Theorem infssuni 8257

Description: If an infinite set A is included in the underlying set of a finite cover B, then there exists a set of the cover that contains an infinite number of element of A. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
infssuni	|- ( ( -. A e. Fin /\ B e. Fin /\ A C_ U. B ) -> E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem infssuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfral2 2994	. . 3 |- ( A. x e. B ( A i^i x ) e. Fin <-> -. E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin )
2		iunfi 8254	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. Fin /\ A. x e. B ( A i^i x ) e. Fin ) -> U_ x e. B ( A i^i x ) e. Fin )
3		iunin2 4584	. . . . . . . . . 10 |- U_ x e. B ( A i^i x ) = ( A i^i U_ x e. B x )
4	3	eleq1i 2692	. . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. B ( A i^i x ) e. Fin <-> ( A i^i U_ x e. B x ) e. Fin )
5		uniiun 4573	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. B = U_ x e. B x
6	5	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ x e. B x = U. B
7	6	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i U_ x e. B x ) = ( A i^i U. B )
8	7	eleq1i 2692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A i^i U_ x e. B x ) e. Fin <-> ( A i^i U. B ) e. Fin )
9		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ U. B <-> ( A i^i U. B ) = A )
10		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A i^i U. B ) = A -> ( ( A i^i U. B ) e. Fin <-> A e. Fin ) )
11		pm2.24 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Fin -> ( -. A e. Fin -> E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin ) )
12	10, 11	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i U. B ) = A -> ( ( A i^i U. B ) e. Fin -> ( -. A e. Fin -> E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin ) ) )
13	9, 12	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ U. B -> ( ( A i^i U. B ) e. Fin -> ( -. A e. Fin -> E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin ) ) )
14	13	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A i^i U. B ) e. Fin -> ( A C_ U. B -> ( -. A e. Fin -> E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin ) ) )
15	8, 14	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i U_ x e. B x ) e. Fin -> ( A C_ U. B -> ( -. A e. Fin -> E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin ) ) )
16	4, 15	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( U_ x e. B ( A i^i x ) e. Fin -> ( A C_ U. B -> ( -. A e. Fin -> E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin ) ) )
17	2, 16	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( B e. Fin /\ A. x e. B ( A i^i x ) e. Fin ) -> ( A C_ U. B -> ( -. A e. Fin -> E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin ) ) )
18	17	ex 450	. . . . . 6 |- ( B e. Fin -> ( A. x e. B ( A i^i x ) e. Fin -> ( A C_ U. B -> ( -. A e. Fin -> E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin ) ) ) )
19	18	com24 95	. . . . 5 |- ( B e. Fin -> ( -. A e. Fin -> ( A C_ U. B -> ( A. x e. B ( A i^i x ) e. Fin -> E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin ) ) ) )
20	19	com12 32	. . . 4 |- ( -. A e. Fin -> ( B e. Fin -> ( A C_ U. B -> ( A. x e. B ( A i^i x ) e. Fin -> E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin ) ) ) )
21	20	3imp 1256	. . 3 |- ( ( -. A e. Fin /\ B e. Fin /\ A C_ U. B ) -> ( A. x e. B ( A i^i x ) e. Fin -> E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin ) )
22	1, 21	syl5bir 233	. 2 |- ( ( -. A e. Fin /\ B e. Fin /\ A C_ U. B ) -> ( -. E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin -> E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin ) )
23	22	pm2.18d 124	1 |- ( ( -. A e. Fin /\ B e. Fin /\ A C_ U. B ) -> E. x e. B -. ( A i^i x ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   U_ciun 4520   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  bwth  21213