Theorem iscgrglt 25409

Description: The property for two sequences A and B of points to be congruent, where the congruence is only required for indices verifying a less-than relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
trgcgrg.p	|- P = ( Base ` G )
trgcgrg.m	|- .- = ( dist ` G )
trgcgrg.r	|- .~ = (cgrG ` G )
trgcgrg.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
iscgrglt.d	|- ( ph -> D C_ RR )
iscgrglt.a	|- ( ph -> A : D --> P )
iscgrglt.b	|- ( ph -> B : D --> P )

Assertion

Ref	Expression
iscgrglt	|- ( ph -> ( A .~ B <-> A. i e. dom A A. j e. dom A ( i < j -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   .- , i, j   A, i, j   B, i, j   i, G, j   ph, i, j

Allowed substitution hints:   D( i, j)   P( i, j)   .~ ( i, j)

Proof of Theorem iscgrglt

Dummy variables k l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trgcgrg.p	. . 3 |- P = ( Base ` G )
2		trgcgrg.m	. . 3 |- .- = ( dist ` G )
3		trgcgrg.r	. . 3 |- .~ = (cgrG ` G )
4		trgcgrg.g	. . 3 |- ( ph -> G e. TarskiG )
5		iscgrglt.d	. . 3 |- ( ph -> D C_ RR )
6		iscgrglt.a	. . 3 |- ( ph -> A : D --> P )
7		iscgrglt.b	. . 3 |- ( ph -> B : D --> P )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	iscgrgd 25408	. 2 |- ( ph -> ( A .~ B <-> A. i e. dom A A. j e. dom A ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) )
9		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( i e. dom A /\ j e. dom A ) ) /\ ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) /\ i < j ) -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) )
10	9	3expia 1267	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( i e. dom A /\ j e. dom A ) ) /\ ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) -> ( i < j -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) )
11	10	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. dom A /\ j e. dom A ) ) -> ( ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) -> ( i < j -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) ) )
12	11	ralimdvva 2964	. . 3 |- ( ph -> ( A. i e. dom A A. j e. dom A ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) -> A. i e. dom A A. j e. dom A ( i < j -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) ) )
13		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( k = i -> ( k < l <-> i < l ) )
14		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> ( A ` k ) = ( A ` i ) )
15	14	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( k = i -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( A ` i ) .- ( A ` l ) ) )
16		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> ( B ` k ) = ( B ` i ) )
17	16	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( k = i -> ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` l ) ) )
18	15, 17	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( k = i -> ( ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) <-> ( ( A ` i ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` l ) ) ) )
19	13, 18	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( k = i -> ( ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) <-> ( i < l -> ( ( A ` i ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` l ) ) ) ) )
20		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( l = j -> ( i < l <-> i < j ) )
21		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( l = j -> ( A ` l ) = ( A ` j ) )
22	21	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( l = j -> ( ( A ` i ) .- ( A ` l ) ) = ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) )
23		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( l = j -> ( B ` l ) = ( B ` j ) )
24	23	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( l = j -> ( ( B ` i ) .- ( B ` l ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) )
25	22, 24	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( l = j -> ( ( ( A ` i ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` l ) ) <-> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) )
26	20, 25	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( l = j -> ( ( i < l -> ( ( A ` i ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` l ) ) ) <-> ( i < j -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) ) )
27	19, 26	cbvral2v 3179	. . . 4 |- ( A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) <-> A. i e. dom A A. j e. dom A ( i < j -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) )
28		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i < j ) -> i e. dom A )
29		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i < j ) -> j e. dom A )
30		simp-4r 807	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i < j ) -> A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) )
31	28, 29, 30	jca31 557	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i < j ) -> ( ( i e. dom A /\ j e. dom A ) /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) )
32		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i < j ) -> i < j )
33	19, 26	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. dom A /\ j e. dom A ) -> ( A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) -> ( i < j -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) ) )
34	33	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( i e. dom A /\ j e. dom A ) /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) -> ( i < j -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) )
35	34	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( i e. dom A /\ j e. dom A ) /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i < j ) -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) )
36	31, 32, 35	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i < j ) -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (Itv ` G ) = (Itv ` G )
38	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i = j ) -> G e. TarskiG )
39	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> A : D --> P )
40		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> i e. dom A )
41		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A : D --> P -> dom A = D )
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> dom A = D )
43	40, 42	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> i e. D )
44	39, 43	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> ( A ` i ) e. P )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i = j ) -> ( A ` i ) e. P )
46	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> B : D --> P )
47	46, 43	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> ( B ` i ) e. P )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i = j ) -> ( B ` i ) e. P )
49	1, 2, 37, 38, 45, 48	tgcgrtriv 25379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i = j ) -> ( ( A ` i ) .- ( A ` i ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` i ) ) )
50		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i = j ) -> i = j )
51	50	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i = j ) -> ( A ` i ) = ( A ` j ) )
52	51	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i = j ) -> ( ( A ` i ) .- ( A ` i ) ) = ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) )
