Theorem trgcgrg 25410

Description: The property for two triangles to be congruent to each other. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
trgcgrg.p	|- P = ( Base ` G )
trgcgrg.m	|- .- = ( dist ` G )
trgcgrg.r	|- .~ = (cgrG ` G )
trgcgrg.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
trgcgrg.a	|- ( ph -> A e. P )
trgcgrg.b	|- ( ph -> B e. P )
trgcgrg.c	|- ( ph -> C e. P )
trgcgrg.d	|- ( ph -> D e. P )
trgcgrg.e	|- ( ph -> E e. P )
trgcgrg.f	|- ( ph -> F e. P )

Assertion

Ref	Expression
trgcgrg	|- ( ph -> ( <" A B C "> .~ <" D E F "> <-> ( ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) ) )

Proof of Theorem trgcgrg

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trgcgrg.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. P )
2		trgcgrg.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. P )
3		trgcgrg.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. P )
4	1, 2, 3	s3cld 13617	. . . . . 6 |- ( ph -> <" A B C "> e. Word P )
5		wrdf 13310	. . . . . 6 |- ( <" A B C "> e. Word P -> <" A B C "> : ( 0..^ ( # ` <" A B C "> ) ) --> P )
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> <" A B C "> : ( 0..^ ( # ` <" A B C "> ) ) --> P )
7		s3len 13639	. . . . . . . 8 |- ( # ` <" A B C "> ) = 3
8	7	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( 0..^ ( # ` <" A B C "> ) ) = ( 0..^ 3 )
9		fzo0to3tp 12554	. . . . . . 7 |- ( 0..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 }
10	8, 9	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( 0..^ ( # ` <" A B C "> ) ) = { 0 , 1 , 2 }
11	10	feq2i 6037	. . . . 5 |- ( <" A B C "> : ( 0..^ ( # ` <" A B C "> ) ) --> P <-> <" A B C "> : { 0 , 1 , 2 } --> P )
12	6, 11	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> <" A B C "> : { 0 , 1 , 2 } --> P )
13		fdm 6051	. . . 4 |- ( <" A B C "> : { 0 , 1 , 2 } --> P -> dom <" A B C "> = { 0 , 1 , 2 } )
14	12, 13	syl 17	. . 3 |- ( ph -> dom <" A B C "> = { 0 , 1 , 2 } )
15	14	raleqdv 3144	. . 3 |- ( ph -> ( A. j e. dom <" A B C "> ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) <-> A. j e. { 0 , 1 , 2 } ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) ) )
16	14, 15	raleqbidv 3152	. 2 |- ( ph -> ( A. i e. dom <" A B C "> A. j e. dom <" A B C "> ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) <-> A. i e. { 0 , 1 , 2 } A. j e. { 0 , 1 , 2 } ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) ) )
17		trgcgrg.p	. . 3 |- P = ( Base ` G )
18		trgcgrg.m	. . 3 |- .- = ( dist ` G )
19		trgcgrg.r	. . 3 |- .~ = (cgrG ` G )
20		trgcgrg.g	. . 3 |- ( ph -> G e. TarskiG )
21		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
22		1re 10039	. . . . 5 |- 1 e. RR
23		2re 11090	. . . . 5 |- 2 e. RR
24		tpssi 4369	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ 2 e. RR ) -> { 0 , 1 , 2 } C_ RR )
25	21, 22, 23, 24	mp3an 1424	. . . 4 |- { 0 , 1 , 2 } C_ RR
26	25	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { 0 , 1 , 2 } C_ RR )
27		trgcgrg.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. P )
28		trgcgrg.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. P )
29		trgcgrg.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. P )
30	27, 28, 29	s3cld 13617	. . . . 5 |- ( ph -> <" D E F "> e. Word P )
31		wrdf 13310	. . . . 5 |- ( <" D E F "> e. Word P -> <" D E F "> : ( 0..^ ( # ` <" D E F "> ) ) --> P )
32	30, 31	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> <" D E F "> : ( 0..^ ( # ` <" D E F "> ) ) --> P )
33		s3len 13639	. . . . . . 7 |- ( # ` <" D E F "> ) = 3
34	33	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( 0..^ ( # ` <" D E F "> ) ) = ( 0..^ 3 )
35	34, 9	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( 0..^ ( # ` <" D E F "> ) ) = { 0 , 1 , 2 }
36	35	feq2i 6037	. . . 4 |- ( <" D E F "> : ( 0..^ ( # ` <" D E F "> ) ) --> P <-> <" D E F "> : { 0 , 1 , 2 } --> P )
37	32, 36	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> <" D E F "> : { 0 , 1 , 2 } --> P )
38	17, 18, 19, 20, 26, 12, 37	iscgrgd 25408	. 2 |- ( ph -> ( <" A B C "> .~ <" D E F "> <-> A. i e. dom <" A B C "> A. j e. dom <" A B C "> ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) ) )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( j = 0 -> ( <" A B C "> ` j ) = ( <" A B C "> ` 0 ) )
40		s3fv0 13636	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. P -> ( <" A B C "> ` 0 ) = A )
41	1, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( <" A B C "> ` 0 ) = A )
42	39, 41	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j = 0 ) -> ( <" A B C "> ` j ) = A )
43	42	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j = 0 ) -> ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" A B C "> ` i ) .- A ) )
44		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( j = 0 -> ( <" D E F "> ` j ) = ( <" D E F "> ` 0 ) )
45		s3fv0 13636	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. P -> ( <" D E F "> ` 0 ) = D )
46	27, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( <" D E F "> ` 0 ) = D )
47	44, 46	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j = 0 ) -> ( <" D E F "> ` j ) = D )
48	47	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j = 0 ) -> ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- D ) )
