Theorem hoidmvlelem4 40812

Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval is less than or equal the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. Induction step of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29, case nonempty interval and dimension of the space greater than 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvlelem4.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
hoidmvlelem4.x	|- ( ph -> X e. Fin )
hoidmvlelem4.y	|- ( ph -> Y C_ X )
hoidmvlelem4.n	|- ( ph -> Y =/= (/) )
hoidmvlelem4.z	|- ( ph -> Z e. ( X \ Y ) )
hoidmvlelem4.w	|- W = ( Y u. { Z } )
hoidmvlelem4.a	|- ( ph -> A : W --> RR )
hoidmvlelem4.b	|- ( ph -> B : W --> RR )
hoidmvlelem4.k	|- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( A ` k ) < ( B ` k ) )
hoidmvlelem4.c	|- ( ph -> C : NN --> ( RR ^m W ) )
hoidmvlelem4.d	|- ( ph -> D : NN --> ( RR ^m W ) )
hoidmvlelem4.r	|- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR )
hoidmvlelem4.h	|- H = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) )
hoidmvlelem4.14	|- G = ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) )
hoidmvlelem4.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
hoidmvlelem4.u	|- U = { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) }
hoidmvlelem4.s	|- S = sup ( U , RR , < )
hoidmvlelem4.i	|- ( ph -> A. e e. ( RR ^m Y ) A. f e. ( RR ^m Y ) A. g e. ( ( RR ^m Y ) ^m NN ) A. h e. ( ( RR ^m Y ) ^m NN ) ( X_ k e. Y ( ( e ` k ) [,) ( f ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. Y ( ( ( g ` j ) ` k ) [,) ( ( h ` j ) ` k ) ) -> ( e ( L ` Y ) f ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( g ` j ) ( L ` Y ) ( h ` j ) ) ) ) ) )
hoidmvlelem4.i2	|- ( ph -> X_ k e. W ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. W ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
hoidmvlelem4	|- ( ph -> ( A ( L ` W ) B ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, a, b, h, j, k, x   A, c, h, j, k, x   A, e, f, g, h, j, k   z, A, h, j   B, a, b, h, j, k, x   B, c   B, f, g   z, B   C, a, b, h, j, k, x   C, c   C, g   z, C   D, a, b, h, j, k, x   D, c   D, g   z, D   E, a, b, h, k, x   E, c   z, E   G, a, b, h, k, x   G, c   z, G   H, a, b, j, k   H, c   z, H   L, a, b, h, j, k, x   L, c   e, L, f, g   z, L   S, a, b, h, j, k, x   S, c   S, g   z, S   U, a, b, j, k, x   U, c   z, U   W, a, b, h, j, k, x   W, c   z, W   Y, a, b, h, j, k, x   Y, c   e, Y, f, g   Z, a, b, h, j, k, x   Z, c   g, Z   z, Z   ph, a, b, h, j, k, x   ph, c

Allowed substitution hints:   ph( z, e, f, g)   B( e)   C( e, f)   D( e, f)   S( e, f)   U( e, f, g, h)   E( e, f, g, j)   G( e, f, g, j)   H( x, e, f, g, h)   W( e, f, g)   X( x, z, e, f, g, h, j, k, a, b, c)   Y( z)   Z( e, f)

Proof of Theorem hoidmvlelem4

Dummy variables y u i l w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 12280	. . 3 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
2		hoidmvlelem4.l	. . . 4 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
3		hoidmvlelem4.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
4		hoidmvlelem4.w	. . . . . 6 |- W = ( Y u. { Z } )
5		hoidmvlelem4.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y C_ X )
6		hoidmvlelem4.z	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. ( X \ Y ) )
7	6	eldifad 3586	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. X )
8		snssi 4339	. . . . . . . 8 |- ( Z e. X -> { Z } C_ X )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> { Z } C_ X )
10	5, 9	unssd 3789	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y u. { Z } ) C_ X )
11	4, 10	syl5eqss 3649	. . . . 5 |- ( ph -> W C_ X )
12		ssfi 8180	. . . . 5 |- ( ( X e. Fin /\ W C_ X ) -> W e. Fin )
13	3, 11, 12	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> W e. Fin )
14		hoidmvlelem4.a	. . . 4 |- ( ph -> A : W --> RR )
15		hoidmvlelem4.b	. . . 4 |- ( ph -> B : W --> RR )
16	2, 13, 14, 15	hoidmvcl 40796	. . 3 |- ( ph -> ( A ( L ` W ) B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
17	1, 16	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> ( A ( L ` W ) B ) e. RR )
18		1red 10055	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
19		hoidmvlelem4.e	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
20	19	rpred 11872	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR )
21	18, 20	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( 1 + E ) e. RR )
22		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ j ph
23		nnex 11026	. . . . . 6 |- NN e. _V
24	23	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> NN e. _V )
25		icossicc 12260	. . . . . 6 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
26	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> W e. Fin )
27		hoidmvlelem4.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C : NN --> ( RR ^m W ) )
28	27	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. ( RR ^m W ) )
29		elmapi 7879	. . . . . . . 8 |- ( ( C ` j ) e. ( RR ^m W ) -> ( C ` j ) : W --> RR )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) : W --> RR )
31		hoidmvlelem4.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) )
32		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = h -> ( j e. Y <-> h e. Y ) )
33		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = h -> ( c ` j ) = ( c ` h ) )
34	33	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = h -> ( ( c ` j ) <_ x <-> ( c ` h ) <_ x ) )
35	34, 33	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = h -> if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) = if ( ( c ` h ) <_ x , ( c ` h ) , x ) )
