Theorem inf0 8518

Description: Our Axiom of Infinity derived from existence of omega. The proof shows that the especially contrived class " ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) " exists, is a subset of its union, and contains a given set x (and thus is nonempty). Thus, it provides an example demonstrating that a set y exists with the necessary properties demanded by ax-inf 8535. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)

Hypothesis

Ref	Expression
inf0.1	|- om e. _V

Assertion

Ref	Expression
inf0	|- E. y ( x e. y /\ A. z ( z e. y -> E. w ( z e. w /\ w e. y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Proof of Theorem inf0

Dummy variables v f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . 4 |- x e. _V
2		fr0g 7531	. . . 4 |- ( x e. _V -> ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` (/) ) = x )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` (/) ) = x
4		frfnom 7530	. . . 4 |- ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) Fn om
5		peano1 7085	. . . 4 |- (/) e. om
6		fnfvelrn 6356	. . . 4 |- ( ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) Fn om /\ (/) e. om ) -> ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` (/) ) e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) )
7	4, 5, 6	mp2an 708	. . 3 |- ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` (/) ) e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om )
8	3, 7	eqeltrri 2698	. 2 |- x e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om )
9		fvelrnb 6243	. . . . 5 |- ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) Fn om -> ( z e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) <-> E. f e. om ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) = z ) )
10	4, 9	ax-mp 5	. . . 4 |- ( z e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) <-> E. f e. om ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) = z )
11		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) e. _V
12	11	sucid 5804	. . . . . . . . 9 |- ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) e. suc ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f )
13	11	sucex 7011	. . . . . . . . . 10 |- suc ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) e. _V
14		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) = ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om )
15		suceq 5790	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = v -> suc z = suc v )
16		suceq 5790	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) -> suc z = suc ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) )
17	14, 15, 16	frsucmpt2 7535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. om /\ suc ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) e. _V ) -> ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) = suc ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) )
18	13, 17	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( f e. om -> ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) = suc ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) )
19	12, 18	syl5eleqr 2708	. . . . . . . 8 |- ( f e. om -> ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) e. ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) )
20		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) = z -> ( ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) e. ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) <-> z e. ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) ) )
21	19, 20	syl5ib 234	. . . . . . 7 |- ( ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) = z -> ( f e. om -> z e. ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) ) )
22		peano2b 7081	. . . . . . . . 9 |- ( f e. om <-> suc f e. om )
23		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) Fn om /\ suc f e. om ) -> ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) )
24	4, 23	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( suc f e. om -> ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) )
25	22, 24	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( f e. om -> ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) )
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) = z -> ( f e. om -> ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) )
27	21, 26	jcad 555	. . . . . 6 |- ( ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) = z -> ( f e. om -> ( z e. ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) /\ ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) ) )
28		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) e. _V
29		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( w = ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) -> ( z e. w <-> z e. ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) ) )
30		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( w = ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) -> ( w e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) <-> ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) )
31	29, 30	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( w = ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) -> ( ( z e. w /\ w e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) <-> ( z e. ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) /\ ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) ) )
32	28, 31	spcev 3300	. . . . . 6 |- ( ( z e. ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) /\ ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` suc f ) e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) -> E. w ( z e. w /\ w e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) )
33	27, 32	syl6com 37	. . . . 5 |- ( f e. om -> ( ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) = z -> E. w ( z e. w /\ w e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) ) )
34	33	rexlimiv 3027	. . . 4 |- ( E. f e. om ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ` f ) = z -> E. w ( z e. w /\ w e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) )
35	10, 34	sylbi 207	. . 3 |- ( z e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) -> E. w ( z e. w /\ w e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) )
36	35	ax-gen 1722	. 2 |- A. z ( z e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) -> E. w ( z e. w /\ w e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) )
37		fndm 5990	. . . . . 6 |- ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) Fn om -> dom ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) = om )
38	4, 37	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) = om
39		inf0.1	. . . . 5 |- om e. _V
40	38, 39	eqeltri 2697	. . . 4 |- dom ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) e. _V
41		fnfun 5988	. . . . 5 |- ( ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) Fn om -> Fun ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) )
42	4, 41	ax-mp 5	. . . 4 |- Fun ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om )
43		funrnex 7133	. . . 4 |- ( dom ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) e. _V -> ( Fun ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) -> ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) e. _V ) )
44	40, 42, 43	mp2 9	. . 3 |- ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) e. _V
45		eleq2 2690	. . . 4 |- ( y = ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) -> ( x e. y <-> x e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) )
46		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( y = ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) -> ( z e. y <-> z e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) )
47		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( y = ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) -> ( w e. y <-> w e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) )
48	47	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( y = ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) -> ( ( z e. w /\ w e. y ) <-> ( z e. w /\ w e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) ) )
49	48	exbidv 1850	. . . . . 6 |- ( y = ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) -> ( E. w ( z e. w /\ w e. y ) <-> E. w ( z e. w /\ w e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) ) )
50	46, 49	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( y = ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) -> ( ( z e. y -> E. w ( z e. w /\ w e. y ) ) <-> ( z e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) -> E. w ( z e. w /\ w e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) ) ) )
51	50	albidv 1849	. . . 4 |- ( y = ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) -> ( A. z ( z e. y -> E. w ( z e. w /\ w e. y ) ) <-> A. z ( z e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) -> E. w ( z e. w /\ w e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) ) ) )
52	45, 51	anbi12d 747	. . 3 |- ( y = ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) -> ( ( x e. y /\ A. z ( z e. y -> E. w ( z e. w /\ w e. y ) ) ) <-> ( x e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) /\ A. z ( z e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) -> E. w ( z e. w /\ w e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) ) ) ) )
53	44, 52	spcev 3300	. 2 |- ( ( x e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) /\ A. z ( z e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) -> E. w ( z e. w /\ w e. ran ( rec ( ( v e. _V |-> suc v ) , x ) |` om ) ) ) ) -> E. y ( x e. y /\ A. z ( z e. y -> E. w ( z e. w /\ w e. y ) ) ) )
54	8, 36, 53	mp2an 708	1 |- E. y ( x e. y /\ A. z ( z e. y -> E. w ( z e. w /\ w e. y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   omcom 7065   reccrdg 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506

This theorem is referenced by:  axinf  8541