Theorem imaelshi 28917

Description: The image of a subspace under a linear operator is a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnelsh.1	|- T e. LinOp
imaelsh.2	|- A e. SH

Assertion

Ref	Expression
imaelshi	|- ( T " A ) e. SH

Proof of Theorem imaelshi

Dummy variables v u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 5477	. . . 4 |- ( T " A ) C_ ran T
2		rnelsh.1	. . . . . 6 |- T e. LinOp
3	2	lnopfi 28828	. . . . 5 |- T : ~H --> ~H
4		frn 6053	. . . . 5 |- ( T : ~H --> ~H -> ran T C_ ~H )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ran T C_ ~H
6	1, 5	sstri 3612	. . 3 |- ( T " A ) C_ ~H
7	2	lnop0i 28829	. . . 4 |- ( T ` 0h ) = 0h
8		imaelsh.2	. . . . . 6 |- A e. SH
9		sh0 28073	. . . . . 6 |- ( A e. SH -> 0h e. A )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0h e. A
11		ffun 6048	. . . . . . 7 |- ( T : ~H --> ~H -> Fun T )
12	3, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun T
13	8	shssii 28070	. . . . . . 7 |- A C_ ~H
14	3	fdmi 6052	. . . . . . 7 |- dom T = ~H
15	13, 14	sseqtr4i 3638	. . . . . 6 |- A C_ dom T
16		funfvima2 6493	. . . . . 6 |- ( ( Fun T /\ A C_ dom T ) -> ( 0h e. A -> ( T ` 0h ) e. ( T " A ) ) )
17	12, 15, 16	mp2an 708	. . . . 5 |- ( 0h e. A -> ( T ` 0h ) e. ( T " A ) )
18	10, 17	ax-mp 5	. . . 4 |- ( T ` 0h ) e. ( T " A )
19	7, 18	eqeltrri 2698	. . 3 |- 0h e. ( T " A )
20	6, 19	pm3.2i 471	. 2 |- ( ( T " A ) C_ ~H /\ 0h e. ( T " A ) )
21		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( T : ~H --> ~H -> T Fn ~H )
22	3, 21	ax-mp 5	. . . . 5 |- T Fn ~H
23		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( u = ( T ` x ) -> ( u +h v ) = ( ( T ` x ) +h v ) )
24	23	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( u = ( T ` x ) -> ( ( u +h v ) e. ( T " A ) <-> ( ( T ` x ) +h v ) e. ( T " A ) ) )
25	24	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( u = ( T ` x ) -> ( A. v e. ( T " A ) ( u +h v ) e. ( T " A ) <-> A. v e. ( T " A ) ( ( T ` x ) +h v ) e. ( T " A ) ) )
26	25	ralima 6498	. . . . 5 |- ( ( T Fn ~H /\ A C_ ~H ) -> ( A. u e. ( T " A ) A. v e. ( T " A ) ( u +h v ) e. ( T " A ) <-> A. x e. A A. v e. ( T " A ) ( ( T ` x ) +h v ) e. ( T " A ) ) )
27	22, 13, 26	mp2an 708	. . . 4 |- ( A. u e. ( T " A ) A. v e. ( T " A ) ( u +h v ) e. ( T " A ) <-> A. x e. A A. v e. ( T " A ) ( ( T ` x ) +h v ) e. ( T " A ) )
28	8	sheli 28071	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> x e. ~H )
29	8	sheli 28071	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> y e. ~H )
30	2	lnopaddi 28830	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( T ` ( x +h y ) ) = ( ( T ` x ) +h ( T ` y ) ) )
31	28, 29, 30	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( T ` ( x +h y ) ) = ( ( T ` x ) +h ( T ` y ) ) )
32		shaddcl 28074	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. SH /\ x e. A /\ y e. A ) -> ( x +h y ) e. A )
33	8, 32	mp3an1 1411	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x +h y ) e. A )
34		funfvima2 6493	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun T /\ A C_ dom T ) -> ( ( x +h y ) e. A -> ( T ` ( x +h y ) ) e. ( T " A ) ) )
35	12, 15, 34	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( x +h y ) e. A -> ( T ` ( x +h y ) ) e. ( T " A ) )
36	33, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( T ` ( x +h y ) ) e. ( T " A ) )
37	31, 36	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( T ` x ) +h ( T ` y ) ) e. ( T " A ) )