36	32, 33, 35	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = h -> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) = if ( h e. Y , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ x , ( c ` h ) , x ) ) )
37	36	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) = ( h e. W |-> if ( h e. Y , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ x , ( c ` h ) , x ) ) )
38	37	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( h e. W |-> if ( h e. Y , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ x , ( c ` h ) , x ) ) ) )
39	38	mpteq2i 4741	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) ) = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( h e. W |-> if ( h e. Y , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ x , ( c ` h ) , x ) ) ) ) )
40	31, 39	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- H = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( h e. W |-> if ( h e. Y , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ x , ( c ` h ) , x ) ) ) ) )
41		snidg 4206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z e. ( X \ Y ) -> Z e. { Z } )
42	6, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Z e. { Z } )
43		elun2 3781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z e. { Z } -> Z e. ( Y u. { Z } ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Z e. ( Y u. { Z } ) )
45	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W = ( Y u. { Z } ) )
46	45	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y u. { Z } ) = W )
47	44, 46	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. W )
48	15, 47	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ` Z ) e. RR )
49	48	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( B ` Z ) e. RR )
50		hoidmvlelem4.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D : NN --> ( RR ^m W ) )
51	50	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. ( RR ^m W ) )
52		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( ( D ` j ) e. ( RR ^m W ) -> ( D ` j ) : W --> RR )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) : W --> RR )
54	40, 49, 26, 53	hsphoif 40790	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) : W --> RR )
55	2, 26, 30, 54	hoidmvcl 40796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
56	25, 55	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
57	22, 24, 56	sge0clmpt 40642	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
58	22, 24, 56	sge0xrclmpt 40645	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR* )
59		pnfxr 10092	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
60	59	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> +oo e. RR* )
61		hoidmvlelem4.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR )
62	61	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR* )
63	2, 26, 30, 53	hoidmvcl 40796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
64	25, 63	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
65	6	eldifbd 3587	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. Z e. Y )
66	47, 65	eldifd 3585	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. ( W \ Y ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Z e. ( W \ Y ) )
68	2, 26, 67, 4, 49, 40, 30, 53	hsphoidmvle 40800	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) )
69	22, 24, 56, 64, 68	sge0lempt 40627	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )
70	61	ltpnfd 11955	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) < +oo )
71	58, 62, 60, 69, 70	xrlelttrd 11991	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) < +oo )
72	58, 60, 71	xrltned 39573	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) =/= +oo )
73		ge0xrre 39758	. . . 4 |- ( ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) =/= +oo ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
74	57, 72, 73	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
75	21, 74	remulcld 10070	. 2 |- ( ph -> ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) e. RR )
76	21, 61	remulcld 10070	. 2 |- ( ph -> ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
77		hoidmvlelem4.14	. . . . . . 7 |- G = ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) )
78		hoidmvlelem4.u	. . . . . . 7 |- U = { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) }
79		hoidmvlelem4.s	. . . . . . 7 |- S = sup ( U , RR , < )
80	47	ancli 574	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ph /\ Z e. W ) )
81		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = Z -> ( k e. W <-> Z e. W ) )
82	81	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( k = Z -> ( ( ph /\ k e. W ) <-> ( ph /\ Z e. W ) ) )
83		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = Z -> ( A ` k ) = ( A ` Z ) )
84		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = Z -> ( B ` k ) = ( B ` Z ) )
85	83, 84	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( k = Z -> ( ( A ` k ) < ( B ` k ) <-> ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) )
86	82, 85	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( k = Z -> ( ( ( ph /\ k e. W ) -> ( A ` k ) < ( B ` k ) ) <-> ( ( ph /\ Z e. W ) -> ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) ) )
87		hoidmvlelem4.k	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( A ` k ) < ( B ` k ) )
88	86, 87	vtoclg 3266	. . . . . . . 8 |- ( Z e. W -> ( ( ph /\ Z e. W ) -> ( A ` Z ) < ( B ` Z ) ) )
89	47, 80, 88	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` Z ) < ( B ` Z ) )