49	43, 48	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j = 0 ) -> ( ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) <-> ( ( <" A B C "> ` i ) .- A ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- D ) ) )
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( j = 1 -> ( <" A B C "> ` j ) = ( <" A B C "> ` 1 ) )
51		s3fv1 13637	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. P -> ( <" A B C "> ` 1 ) = B )
52	2, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( <" A B C "> ` 1 ) = B )
53	50, 52	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j = 1 ) -> ( <" A B C "> ` j ) = B )
54	53	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j = 1 ) -> ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" A B C "> ` i ) .- B ) )
55		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( j = 1 -> ( <" D E F "> ` j ) = ( <" D E F "> ` 1 ) )
56		s3fv1 13637	. . . . . . . . . . 11 |- ( E e. P -> ( <" D E F "> ` 1 ) = E )
57	28, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( <" D E F "> ` 1 ) = E )
58	55, 57	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j = 1 ) -> ( <" D E F "> ` j ) = E )
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j = 1 ) -> ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- E ) )
60	54, 59	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j = 1 ) -> ( ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) <-> ( ( <" A B C "> ` i ) .- B ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- E ) ) )
61		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( j = 2 -> ( <" A B C "> ` j ) = ( <" A B C "> ` 2 ) )
62		s3fv2 13638	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. P -> ( <" A B C "> ` 2 ) = C )
63	3, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( <" A B C "> ` 2 ) = C )
64	61, 63	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j = 2 ) -> ( <" A B C "> ` j ) = C )
65	64	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j = 2 ) -> ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" A B C "> ` i ) .- C ) )
66		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( j = 2 -> ( <" D E F "> ` j ) = ( <" D E F "> ` 2 ) )
67		s3fv2 13638	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. P -> ( <" D E F "> ` 2 ) = F )
68	29, 67	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( <" D E F "> ` 2 ) = F )
69	66, 68	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j = 2 ) -> ( <" D E F "> ` j ) = F )
70	69	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j = 2 ) -> ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- F ) )
71	65, 70	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j = 2 ) -> ( ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) <-> ( ( <" A B C "> ` i ) .- C ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- F ) ) )
72		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
73		1red 10055	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. RR )
74	23	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. RR )
75	49, 60, 71, 72, 73, 74	raltpd 4315	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. j e. { 0 , 1 , 2 } ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) <-> ( ( ( <" A B C "> ` i ) .- A ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- D ) /\ ( ( <" A B C "> ` i ) .- B ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- E ) /\ ( ( <" A B C "> ` i ) .- C ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- F ) ) ) )
76	75	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( A. j e. { 0 , 1 , 2 } ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) <-> ( ( ( <" A B C "> ` i ) .- A ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- D ) /\ ( ( <" A B C "> ` i ) .- B ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- E ) /\ ( ( <" A B C "> ` i ) .- C ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- F ) ) ) )
77		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( i = 0 -> ( <" A B C "> ` i ) = ( <" A B C "> ` 0 ) )
78	77	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( <" A B C "> ` i ) = ( <" A B C "> ` 0 ) )
79	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( <" A B C "> ` 0 ) = A )
80	78, 79	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> A = ( <" A B C "> ` i ) )
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( A .- A ) = ( ( <" A B C "> ` i ) .- A ) )
82		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( i = 0 -> ( <" D E F "> ` i ) = ( <" D E F "> ` 0 ) )
83	82	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( <" D E F "> ` i ) = ( <" D E F "> ` 0 ) )
84	46	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( <" D E F "> ` 0 ) = D )
85	83, 84	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> D = ( <" D E F "> ` i ) )
86	85	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( D .- D ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- D ) )
87	81, 86	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( ( A .- A ) = ( D .- D ) <-> ( ( <" A B C "> ` i ) .- A ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- D ) ) )
88	80	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( A .- B ) = ( ( <" A B C "> ` i ) .- B ) )
