Theorem dford2 8517

Description: Assuming ax-reg 8497, an ordinal is a transitive class on which inclusion satisfies trichotomy. (Contributed by Scott Fenton, 27-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
dford2	|- ( Ord A <-> ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dford2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ord 5726	. 2 |- ( Ord A <-> ( Tr A /\ _E We A ) )
2		zfregfr 8509	. . . . 5 |- _E Fr A
3		dfwe2 6981	. . . . 5 |- ( _E We A <-> ( _E Fr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) ) )
4	2, 3	mpbiran 953	. . . 4 |- ( _E We A <-> A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
5		epel 5032	. . . . . 6 |- ( x _E y <-> x e. y )
6		biid 251	. . . . . 6 |- ( x = y <-> x = y )
7		epel 5032	. . . . . 6 |- ( y _E x <-> y e. x )
8	5, 6, 7	3orbi123i 1252	. . . . 5 |- ( ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) <-> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
9	8	2ralbii 2981	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
10	4, 9	bitri 264	. . 3 |- ( _E We A <-> A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
11	10	anbi2i 730	. 2 |- ( ( Tr A /\ _E We A ) <-> ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
12	1, 11	bitri 264	1 |- ( Ord A <-> ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   A.wral 2912   class class class wbr 4653   Tr wtr 4752   _E cep 5028   Fr wfr 5070   We wwe 5072   Ord word 5722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726

This theorem is referenced by:  ordelordALT  38747  ordelordALTVD  39103