53	50	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i = j ) -> ( B ` i ) = ( B ` j ) )
54	53	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i = j ) -> ( ( B ` i ) .- ( B ` i ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) )
55	49, 52, 54	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i = j ) -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) )
56	55	adantl3r 786	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ i = j ) -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) )
57	4	ad4antr 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> G e. TarskiG )
58		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> j e. dom A )
59	58, 42	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> j e. D )
60	39, 59	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> ( A ` j ) e. P )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> ( A ` j ) e. P )
62	61	adantl3r 786	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> ( A ` j ) e. P )
63	44	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> ( A ` i ) e. P )
64	63	adantl3r 786	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> ( A ` i ) e. P )
65	46, 59	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> ( B ` j ) e. P )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> ( B ` j ) e. P )
67	66	adantl3r 786	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> ( B ` j ) e. P )
68	47	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> ( B ` i ) e. P )
69	68	adantl3r 786	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> ( B ` i ) e. P )
70		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> j e. dom A )
71		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> i e. dom A )
72		simp-4r 807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) )
73	70, 71, 72	jca31 557	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> ( ( j e. dom A /\ i e. dom A ) /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) )
74		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> j < i )
75		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( k < l <-> j < l ) )
76		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = j -> ( A ` k ) = ( A ` j ) )
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( A ` j ) .- ( A ` l ) ) )
78		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = j -> ( B ` k ) = ( B ` j ) )
79	78	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) = ( ( B ` j ) .- ( B ` l ) ) )
80	77, 79	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) <-> ( ( A ` j ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` j ) .- ( B ` l ) ) ) )
81	75, 80	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) <-> ( j < l -> ( ( A ` j ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` j ) .- ( B ` l ) ) ) ) )
82		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = i -> ( j < l <-> j < i ) )
83		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = i -> ( A ` l ) = ( A ` i ) )
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = i -> ( ( A ` j ) .- ( A ` l ) ) = ( ( A ` j ) .- ( A ` i ) ) )
85		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = i -> ( B ` l ) = ( B ` i ) )
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = i -> ( ( B ` j ) .- ( B ` l ) ) = ( ( B ` j ) .- ( B ` i ) ) )
87	84, 86	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = i -> ( ( ( A ` j ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` j ) .- ( B ` l ) ) <-> ( ( A ` j ) .- ( A ` i ) ) = ( ( B ` j ) .- ( B ` i ) ) ) )
88	82, 87	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = i -> ( ( j < l -> ( ( A ` j ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` j ) .- ( B ` l ) ) ) <-> ( j < i -> ( ( A ` j ) .- ( A ` i ) ) = ( ( B ` j ) .- ( B ` i ) ) ) ) )
89	81, 88	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. dom A /\ i e. dom A ) -> ( A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) -> ( j < i -> ( ( A ` j ) .- ( A ` i ) ) = ( ( B ` j ) .- ( B ` i ) ) ) ) )
90	89	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j e. dom A /\ i e. dom A ) /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) -> ( j < i -> ( ( A ` j ) .- ( A ` i ) ) = ( ( B ` j ) .- ( B ` i ) ) ) )
91	90	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( j e. dom A /\ i e. dom A ) /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ j < i ) -> ( ( A ` j ) .- ( A ` i ) ) = ( ( B ` j ) .- ( B ` i ) ) )
92	73, 74, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> ( ( A ` j ) .- ( A ` i ) ) = ( ( B ` j ) .- ( B ` i ) ) )
93	1, 2, 37, 57, 62, 64, 67, 69, 92	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) /\ j < i ) -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) )
94	6, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom A = D )
95	94, 5	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom A C_ RR )
96	95	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> dom A C_ RR )
97	40	adantllr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> i e. dom A )
98	96, 97	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> i e. RR )
99		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> j e. dom A )
100	96, 99	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> j e. RR )
101	98, 100	lttri4d 10178	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> ( i < j \/ i = j \/ j < i ) )
102	36, 56, 93, 101	mpjao3dan 1395	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ i e. dom A ) /\ j e. dom A ) -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) )
103	102	anasss 679	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) /\ ( i e. dom A /\ j e. dom A ) ) -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) )
104	103	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) ) -> A. i e. dom A A. j e. dom A ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) )
105	104	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( A. k e. dom A A. l e. dom A ( k < l -> ( ( A ` k ) .- ( A ` l ) ) = ( ( B ` k ) .- ( B ` l ) ) ) -> A. i e. dom A A. j e. dom A ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) )
106	27, 105	syl5bir 233	. . 3 |- ( ph -> ( A. i e. dom A A. j e. dom A ( i < j -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) -> A. i e. dom A A. j e. dom A ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) )
107	12, 106	impbid 202	. 2 |- ( ph -> ( A. i e. dom A A. j e. dom A ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) <-> A. i e. dom A A. j e. dom A ( i < j -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) ) )
108	8, 107	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( A .~ B <-> A. i e. dom A A. j e. dom A ( i < j -> ( ( A ` i ) .- ( A ` j ) ) = ( ( B ` i ) .- ( B ` j ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   < clt 10074   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  cgrGccgrg 25405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-trkgc 25347  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-cgrg 25406

This theorem is referenced by:  tgcgr4  25426