90	2, 3, 5, 6, 4, 14, 15, 27, 50, 61, 31, 77, 19, 78, 79, 89	hoidmvlelem1 40809	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. U )
91	48	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ` Z ) e. RR* )
92		iccssxr 12256	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) C_ RR*
93		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } C_ ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) )
94	78, 93	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 |- U C_ ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) )
95	94, 90	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) )
96	92, 95	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. RR* )
97		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ S ) -> ph )
98		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ S ) -> -. ( B ` Z ) <_ S )
99	14, 47	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. RR )
100	99, 48	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) C_ RR )
101	100, 95	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. RR )
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ S ) -> S e. RR )
103	97, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ S ) -> ( B ` Z ) e. RR )
104	102, 103	ltnled 10184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ S ) -> ( S < ( B ` Z ) <-> -. ( B ` Z ) <_ S ) )
105	98, 104	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ S ) -> S < ( B ` Z ) )
106	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) -> X e. Fin )
107	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) -> Y C_ X )
108	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) -> Z e. ( X \ Y ) )
109	14	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) -> A : W --> RR )
110	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) -> B : W --> RR )
111	87	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) /\ k e. W ) -> ( A ` k ) < ( B ` k ) )
112		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Y |-> 0 ) = ( y e. Y |-> 0 )
113	27	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) -> C : NN --> ( RR ^m W ) )
114		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = j -> ( C ` i ) = ( C ` j ) )
115	114	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = j -> ( ( C ` i ) ` Z ) = ( ( C ` j ) ` Z ) )
116		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = j -> ( D ` i ) = ( D ` j ) )
117	116	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = j -> ( ( D ` i ) ` Z ) = ( ( D ` j ) ` Z ) )
118	115, 117	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = j -> ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) )
119	118	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) <-> S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) )
120	114	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( ( C ` i ) |` Y ) = ( ( C ` j ) |` Y ) )
121	119, 120	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( C ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) = if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) )
122	121	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( C ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) ) = ( j e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) )
123	50	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) -> D : NN --> ( RR ^m W ) )
124	116	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( ( D ` i ) |` Y ) = ( ( D ` j ) |` Y ) )
125	119, 124	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( D ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) = if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) )
126	125	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( D ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) ) = ( j e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) )
127	61	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR )
128	19	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) -> E e. RR+ )
129	90	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) -> S e. U )
130		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) -> S < ( B ` Z ) )
131		biid 251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) <-> S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) )
132		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = y -> 0 = 0 )
133	132	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. Y |-> 0 ) = ( y e. Y |-> 0 )
134	131, 133	ifbieq2i 4110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( C ` i ) |` Y ) , ( w e. Y |-> 0 ) ) = if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( C ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) )
135	134	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( C ` i ) |` Y ) , ( w e. Y |-> 0 ) ) ) = ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( C ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) )
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = j -> ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( C ` i ) |` Y ) , ( w e. Y |-> 0 ) ) ) = ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( C ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) ) )
137		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = j -> l = j )
138	136, 137	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = j -> ( ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( C ` i ) |` Y ) , ( w e. Y |-> 0 ) ) ) ` l ) = ( ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( C ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) ) ` j ) )
