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Theorem ovolval5lem3 40868
Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals, using covers of left-closed right-open intervals are used, instead of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolval5lem3.m |- M = { y e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) }
ovolval5lem3.q |- Q = { z e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
ovolval5lem3 |- inf ( Q , RR* , < ) = inf ( M , RR* , < )
Distinct variable groups:   A, f, z, y   y, M, z   Q, f, y, z
Allowed substitution hint:   M( f)
Proof of Theorem ovolval5lem3
Dummy variables g n w m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolval5lem3.q . . . . 5 |- Q = { z e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) }
2 ssrab2 3687 . . . . 5 |- { z e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) } C_ RR*
31, 2eqsstri 3635 . . . 4 |- Q C_ RR*
4 infxrcl 12163 . . . 4 |- ( Q C_ RR* -> inf ( Q , RR* , < ) e. RR* )
53, 4mp1i 13 . . 3 |- ( T. -> inf ( Q , RR* , < ) e. RR* )
6 ovolval5lem3.m . . . . 5 |- M = { y e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) }
7 ssrab2 3687 . . . . 5 |- { y e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) } C_ RR*
86, 7eqsstri 3635 . . . 4 |- M C_ RR*
9 infxrcl 12163 . . . 4 |- ( M C_ RR* -> inf ( M , RR* , < ) e. RR* )
108, 9mp1i 13 . . 3 |- ( T. -> inf ( M , RR* , < ) e. RR* )
113a1i 11 . . . 4 |- ( T. -> Q C_ RR* )
128a1i 11 . . . 4 |- ( T. -> M C_ RR* )
13 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( y e. M /\ w e. RR+ ) -> w e. RR+ )
146rabeq2i 3197 . . . . . . . . 9 |- ( y e. M <-> ( y e. RR* /\ E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) )
1514biimpi 206 . . . . . . . 8 |- ( y e. M -> ( y e. RR* /\ E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) )
1615simprd 479 . . . . . . 7 |- ( y e. M -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) )
1716adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( y e. M /\ w e. RR+ ) -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) )
18 coeq2 5280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g = f -> ( (,) o. g ) = ( (,) o. f ) )
1918rneqd 5353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = f -> ran ( (,) o. g ) = ran ( (,) o. f ) )
2019unieqd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> U. ran ( (,) o. g ) = U. ran ( (,) o. f ) )
2120sseq2d 3633 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) <-> A C_ U. ran ( (,) o. f ) ) )
22 coeq2 5280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = f -> ( ( vol o. (,) ) o. g ) = ( ( vol o. (,) ) o. f ) )
2322fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) )
2423eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) <-> z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) )
2521, 24anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ( ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) <-> ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) ) )
2625cbvrexv 3172 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. g e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) <-> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) )
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR* -> ( E. g e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) <-> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) ) )
2827rabbiia 3185 . . . . . . . . . . 11 |- { z e. RR* | E. g e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) } = { z e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) }
291, 28eqtr4i 2647 . . . . . . . . . 10 |- Q = { z e. RR* | E. g e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) }
30 simp3r 1090 . . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. RR+ /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) )
31 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. ( m e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( f ` m ) ) - ( w / ( 2 ^ m ) ) ) , ( 2nd ` ( f ` m ) ) >. ) ) ) = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. ( m e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( f ` m ) ) - ( w / ( 2 ^ m ) ) ) , ( 2nd ` ( f ` m ) ) >. ) ) )
32 elmapi 7879 . . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> f : NN --> ( RR X. RR ) )
33323ad2ant2 1083 . . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. RR+ /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> f : NN --> ( RR X. RR ) )
34 simp3l 1089 . . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. RR+ /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> A C_ U. ran ( [,) o. f ) )
35 simp1 1061 . . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. RR+ /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> w e. RR+ )