89	85	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( D .- E ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- E ) )
90	88, 89	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( ( A .- B ) = ( D .- E ) <-> ( ( <" A B C "> ` i ) .- B ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- E ) ) )
91	80	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( A .- C ) = ( ( <" A B C "> ` i ) .- C ) )
92	85	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( D .- F ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- F ) )
93	91, 92	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( ( A .- C ) = ( D .- F ) <-> ( ( <" A B C "> ` i ) .- C ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- F ) ) )
94	87, 90, 93	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( ( ( A .- A ) = ( D .- D ) /\ ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( A .- C ) = ( D .- F ) ) <-> ( ( ( <" A B C "> ` i ) .- A ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- D ) /\ ( ( <" A B C "> ` i ) .- B ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- E ) /\ ( ( <" A B C "> ` i ) .- C ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- F ) ) ) )
95	76, 94	bitr4d 271	. . . 4 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( A. j e. { 0 , 1 , 2 } ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) <-> ( ( A .- A ) = ( D .- D ) /\ ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( A .- C ) = ( D .- F ) ) ) )
96	75	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( A. j e. { 0 , 1 , 2 } ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) <-> ( ( ( <" A B C "> ` i ) .- A ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- D ) /\ ( ( <" A B C "> ` i ) .- B ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- E ) /\ ( ( <" A B C "> ` i ) .- C ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- F ) ) ) )
97		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( i = 1 -> ( <" A B C "> ` i ) = ( <" A B C "> ` 1 ) )
98	97	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( <" A B C "> ` i ) = ( <" A B C "> ` 1 ) )
99	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( <" A B C "> ` 1 ) = B )
100	98, 99	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> B = ( <" A B C "> ` i ) )
101	100	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( B .- A ) = ( ( <" A B C "> ` i ) .- A ) )
102		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( i = 1 -> ( <" D E F "> ` i ) = ( <" D E F "> ` 1 ) )
103	102	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( <" D E F "> ` i ) = ( <" D E F "> ` 1 ) )
104	57	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( <" D E F "> ` 1 ) = E )
105	103, 104	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> E = ( <" D E F "> ` i ) )
106	105	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( E .- D ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- D ) )
107	101, 106	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( ( B .- A ) = ( E .- D ) <-> ( ( <" A B C "> ` i ) .- A ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- D ) ) )
108	100	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( B .- B ) = ( ( <" A B C "> ` i ) .- B ) )
109	105	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( E .- E ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- E ) )
110	108, 109	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( ( B .- B ) = ( E .- E ) <-> ( ( <" A B C "> ` i ) .- B ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- E ) ) )
111	100	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( B .- C ) = ( ( <" A B C "> ` i ) .- C ) )
112	105	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( E .- F ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- F ) )
113	111, 112	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( ( B .- C ) = ( E .- F ) <-> ( ( <" A B C "> ` i ) .- C ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- F ) ) )
114	107, 110, 113	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( ( ( B .- A ) = ( E .- D ) /\ ( B .- B ) = ( E .- E ) /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) ) <-> ( ( ( <" A B C "> ` i ) .- A ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- D ) /\ ( ( <" A B C "> ` i ) .- B ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- E ) /\ ( ( <" A B C "> ` i ) .- C ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- F ) ) ) )
115	96, 114	bitr4d 271	. . . 4 |- ( ( ph /\ i = 1 ) -> ( A. j e. { 0 , 1 , 2 } ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) <-> ( ( B .- A ) = ( E .- D ) /\ ( B .- B ) = ( E .- E ) /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) ) ) )
116	75	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( A. j e. { 0 , 1 , 2 } ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) <-> ( ( ( <" A B C "> ` i ) .- A ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- D ) /\ ( ( <" A B C "> ` i ) .- B ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- E ) /\ ( ( <" A B C "> ` i ) .- C ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- F ) ) ) )
