Theorem isfiniteg 8220

Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 3-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfiniteg	|- ( om e. _V -> ( A e. Fin <-> A ~< om ) )

Proof of Theorem isfiniteg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7979	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
2		nnsdomg 8219	. . . . 5 |- ( ( om e. _V /\ x e. om ) -> x ~< om )
3		sdomen1 8104	. . . . 5 |- ( A ~~ x -> ( A ~< om <-> x ~< om ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( ( om e. _V /\ x e. om ) -> ( A ~~ x -> A ~< om ) )
5	4	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( om e. _V -> ( E. x e. om A ~~ x -> A ~< om ) )
6	1, 5	syl5bi 232	. 2 |- ( om e. _V -> ( A e. Fin -> A ~< om ) )
7		isfinite2 8218	. 2 |- ( A ~< om -> A e. Fin )
8	6, 7	impbid1 215	1 |- ( om e. _V -> ( A e. Fin <-> A ~< om ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~< csdm 7954   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  unfi2  8229  unifi2  8256  isfinite  8549  axcclem  9279