36 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> ( f ` m ) = ( f ` n ) )
3736fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( 1st ` ( f ` m ) ) = ( 1st ` ( f ` n ) ) )
38 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ n ) )
3938oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( w / ( 2 ^ m ) ) = ( w / ( 2 ^ n ) ) )
4037, 39oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( ( 1st ` ( f ` m ) ) - ( w / ( 2 ^ m ) ) ) = ( ( 1st ` ( f ` n ) ) - ( w / ( 2 ^ n ) ) ) )
4136fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( 2nd ` ( f ` m ) ) = ( 2nd ` ( f ` n ) ) )
4240, 41opeq12d 4410 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> <. ( ( 1st ` ( f ` m ) ) - ( w / ( 2 ^ m ) ) ) , ( 2nd ` ( f ` m ) ) >. = <. ( ( 1st ` ( f ` n ) ) - ( w / ( 2 ^ n ) ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) >. )
4342cbvmptv 4750 . . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( f ` m ) ) - ( w / ( 2 ^ m ) ) ) , ( 2nd ` ( f ` m ) ) >. ) = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( f ` n ) ) - ( w / ( 2 ^ n ) ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) >. )
4429, 30, 31, 33, 34, 35, 43ovolval5lem2 40867 . . . . . . . . 9 |- ( ( w e. RR+ /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> E. z e. Q z <_ ( y +e w ) )
45443exp 1264 . . . . . . . 8 |- ( w e. RR+ -> ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) -> E. z e. Q z <_ ( y +e w ) ) ) )
4645rexlimdv 3030 . . . . . . 7 |- ( w e. RR+ -> ( E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) -> E. z e. Q z <_ ( y +e w ) ) )
4746imp 445 . . . . . 6 |- ( ( w e. RR+ /\ E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> E. z e. Q z <_ ( y +e w ) )
4813, 17, 47syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( y e. M /\ w e. RR+ ) -> E. z e. Q z <_ ( y +e w ) )
49483adant1 1079 . . . 4 |- ( ( T. /\ y e. M /\ w e. RR+ ) -> E. z e. Q z <_ ( y +e w ) )
5011, 12, 49infleinf 39588 . . 3 |- ( T. -> inf ( Q , RR* , < ) <_ inf ( M , RR* , < ) )
51 eqeq1 2626 . . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) <-> y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) )
5251anbi2d 740 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) <-> ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) ) )
5352rexbidv 3052 . . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) <-> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) ) )
5453cbvrabv 3199 . . . . . . 7 |- { z e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) } = { y e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) }
55 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ A C_ U. ran ( (,) o. f ) ) -> A C_ U. ran ( (,) o. f ) )
56 ioossico 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1st ` ( f ` n ) ) (,) ( 2nd ` ( f ` n ) ) ) C_ ( ( 1st ` ( f ` n ) ) [,) ( 2nd ` ( f ` n ) ) )
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( f ` n ) ) (,) ( 2nd ` ( f ` n ) ) ) C_ ( ( 1st ` ( f ` n ) ) [,) ( 2nd ` ( f ` n ) ) ) )
5832adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> f : NN --> ( RR X. RR ) )
59 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
6058, 59fvovco 39381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( (,) o. f ) ` n ) = ( ( 1st ` ( f ` n ) ) (,) ( 2nd ` ( f ` n ) ) ) )
6158, 59fvovco 39381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( [,) o. f ) ` n ) = ( ( 1st ` ( f ` n ) ) [,) ( 2nd ` ( f ` n ) ) ) )
6260, 61sseq12d 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( (,) o. f ) ` n ) C_ ( ( [,) o. f ) ` n ) <-> ( ( 1st ` ( f ` n ) ) (,) ( 2nd ` ( f ` n ) ) ) C_ ( ( 1st ` ( f ` n ) ) [,) ( 2nd ` ( f ` n ) ) ) ) )
6357, 62mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( (,) o. f ) ` n ) C_ ( ( [,) o. f ) ` n ) )
6463ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> A. n e. NN ( ( (,) o. f ) ` n ) C_ ( ( [,) o. f ) ` n ) )
65 ss2iun 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. n e. NN ( ( (,) o. f ) ` n ) C_ ( ( [,) o. f ) ` n ) -> U_ n e. NN ( ( (,) o. f ) ` n ) C_ U_ n e. NN ( ( [,) o. f ) ` n ) )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> U_ n e. NN ( ( (,) o. f ) ` n ) C_ U_ n e. NN ( ( [,) o. f ) ` n ) )
67 ioof 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR )
69 rexpssxrxp 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* ) )
7132, 70fssd 6057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> f : NN --> ( RR* X. RR* ) )
72 fco 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR /\ f : NN --> ( RR* X. RR* ) ) -> ( (,) o. f ) : NN --> ~P RR )
7368, 71, 72syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( (,) o. f ) : NN --> ~P RR )