139	131, 133	ifbieq2i 4110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( D ` i ) |` Y ) , ( w e. Y |-> 0 ) ) = if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( D ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) )
140	139	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( D ` i ) |` Y ) , ( w e. Y |-> 0 ) ) ) = ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( D ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) )
141	140	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = j -> ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( D ` i ) |` Y ) , ( w e. Y |-> 0 ) ) ) = ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( D ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) ) )
142	141, 137	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = j -> ( ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( D ` i ) |` Y ) , ( w e. Y |-> 0 ) ) ) ` l ) = ( ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( D ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) ) ` j ) )
143	138, 142	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = j -> ( ( ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( C ` i ) |` Y ) , ( w e. Y |-> 0 ) ) ) ` l ) ( L ` Y ) ( ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( D ` i ) |` Y ) , ( w e. Y |-> 0 ) ) ) ` l ) ) = ( ( ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( C ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) ) ` j ) ( L ` Y ) ( ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( D ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) ) ` j ) ) )
144	143	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( l e. NN |-> ( ( ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( C ` i ) |` Y ) , ( w e. Y |-> 0 ) ) ) ` l ) ( L ` Y ) ( ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( D ` i ) |` Y ) , ( w e. Y |-> 0 ) ) ) ` l ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( C ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) ) ` j ) ( L ` Y ) ( ( i e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) , ( ( D ` i ) |` Y ) , ( y e. Y |-> 0 ) ) ) ` j ) ) )
145		hoidmvlelem4.i	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. e e. ( RR ^m Y ) A. f e. ( RR ^m Y ) A. g e. ( ( RR ^m Y ) ^m NN ) A. h e. ( ( RR ^m Y ) ^m NN ) ( X_ k e. Y ( ( e ` k ) [,) ( f ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. Y ( ( ( g ` j ) ` k ) [,) ( ( h ` j ) ` k ) ) -> ( e ( L ` Y ) f ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( g ` j ) ( L ` Y ) ( h ` j ) ) ) ) ) )
146	145	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) -> A. e e. ( RR ^m Y ) A. f e. ( RR ^m Y ) A. g e. ( ( RR ^m Y ) ^m NN ) A. h e. ( ( RR ^m Y ) ^m NN ) ( X_ k e. Y ( ( e ` k ) [,) ( f ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. Y ( ( ( g ` j ) ` k ) [,) ( ( h ` j ) ` k ) ) -> ( e ( L ` Y ) f ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( g ` j ) ( L ` Y ) ( h ` j ) ) ) ) ) )
147		hoidmvlelem4.i2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X_ k e. W ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. W ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) -> X_ k e. W ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ U_ j e. NN X_ k e. W ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
149		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X_ y e. Y ( ( A ` y ) [,) ( B ` y ) ) |-> ( y e. W |-> if ( y e. Y , ( x ` y ) , S ) ) ) = ( x e. X_ y e. Y ( ( A ` y ) [,) ( B ` y ) ) |-> ( y e. W |-> if ( y e. Y , ( x ` y ) , S ) ) )
150		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = k -> ( A ` y ) = ( A ` k ) )
151		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = k -> ( B ` y ) = ( B ` k ) )
152	150, 151	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = k -> ( ( A ` y ) [,) ( B ` y ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
153	152	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . . . . 13 |- X_ y e. Y ( ( A ` y ) [,) ( B ` y ) ) = X_ k e. Y ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) )
154		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = k -> ( y e. Y <-> k e. Y ) )
155		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = k -> ( x ` y ) = ( x ` k ) )
156	154, 155	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = k -> if ( y e. Y , ( x ` y ) , S ) = if ( k e. Y , ( x ` k ) , S ) )
157	156	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. W |-> if ( y e. Y , ( x ` y ) , S ) ) = ( k e. W |-> if ( k e. Y , ( x ` k ) , S ) )
158	153, 157	mpteq12i 4742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X_ y e. Y ( ( A ` y ) [,) ( B ` y ) ) |-> ( y e. W |-> if ( y e. Y , ( x ` y ) , S ) ) ) = ( x e. X_ k e. Y ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) |-> ( k e. W |-> if ( k e. Y , ( x ` k ) , S ) ) )
159	149, 158	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. X_ y e. Y ( ( A ` y ) [,) ( B ` y ) ) |-> ( y e. W |-> if ( y e. Y , ( x ` y ) , S ) ) ) = ( x e. X_ k e. Y ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) |-> ( k e. W |-> if ( k e. Y , ( x ` k ) , S ) ) )
160	2, 106, 107, 108, 4, 109, 110, 111, 112, 113, 122, 123, 126, 127, 31, 77, 128, 78, 129, 130, 144, 146, 148, 159	hoidmvlelem3 40811	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) -> E. u e. U S < u )
161	97, 105, 160	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ S ) -> E. u e. U S < u )
162	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> U C_ ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) )
163	162, 100	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> U C_ RR )