38	37	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( x e. A -> A. y e. A ( ( T ` x ) +h ( T ` y ) ) e. ( T " A ) )
39		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( v = ( T ` y ) -> ( ( T ` x ) +h v ) = ( ( T ` x ) +h ( T ` y ) ) )
40	39	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( v = ( T ` y ) -> ( ( ( T ` x ) +h v ) e. ( T " A ) <-> ( ( T ` x ) +h ( T ` y ) ) e. ( T " A ) ) )
41	40	ralima 6498	. . . . . 6 |- ( ( T Fn ~H /\ A C_ ~H ) -> ( A. v e. ( T " A ) ( ( T ` x ) +h v ) e. ( T " A ) <-> A. y e. A ( ( T ` x ) +h ( T ` y ) ) e. ( T " A ) ) )
42	22, 13, 41	mp2an 708	. . . . 5 |- ( A. v e. ( T " A ) ( ( T ` x ) +h v ) e. ( T " A ) <-> A. y e. A ( ( T ` x ) +h ( T ` y ) ) e. ( T " A ) )
43	38, 42	sylibr 224	. . . 4 |- ( x e. A -> A. v e. ( T " A ) ( ( T ` x ) +h v ) e. ( T " A ) )
44	27, 43	mprgbir 2927	. . 3 |- A. u e. ( T " A ) A. v e. ( T " A ) ( u +h v ) e. ( T " A )
45	2	lnopmuli 28831	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. CC /\ y e. ~H ) -> ( T ` ( u .h y ) ) = ( u .h ( T ` y ) ) )
46	29, 45	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( u e. CC /\ y e. A ) -> ( T ` ( u .h y ) ) = ( u .h ( T ` y ) ) )
47		shmulcl 28075	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. SH /\ u e. CC /\ y e. A ) -> ( u .h y ) e. A )
48	8, 47	mp3an1 1411	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. CC /\ y e. A ) -> ( u .h y ) e. A )
49		funfvima2 6493	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun T /\ A C_ dom T ) -> ( ( u .h y ) e. A -> ( T ` ( u .h y ) ) e. ( T " A ) ) )
50	12, 15, 49	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( u .h y ) e. A -> ( T ` ( u .h y ) ) e. ( T " A ) )
51	48, 50	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( u e. CC /\ y e. A ) -> ( T ` ( u .h y ) ) e. ( T " A ) )
52	46, 51	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( u e. CC /\ y e. A ) -> ( u .h ( T ` y ) ) e. ( T " A ) )
53	52	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( u e. CC -> A. y e. A ( u .h ( T ` y ) ) e. ( T " A ) )
54		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( v = ( T ` y ) -> ( u .h v ) = ( u .h ( T ` y ) ) )
55	54	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( v = ( T ` y ) -> ( ( u .h v ) e. ( T " A ) <-> ( u .h ( T ` y ) ) e. ( T " A ) ) )
56	55	ralima 6498	. . . . . 6 |- ( ( T Fn ~H /\ A C_ ~H ) -> ( A. v e. ( T " A ) ( u .h v ) e. ( T " A ) <-> A. y e. A ( u .h ( T ` y ) ) e. ( T " A ) ) )
57	22, 13, 56	mp2an 708	. . . . 5 |- ( A. v e. ( T " A ) ( u .h v ) e. ( T " A ) <-> A. y e. A ( u .h ( T ` y ) ) e. ( T " A ) )
58	53, 57	sylibr 224	. . . 4 |- ( u e. CC -> A. v e. ( T " A ) ( u .h v ) e. ( T " A ) )
59	58	rgen 2922	. . 3 |- A. u e. CC A. v e. ( T " A ) ( u .h v ) e. ( T " A )
60	44, 59	pm3.2i 471	. 2 |- ( A. u e. ( T " A ) A. v e. ( T " A ) ( u +h v ) e. ( T " A ) /\ A. u e. CC A. v e. ( T " A ) ( u .h v ) e. ( T " A ) )
61		issh2 28066	. 2 |- ( ( T " A ) e. SH <-> ( ( ( T " A ) C_ ~H /\ 0h e. ( T " A ) ) /\ ( A. u e. ( T " A ) A. v e. ( T " A ) ( u +h v ) e. ( T " A ) /\ A. u e. CC A. v e. ( T " A ) ( u .h v ) e. ( T " A ) ) ) )
62	20, 60, 61	mpbir2an 955	1 |- ( T " A ) e. SH

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   0hc0v 27781   SHcsh 27785   LinOpclo 27804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-hvsub 27828  df-sh 28064  df-lnop 28700

This theorem is referenced by:  rnelshi  28918