. RR )
201	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( A ` K ) < Y ) -> Y e. RR )
202		volico 40200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A ` K ) e. RR /\ Y e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) = if ( ( A ` K ) < Y , ( Y - ( A ` K ) ) , 0 ) )
203	200, 201, 202	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( A ` K ) < Y ) -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) = if ( ( A ` K ) < Y , ( Y - ( A ` K ) ) , 0 ) )
204		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A ` K ) < Y -> if ( ( A ` K ) < Y , ( Y - ( A ` K ) ) , 0 ) = ( Y - ( A ` K ) ) )
205	204	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( A ` K ) < Y ) -> if ( ( A ` K ) < Y , ( Y - ( A ` K ) ) , 0 ) = ( Y - ( A ` K ) ) )
206	203, 205	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( A ` K ) < Y ) -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) = ( Y - ( A ` K ) ) )
207	206	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ ( A ` K ) < Y ) -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) = ( Y - ( A ` K ) ) )
208	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) -> Y e. RR )
209	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) -> ( B ` K ) e. RR )
210		volico 40200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Y e. RR /\ ( B ` K ) e. RR ) -> ( vol ` ( Y [,) ( B ` K ) ) ) = if ( Y < ( B ` K ) , ( ( B ` K ) - Y ) , 0 ) )
211	208, 209, 210	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) -> ( vol ` ( Y [,) ( B ` K ) ) ) = if ( Y < ( B ` K ) , ( ( B ` K ) - Y ) , 0 ) )
212		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Y < ( B ` K ) -> if ( Y < ( B ` K ) , ( ( B ` K ) - Y ) , 0 ) = ( ( B ` K ) - Y ) )
213	212	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) -> if ( Y < ( B ` K ) , ( ( B ` K ) - Y ) , 0 ) = ( ( B ` K ) - Y ) )
214	211, 213	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) -> ( vol ` ( Y [,) ( B ` K ) ) ) = ( ( B ` K ) - Y ) )
215	214	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ ( A ` K ) < Y ) -> ( vol ` ( Y [,) ( B ` K ) ) ) = ( ( B ` K ) - Y ) )
216	207, 215	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ ( A ` K ) < Y ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( Y [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( ( Y - ( A ` K ) ) + ( ( B ` K ) - Y ) ) )
217	193, 199, 216	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ -. Y <_ ( A ` K ) ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( Y [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( ( Y - ( A ` K ) ) + ( ( B ` K ) - Y ) ) )
218	200	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ ( A ` K ) < Y ) -> ( A ` K ) e. RR )
219	208	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ ( A ` K ) < Y ) -> Y e. RR )
220	209	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ ( A ` K ) < Y ) -> ( B ` K ) e. RR )
221		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ ( A ` K ) < Y ) -> ( A ` K ) < Y )
222		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ ( A ` K ) < Y ) -> Y < ( B ` K ) )
223	218, 219, 220, 221, 222	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ ( A ` K ) < Y ) -> ( A ` K ) < ( B ` K ) )
224	223	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ ( A ` K ) < Y ) -> if ( ( A ` K ) < ( B ` K ) , ( ( B ` K ) - ( A ` K ) ) , 0 ) = ( ( B ` K ) - ( A ` K ) ) )
225	224	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ ( A ` K ) < Y ) -> ( ( B ` K ) - ( A ` K ) ) = if ( ( A ` K ) < ( B ` K ) , ( ( B ` K ) - ( A ` K ) ) , 0 ) )
226	6, 50	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Y - ( A ` K ) ) e. RR )
227	226	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Y - ( A ` K ) ) e. CC )
228	78, 6	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( B ` K ) - Y ) e. RR )
229	228	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( B ` K ) - Y ) e. CC )
230	227, 229	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( Y - ( A ` K ) ) + ( ( B ` K ) - Y ) ) = ( ( ( B ` K ) - Y ) + ( Y - ( A ` K ) ) ) )
231	78	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B ` K ) e. CC )
232	6	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Y e. CC )
233	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A ` K ) e. CC )
234	231, 232, 233	npncand 10416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( B ` K ) - Y ) + ( Y - ( A ` K ) ) ) = ( ( B ` K ) - ( A ` K ) ) )
235	230, 234	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Y - ( A ` K ) ) + ( ( B ` K ) - Y ) ) = ( ( B ` K ) - ( A ` K ) ) )
236	235	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ ( A ` K ) < Y ) -> ( ( Y - ( A ` K ) ) + ( ( B ` K ) - Y ) ) = ( ( B ` K ) - ( A ` K ) ) )
237		volico 40200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A ` K ) e. RR /\ ( B ` K ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) = if ( ( A ` K ) < ( B ` K ) , ( ( B ` K ) - ( A ` K ) ) , 0 ) )
238	218, 220, 237	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ ( A ` K ) < Y ) -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) = if ( ( A ` K ) < ( B ` K ) , ( ( B ` K ) - ( A ` K ) ) , 0 ) )
239	225, 236, 238	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ ( A ` K ) < Y ) -> ( ( Y - ( A ` K ) ) + ( ( B ` K ) - Y ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
240	193, 199, 239	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ -. Y <_ ( A ` K ) ) -> ( ( Y - ( A ` K ) ) + ( ( B ` K ) - Y ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
241	192, 217, 240	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) /\ -. Y <_ ( A ` K ) ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
242	189, 241	pm2.61dan 832	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y < ( B ` K ) ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
243	166, 171, 242	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( B ` K ) <_ Y ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) Y ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
244	165, 243	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( B ` K ) <_ Y ) -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
245	160, 244	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) if ( ( B ` K ) <_ Y , ( B ` K ) , Y ) ) ) + ( vol ` ( if ( Y <_ ( A ` K ) , ( A ` K ) , Y ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) )
246	118, 245	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) + ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) )
247	246	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) = ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) + ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) ) )
248	33, 98	fprodcl 14682	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. CC )
249	248, 54, 81	adddid 10064	. . . 4 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) + ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) ) = ( ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) ) + ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) ) )
250	105, 247, 249	3eqtrrd 2661	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( A ` K ) [,) ( ( ( T ` Y ) ` B ) ` K ) ) ) ) + ( prod_ k e. ( X \ { K } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( ( ( S ` Y ) ` A ) ` K ) [,) ( B ` K ) ) ) ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
251	21, 95, 250	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> ( ( A ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` B ) ) + ( ( ( S ` Y ) ` A ) ( L ` X ) B ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
252	2, 3, 18, 4, 7	hoidmvn0val 40798	. . 3 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
253	252	eqcomd 2628	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( A ( L ` X ) B ) )
254	15, 251, 253	3eqtrrd 2661	1 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = ( ( A ( L ` X ) ( ( T ` Y ) ` B ) ) +e ( ( ( S ` Y ) ` A ) ( L ` X ) B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   +ecxad 11944   [,)cico 12177   prod_cprod 14635   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  hspmbllem2  40841