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> U C_ RR )
165		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. U -> U =/= (/) )
166	165	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> U =/= (/) )
167	99	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. RR* )
168	167	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A ` Z ) e. RR* )
169	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( B ` Z ) e. RR* )
170	162	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) )
171		iccleub 12229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR* /\ ( B ` Z ) e. RR* /\ u e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) ) -> u <_ ( B ` Z ) )
172	168, 169, 170, 171	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u <_ ( B ` Z ) )
173	172	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. u e. U u <_ ( B ` Z ) )
174		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( B ` Z ) -> ( u <_ y <-> u <_ ( B ` Z ) ) )
175	174	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( B ` Z ) -> ( A. u e. U u <_ y <-> A. u e. U u <_ ( B ` Z ) ) )
176	175	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B ` Z ) e. RR /\ A. u e. U u <_ ( B ` Z ) ) -> E. y e. RR A. u e. U u <_ y )
177	48, 173, 176	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> E. y e. RR A. u e. U u <_ y )
178	177	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> E. y e. RR A. u e. U u <_ y )
179		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. U )
180		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. y e. RR A. u e. U u <_ y ) /\ u e. U ) -> u <_ sup ( U , RR , < ) )
181	164, 166, 178, 179, 180	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u <_ sup ( U , RR , < ) )
182	181, 79	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u <_ S )
183	182	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. u e. U u <_ S )
184	164, 179	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. RR )
185	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> S e. RR )
186	184, 185	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( u <_ S <-> -. S < u ) )
187	186	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A. u e. U u <_ S <-> A. u e. U -. S < u ) )
188	183, 187	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. u e. U -. S < u )
189		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. u e. U -. S < u <-> -. E. u e. U S < u )
190	188, 189	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. E. u e. U S < u )
191	190	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < ( B ` Z ) ) -> -. E. u e. U S < u )
192	97, 105, 191	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( B ` Z ) <_ S ) -> -. E. u e. U S < u )
193	161, 192	condan 835	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ` Z ) <_ S )
194		iccleub 12229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR* /\ ( B ` Z ) e. RR* /\ S e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) ) -> S <_ ( B ` Z ) )
195	167, 91, 95, 194	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S <_ ( B ` Z ) )
196	91, 96, 193, 195	xrletrid 11986	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B ` Z ) = S )
197	78	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } = U
198	197	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } = U )
199	196, 198	eleq12d 2695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B ` Z ) e. { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } <-> S e. U ) )
200	90, 199	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> ( B ` Z ) e. { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } )
201		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( z = ( B ` Z ) -> ( z - ( A ` Z ) ) = ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) )
202	201	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( z = ( B ` Z ) -> ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) = ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) )
203		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( B ` Z ) -> ( H ` z ) = ( H ` ( B ` Z ) ) )
204	203	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( B ` Z ) -> ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) = ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) )
205	204	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( B ` Z ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) = ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) )
206	205	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( B ` Z ) -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) )
207	206	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( z = ( B ` Z ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) )
208	207	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( z = ( B ` Z ) -> ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) = ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
209	202, 208	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( z = ( B ` Z ) -> ( ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) <-> ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
210	209	elrab 3363	. . . . 5 |- ( ( B ` Z ) e. { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } <-> ( ( B ` Z ) e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) /\ ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
211	200, 210	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B ` Z ) e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) /\ ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