117		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( i = 2 -> ( <" A B C "> ` i ) = ( <" A B C "> ` 2 ) )
118	117	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( <" A B C "> ` i ) = ( <" A B C "> ` 2 ) )
119	63	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( <" A B C "> ` 2 ) = C )
120	118, 119	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> C = ( <" A B C "> ` i ) )
121	120	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( C .- A ) = ( ( <" A B C "> ` i ) .- A ) )
122		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( i = 2 -> ( <" D E F "> ` i ) = ( <" D E F "> ` 2 ) )
123	122	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( <" D E F "> ` i ) = ( <" D E F "> ` 2 ) )
124	68	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( <" D E F "> ` 2 ) = F )
125	123, 124	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> F = ( <" D E F "> ` i ) )
126	125	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( F .- D ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- D ) )
127	121, 126	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( ( C .- A ) = ( F .- D ) <-> ( ( <" A B C "> ` i ) .- A ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- D ) ) )
128	120	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( C .- B ) = ( ( <" A B C "> ` i ) .- B ) )
129	125	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( F .- E ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- E ) )
130	128, 129	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( ( C .- B ) = ( F .- E ) <-> ( ( <" A B C "> ` i ) .- B ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- E ) ) )
131	120	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( C .- C ) = ( ( <" A B C "> ` i ) .- C ) )
132	125	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( F .- F ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- F ) )
133	131, 132	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( ( C .- C ) = ( F .- F ) <-> ( ( <" A B C "> ` i ) .- C ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- F ) ) )
134	127, 130, 133	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( ( ( C .- A ) = ( F .- D ) /\ ( C .- B ) = ( F .- E ) /\ ( C .- C ) = ( F .- F ) ) <-> ( ( ( <" A B C "> ` i ) .- A ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- D ) /\ ( ( <" A B C "> ` i ) .- B ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- E ) /\ ( ( <" A B C "> ` i ) .- C ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- F ) ) ) )
135	116, 134	bitr4d 271	. . . 4 |- ( ( ph /\ i = 2 ) -> ( A. j e. { 0 , 1 , 2 } ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) <-> ( ( C .- A ) = ( F .- D ) /\ ( C .- B ) = ( F .- E ) /\ ( C .- C ) = ( F .- F ) ) ) )
136	95, 115, 135, 72, 73, 74	raltpd 4315	. . 3 |- ( ph -> ( A. i e. { 0 , 1 , 2 } A. j e. { 0 , 1 , 2 } ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) <-> ( ( ( A .- A ) = ( D .- D ) /\ ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( A .- C ) = ( D .- F ) ) /\ ( ( B .- A ) = ( E .- D ) /\ ( B .- B ) = ( E .- E ) /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) ) /\ ( ( C .- A ) = ( F .- D ) /\ ( C .- B ) = ( F .- E ) /\ ( C .- C ) = ( F .- F ) ) ) ) )
137		an33rean 1446	. . . 4 |- ( ( ( ( A .- A ) = ( D .- D ) /\ ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( A .- C ) = ( D .- F ) ) /\ ( ( B .- A ) = ( E .- D ) /\ ( B .- B ) = ( E .- E ) /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) ) /\ ( ( C .- A ) = ( F .- D ) /\ ( C .- B ) = ( F .- E ) /\ ( C .- C ) = ( F .- F ) ) ) <-> ( ( ( A .- A ) = ( D .- D ) /\ ( B .- B ) = ( E .- E ) /\ ( C .- C ) = ( F .- F ) ) /\ ( ( ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( B .- A ) = ( E .- D ) ) /\ ( ( B .- C ) = ( E .- F ) /\ ( C .- B ) = ( F .- E ) ) /\ ( ( A .- C ) = ( D .- F ) /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) ) ) )
138		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (Itv ` G ) = (Itv ` G )
139	17, 18, 138, 20, 1, 27	tgcgrtriv 25379	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A .- A ) = ( D .- D ) )
140	17, 18, 138, 20, 2, 28	tgcgrtriv 25379	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B .- B ) = ( E .- E ) )
141	17, 18, 138, 20, 3, 29	tgcgrtriv 25379	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C .- C ) = ( F .- F ) )
142	139, 140, 141	3jca 1242	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A .- A ) = ( D .- D ) /\ ( B .- B ) = ( E .- E ) /\ ( C .- C ) = ( F .- F ) ) )
143	142	biantrurd 529	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( B .- A ) = ( E .- D ) ) /\ ( ( B .- C ) = ( E .- F ) /\ ( C .- B ) = ( F .- E ) ) /\ ( ( A .- C ) = ( D .- F ) /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) ) <-> ( ( ( A .- A ) = ( D .- D ) /\ ( B .- B ) = ( E .- E ) /\ ( C .- C ) = ( F .- F ) ) /\ ( ( ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( B .- A ) = ( E .- D ) ) /\ ( ( B .- C ) = ( E .- F ) /\ ( C .- B ) = ( F .- E ) ) /\ ( ( A .- C ) = ( D .- F ) /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) ) ) ) )
144		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( B .- A ) = ( E .- D ) ) ) -> ( A .- B ) = ( D .- E ) )