74 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (,) o. f ) : NN --> ~P RR -> ( (,) o. f ) Fn NN )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( (,) o. f ) Fn NN )
76 fniunfv 6505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( (,) o. f ) Fn NN -> U_ n e. NN ( ( (,) o. f ) ` n ) = U. ran ( (,) o. f ) )
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> U_ n e. NN ( ( (,) o. f ) ` n ) = U. ran ( (,) o. f ) )
78 icof 39411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- [,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR*
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> [,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR* )
80 fco 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( [,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR* /\ f : NN --> ( RR* X. RR* ) ) -> ( [,) o. f ) : NN --> ~P RR* )
8179, 71, 80syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( [,) o. f ) : NN --> ~P RR* )
82 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( [,) o. f ) : NN --> ~P RR* -> ( [,) o. f ) Fn NN )
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( [,) o. f ) Fn NN )
84 fniunfv 6505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( [,) o. f ) Fn NN -> U_ n e. NN ( ( [,) o. f ) ` n ) = U. ran ( [,) o. f ) )
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> U_ n e. NN ( ( [,) o. f ) ` n ) = U. ran ( [,) o. f ) )
8677, 85sseq12d 3634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( U_ n e. NN ( ( (,) o. f ) ` n ) C_ U_ n e. NN ( ( [,) o. f ) ` n ) <-> U. ran ( (,) o. f ) C_ U. ran ( [,) o. f ) ) )
8766, 86mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> U. ran ( (,) o. f ) C_ U. ran ( [,) o. f ) )
8887adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ A C_ U. ran ( (,) o. f ) ) -> U. ran ( (,) o. f ) C_ U. ran ( [,) o. f ) )
8955, 88sstrd 3613 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ A C_ U. ran ( (,) o. f ) ) -> A C_ U. ran ( [,) o. f ) )
9089adantrr 753 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) ) -> A C_ U. ran ( [,) o. f ) )
91 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) -> y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) )
9232voliooicof 40213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( ( vol o. (,) ) o. f ) = ( ( vol o. [,) ) o. f ) )
9392fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) )
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) -> (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) )
9591, 94eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) -> y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) )
9695adantrl 752 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) ) -> y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) )
9790, 96jca 554 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) )
9897ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) )
9998reximia 3009 . . . . . . . . 9 |- ( E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) )
10099rgenw 2924 . . . . . . . 8 |- A. y e. RR* ( E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) )
101 ss2rab 3678 . . . . . . . 8 |- ( { y e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) } C_ { y e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) } <-> A. y e. RR* ( E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) )
102100, 101mpbir 221 . . . . . . 7 |- { y e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) } C_ { y e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) }
10354, 102eqsstri 3635 . . . . . 6 |- { z e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) } C_ { y e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) }
1041, 6sseq12i 3631 . . . . . 6 |- ( Q C_ M <-> { z e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) } C_ { y e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) } )
105103, 104mpbir 221 . . . . 5 |- Q C_ M
106 infxrss 12169 . . . . 5 |- ( ( Q C_ M /\ M C_ RR* ) -> inf ( M , RR* , < ) <_ inf ( Q , RR* , < ) )
107105, 8, 106mp2an 708 . . . 4 |- inf ( M , RR* , < ) <_ inf ( Q , RR* , < )
108107a1i 11 . . 3 |- ( T. -> inf ( M , RR* , < ) <_ inf ( Q , RR* , < ) )
1095, 10, 50, 108xrletrid 11986 . 2 |- ( T. -> inf ( Q , RR* , < ) = inf ( M , RR* , < ) )
110109trud 1493 1 |- inf ( Q , RR* , < ) = inf ( M , RR* , < )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857  infcinf 8347   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   +ecxad 11944   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ^cexp 12860   volcvol 23232  Σ^csumge0 40579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580
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