212	211	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
213	3, 5	ssfid 8183	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. Fin )
214		eqid 2622	. . . . . 6 |- prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
215	2, 213, 6, 65, 4, 14, 15, 214	hoiprodp1 40802	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ( L ` W ) B ) = ( prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) ) )
216		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ k e. Y ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) = prod_ k e. Y ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
217	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> A : W --> RR )
218		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . 12 |- Y C_ ( Y u. { Z } )
219	4	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y u. { Z } ) = W
220	218, 219	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . 11 |- Y C_ W
221		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> k e. Y )
222	220, 221	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> k e. W )
223	217, 222	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> ( A ` k ) e. RR )
224	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> B : W --> RR )
225	224, 222	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> ( B ` k ) e. RR )
226	222, 87	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> ( A ` k ) < ( B ` k ) )
227	223, 225, 226	volicon0 40789	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
228	227	prodeq2dv 14653	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. Y ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
229	77	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G = ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) ) )
230		hoidmvlelem4.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y =/= (/) )
231	220	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y C_ W )
232	14, 231	fssresd 6071	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A |` Y ) : Y --> RR )
233	15, 231	fssresd 6071	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B |` Y ) : Y --> RR )
234	2, 213, 230, 232, 233	hoidmvn0val 40798	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) ) = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( A |` Y ) ` k ) [,) ( ( B |` Y ) ` k ) ) ) )
235		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. Y -> ( ( A |` Y ) ` k ) = ( A ` k ) )
236		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. Y -> ( ( B |` Y ) ` k ) = ( B ` k ) )
237	235, 236	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Y -> ( ( ( A |` Y ) ` k ) [,) ( ( B |` Y ) ` k ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
238	237	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Y -> ( vol ` ( ( ( A |` Y ) ` k ) [,) ( ( B |` Y ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
239	238	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> ( vol ` ( ( ( A |` Y ) ` k ) [,) ( ( B |` Y ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
240		volico 40200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = if ( ( A ` k ) < ( B ` k ) , ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) , 0 ) )
241	223, 225, 240	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = if ( ( A ` k ) < ( B ` k ) , ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) , 0 ) )
242	241, 227	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> if ( ( A ` k ) < ( B ` k ) , ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) , 0 ) = ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
243	239, 241, 242	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> ( vol ` ( ( ( A |` Y ) ` k ) [,) ( ( B |` Y ) ` k ) ) ) = ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
244	243	prodeq2dv 14653	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( A |` Y ) ` k ) [,) ( ( B |` Y ) ` k ) ) ) = prod_ k e. Y ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
245	229, 234, 244	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ph -> G = prod_ k e. Y ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
246	216, 228, 245	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = G )
247	99, 48, 89	volicon0 40789	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) = ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) )
248	246, 247	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) ) = ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) )
249	215, 248	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( A ( L ` W ) B ) = ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) )
250	249	breq1d 4663	. . 3 |- ( ph -> ( ( A ( L ` W ) B ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) <-> ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
251	212, 250	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( A ( L ` W ) B ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
252		0le1 10551	. . . . 5 |- 0 <_ 1
253	252	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
254	19	rpge0d 11876	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ E )
255	18, 20, 253, 254	addge0d 10603	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 + E ) )
256	74, 61, 21, 255, 69	lemul2ad 10964	. 2 |- ( ph -> ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( B ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) ) )
257	17, 75, 76, 251, 256	letrd 10194	1 |- ( ph -> ( A ( L ` W ) B ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   RR+crp 11832   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem5  40813