Theorem isfinite2 8218

Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite2	|- ( A ~< om -> A e. Fin )

Proof of Theorem isfinite2

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 7962	. . 3 |- Rel ~<
2	1	brrelex2i 5159	. 2 |- ( A ~< om -> om e. _V )
3		sdomdom 7983	. . . 4 |- ( A ~< om -> A ~<_ om )
4		domeng 7969	. . . 4 |- ( om e. _V -> ( A ~<_ om <-> E. y ( A ~~ y /\ y C_ om ) ) )
5	3, 4	syl5ib 234	. . 3 |- ( om e. _V -> ( A ~< om -> E. y ( A ~~ y /\ y C_ om ) ) )
6		ensym 8005	. . . . . . . . . . 11 |- ( A ~~ y -> y ~~ A )
7	6	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ~< om /\ ( A ~~ y /\ y C_ om ) ) -> y ~~ A )
8		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ~< om /\ ( A ~~ y /\ y C_ om ) ) -> A ~< om )
9		ensdomtr 8096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y ~~ A /\ A ~< om ) -> y ~< om )
10	7, 8, 9	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ~< om /\ ( A ~~ y /\ y C_ om ) ) -> y ~< om )
11		sdomnen 7984	. . . . . . . . 9 |- ( y ~< om -> -. y ~~ om )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( A ~< om /\ ( A ~~ y /\ y C_ om ) ) -> -. y ~~ om )
13		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ~~ y /\ y C_ om ) -> y C_ om )
14		unbnn 8216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( om e. _V /\ y C_ om /\ A. z e. om E. w e. y z e. w ) -> y ~~ om )
15	14	3expia 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( om e. _V /\ y C_ om ) -> ( A. z e. om E. w e. y z e. w -> y ~~ om ) )
16	2, 13, 15	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( A ~< om /\ ( A ~~ y /\ y C_ om ) ) -> ( A. z e. om E. w e. y z e. w -> y ~~ om ) )
17	12, 16	mtod 189	. . . . . . 7 |- ( ( A ~< om /\ ( A ~~ y /\ y C_ om ) ) -> -. A. z e. om E. w e. y z e. w )
18		rexnal 2995	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. om -. E. w e. y z e. w <-> -. A. z e. om E. w e. y z e. w )
19		omsson 7069	. . . . . . . . . . . . 13 |- om C_ On
20		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y C_ om /\ om C_ On ) -> y C_ On )
21	19, 20	mpan2 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ om -> y C_ On )
22		nnord 7073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. om -> Ord z )
23		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y C_ On /\ w e. y ) -> w e. On )
24		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- w e. _V
25	24	elon 5732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. On <-> Ord w )
26	23, 25	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y C_ On /\ w e. y ) -> Ord w )
27		ordtri1 5756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Ord w /\ Ord z ) -> ( w C_ z <-> -. z e. w ) )
28	26, 27	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y C_ On /\ w e. y ) /\ Ord z ) -> ( w C_ z <-> -. z e. w ) )
29	28	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y C_ On /\ Ord z ) /\ w e. y ) -> ( w C_ z <-> -. z e. w ) )
30	29	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y C_ On /\ Ord z ) -> ( A. w e. y w C_ z <-> A. w e. y -. z e. w ) )
31		unissb 4469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. y C_ z <-> A. w e. y w C_ z )
32		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. y -. z e. w <-> -. E. w e. y z e. w )
33	32	bicomi 214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. E. w e. y z e. w <-> A. w e. y -. z e. w )
34	30, 31, 33	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y C_ On /\ Ord z ) -> ( U. y C_ z <-> -. E. w e. y z e. w ) )
35		ordunisssuc 5830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y C_ On /\ Ord z ) -> ( U. y C_ z <-> y C_ suc z ) )
36	34, 35	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y C_ On /\ Ord z ) -> ( -. E. w e. y z e. w <-> y C_ suc z ) )
37	21, 22, 36	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ om /\ z e. om ) -> ( -. E. w e. y z e. w <-> y C_ suc z ) )
38		peano2b 7081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. om <-> suc z e. om )
39		ssnnfi 8179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( suc z e. om /\ y C_ suc z ) -> y e. Fin )
40	38, 39	sylanb 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. om /\ y C_ suc z ) -> y e. Fin )
41	40	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. om -> ( y C_ suc z -> y e. Fin ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ om /\ z e. om ) -> ( y C_ suc z -> y e. Fin ) )
43	37, 42	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ om /\ z e. om ) -> ( -. E. w e. y z e. w -> y e. Fin ) )
44	43	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ om -> ( E. z e. om -. E. w e. y z e. w -> y e. Fin ) )
45	18, 44	syl5bir 233	. . . . . . . 8 |- ( y C_ om -> ( -. A. z e. om E. w e. y z e. w -> y e. Fin ) )
46	45	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( A ~< om /\ ( A ~~ y /\ y C_ om ) ) -> ( -. A. z e. om E. w e. y z e. w -> y e. Fin ) )
47	17, 46	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( A ~< om /\ ( A ~~ y /\ y C_ om ) ) -> y e. Fin )
48		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( A ~< om /\ ( A ~~ y /\ y C_ om ) ) -> A ~~ y )
49		enfii 8177	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ A ~~ y ) -> A e. Fin )
50	47, 48, 49	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A ~< om /\ ( A ~~ y /\ y C_ om ) ) -> A e. Fin )
51	50	ex 450	. . . 4 |- ( A ~< om -> ( ( A ~~ y /\ y C_ om ) -> A e. Fin ) )
52	51	exlimdv 1861	. . 3 |- ( A ~< om -> ( E. y ( A ~~ y /\ y C_ om ) -> A e. Fin ) )
53	5, 52	sylcom 30	. 2 |- ( om e. _V -> ( A ~< om -> A e. Fin ) )
54	2, 53	mpcom 38	1 |- ( A ~< om -> A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  isfiniteg  8220  unfi2  8229  unifi2  8256  axcclem  9279  dirith2  25217  padct  29497  volmeas  30294  axccdom  39416  axccd2  39430