145		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( A .- B ) = ( D .- E ) ) -> ( A .- B ) = ( D .- E ) )
146	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A .- B ) = ( D .- E ) ) -> G e. TarskiG )
147	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A .- B ) = ( D .- E ) ) -> A e. P )
148	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A .- B ) = ( D .- E ) ) -> B e. P )
149	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A .- B ) = ( D .- E ) ) -> D e. P )
150	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A .- B ) = ( D .- E ) ) -> E e. P )
151	17, 18, 138, 146, 147, 148, 149, 150, 145	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( A .- B ) = ( D .- E ) ) -> ( B .- A ) = ( E .- D ) )
152	145, 151	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A .- B ) = ( D .- E ) ) -> ( ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( B .- A ) = ( E .- D ) ) )
153	144, 152	impbida 877	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( B .- A ) = ( E .- D ) ) <-> ( A .- B ) = ( D .- E ) ) )
154		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( B .- C ) = ( E .- F ) /\ ( C .- B ) = ( F .- E ) ) ) -> ( B .- C ) = ( E .- F ) )
155		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) ) -> ( B .- C ) = ( E .- F ) )
156	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) ) -> G e. TarskiG )
157	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) ) -> B e. P )
158	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) ) -> C e. P )
159	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) ) -> E e. P )
160	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) ) -> F e. P )
161	17, 18, 138, 156, 157, 158, 159, 160, 155	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) ) -> ( C .- B ) = ( F .- E ) )
162	155, 161	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) ) -> ( ( B .- C ) = ( E .- F ) /\ ( C .- B ) = ( F .- E ) ) )
163	154, 162	impbida 877	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( B .- C ) = ( E .- F ) /\ ( C .- B ) = ( F .- E ) ) <-> ( B .- C ) = ( E .- F ) ) )
164		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( A .- C ) = ( D .- F ) /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) ) -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
165	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) -> G e. TarskiG )
166	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) -> C e. P )
167	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) -> A e. P )
168	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) -> F e. P )
169	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) -> D e. P )
170		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
171	17, 18, 138, 165, 166, 167, 168, 169, 170	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )
172	171, 170	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) -> ( ( A .- C ) = ( D .- F ) /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) )
173	164, 172	impbida 877	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A .- C ) = ( D .- F ) /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) <-> ( C .- A ) = ( F .- D ) ) )
174	153, 163, 173	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( B .- A ) = ( E .- D ) ) /\ ( ( B .- C ) = ( E .- F ) /\ ( C .- B ) = ( F .- E ) ) /\ ( ( A .- C ) = ( D .- F ) /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) ) <-> ( ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) ) )
175	143, 174	bitr3d 270	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( A .- A ) = ( D .- D ) /\ ( B .- B ) = ( E .- E ) /\ ( C .- C ) = ( F .- F ) ) /\ ( ( ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( B .- A ) = ( E .- D ) ) /\ ( ( B .- C ) = ( E .- F ) /\ ( C .- B ) = ( F .- E ) ) /\ ( ( A .- C ) = ( D .- F ) /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) ) ) <-> ( ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) ) )
176	137, 175	syl5bb 272	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( A .- A ) = ( D .- D ) /\ ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( A .- C ) = ( D .- F ) ) /\ ( ( B .- A ) = ( E .- D ) /\ ( B .- B ) = ( E .- E ) /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) ) /\ ( ( C .- A ) = ( F .- D ) /\ ( C .- B ) = ( F .- E ) /\ ( C .- C ) = ( F .- F ) ) ) <-> ( ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) ) )
177	136, 176	bitr2d 269	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) <-> A. i e. { 0 , 1 , 2 } A. j e. { 0 , 1 , 2 } ( ( <" A B C "> ` i ) .- ( <" A B C "> ` j ) ) = ( ( <" D E F "> ` i ) .- ( <" D E F "> ` j ) ) ) )
178	16, 38, 177	3bitr4d 300	1 |- ( ph -> ( <" A B C "> .~ <" D E F "> <-> ( ( A .- B ) = ( D .- E ) /\ ( B .- C ) = ( E .- F ) /\ ( C .- A ) = ( F .- D ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   {ctp 4181   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   2c2 11070   3c3 11071  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   <"cs3 13587   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  cgrGccgrg 25405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-cgrg 25406

This theorem is referenced by:  trgcgr  25411  cgr3simp1  25415  cgr3simp2  25416  cgr3simp3  25417  cgraswap  25712