Theorem icof 39411

Description: The set of left-closed right-open intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
icof	|- [,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR*

Proof of Theorem icof

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } = { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
2		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } C_ RR*
3		xrex 11829	. . . . . . 7 |- RR* e. _V
4	3	rabex 4813	. . . . . 6 |- { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } e. _V
5	4	elpw 4164	. . . . 5 |- ( { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR* <-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } C_ RR* )
6	2, 5	mpbir 221	. . . 4 |- { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR*
7	1, 6	syl6eqelr 2710	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR* )
8	7	rgen2a 2977	. 2 |- A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR*
9		df-ico 12181	. . 3 |- [,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
10	9	fmpt2 7237	. 2 |- ( A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR* <-> [,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR* )
11	8, 10	mpbi 220	1 |- [,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR*

Syntax hints:   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-xr 10078  df-ico 12181

This theorem is referenced by:  fvvolicof  40208  volicoff  40212  voliooicof  40213  ovolval5lem2  40867  ovolval5lem3  40868  ovnovollem1  40870  ovnovollem2  40871