Theorem iblcnlem1 23554

Description: Lemma for iblcnlem 23555. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgcnlem.r	|- R = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) )
itgcnlem.s	|- S = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) )
itgcnlem.t	|- T = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) )
itgcnlem.u	|- U = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) )
itgcnlem1.v	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
iblcnlem1	|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   R( x)   S( x)   T( x)   U( x)

Proof of Theorem iblcnlem1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
2		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) )
3		itgcnlem1.v	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
4	1, 2, 3	isibl2 23533	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
5		c0ex 10034	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
6		1ex 10035	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
7		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . 11 |- _i e. CC
8		exp0 12864	. . . . . . . . . . 11 |- ( _i e. CC -> ( _i ^ 0 ) = 1 )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( _i ^ 0 ) = 1
10	9	itgvallem 23551	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) )
11	10	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
12		exp1 12866	. . . . . . . . . . 11 |- ( _i e. CC -> ( _i ^ 1 ) = _i )
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( _i ^ 1 ) = _i
14	13	itgvallem 23551	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) )
15	14	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( k = 1 -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
16	5, 6, 11, 15	ralpr 4238	. . . . . . 7 |- ( A. k e. { 0 , 1 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
17	3	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B / 1 ) = B )
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( B / 1 ) ) = ( Re ` B ) )
19	18	ibllem 23531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) )
20	19	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) )
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) ) )
22		itgcnlem.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) )
23	21, 22	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) = R )
24	23	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> R e. RR ) )
25		itgcnlem.t	. . . . . . . . . 10 |- T = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) )
26		imval 13847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) = ( Re ` ( B / _i ) ) )
27	3, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) = ( Re ` ( B / _i ) ) )
28	27	ibllem 23531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) )
29	28	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Im ` B ) ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) )
31	25, 30	syl5req 2669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) = T )
32	31	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> T e. RR ) )
33	24, 32	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / _i ) ) ) , ( Re ` ( B / _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( R e. RR /\ T e. RR ) ) )
34	16, 33	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. k e. { 0 , 1 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( R e. RR /\ T e. RR ) ) )
35		2ex 11092	. . . . . . . 8 |- 2 e. _V
36		3ex 11096	. . . . . . . 8 |- 3 e. _V
37		i2 12965	. . . . . . . . . 10 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
38	37	itgvallem 23551	. . . . . . . . 9 |- ( k = 2 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) )
39	38	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( k = 2 -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
40		i3 12966	. . . . . . . . . 10 |- ( _i ^ 3 ) = -u _i
41	40	itgvallem 23551	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) )
42	41	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( k = 3 -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
43	35, 36, 39, 42	ralpr 4238	. . . . . . 7 |- ( A. k e. { 2 , 3 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
44		itgcnlem.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) )
45	3	renegd 13949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` -u B ) = -u ( Re ` B ) )
46		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
47	46	negnegi 10351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u -u 1 = 1
48	47	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u B / -u -u 1 ) = ( -u B / 1 )
49	3	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B e. CC )
50	49	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u B / 1 ) = -u B )
51	48, 50	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u B / -u -u 1 ) = -u B )
52	46	negcli 10349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u 1 e. CC
53		neg1ne0 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u 1 =/= 0
54		div2neg 10748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. CC /\ -u 1 e. CC /\ -u 1 =/= 0 ) -> ( -u B / -u -u 1 ) = ( B / -u 1 ) )
55	52, 53, 54	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. CC -> ( -u B / -u -u 1 ) = ( B / -u 1 ) )
56	3, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u B / -u -u 1 ) = ( B / -u 1 ) )
57	51, 56	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B = ( B / -u 1 ) )
58	57	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` -u B ) = ( Re ` ( B / -u 1 ) ) )
59	45, 58	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Re ` B ) = ( Re ` ( B / -u 1 ) ) )
60	59	ibllem 23531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) )
61	60	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) )
62	61	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Re ` B ) ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) )
63	44, 62	syl5req 2669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) = S )
64	63	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> S e. RR ) )
65		itgcnlem.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) )
66		imval 13847	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u B e. CC -> ( Im ` -u B ) = ( Re ` ( -u B / _i ) ) )
67	49, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` -u B ) = ( Re ` ( -u B / _i ) ) )
68	3	imnegd 13950	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` -u B ) = -u ( Im ` B ) )
69	7	negnegi 10351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u -u _i = _i
70	69	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- _i = -u -u _i
71	70	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u B / _i ) = ( -u B / -u -u _i )
72	7	negcli 10349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u _i e. CC
73		ine0 10465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- _i =/= 0
74	7, 73	negne0i 10356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u _i =/= 0
75		div2neg 10748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. CC /\ -u _i e. CC /\ -u _i =/= 0 ) -> ( -u B / -u -u _i ) = ( B / -u _i ) )
76	72, 74, 75	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. CC -> ( -u B / -u -u _i ) = ( B / -u _i ) )
77	3, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u B / -u -u _i ) = ( B / -u _i ) )
78	71, 77	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( -u B / _i ) = ( B / -u _i ) )
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( -u B / _i ) ) = ( Re ` ( B / -u _i ) ) )
80	67, 68, 79	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Im ` B ) = ( Re ` ( B / -u _i ) ) )
81	80	ibllem 23531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) )
82	81	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( Im ` B ) ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) )
84	65, 83	syl5req 2669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) = U )
85	84	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> U e. RR ) )
86	64, 85	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u 1 ) ) ) , ( Re ` ( B / -u 1 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / -u _i ) ) ) , ( Re ` ( B / -u _i ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( S e. RR /\ U e. RR ) ) )
87	43, 86	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. k e. { 2 , 3 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S e. RR /\ U e. RR ) ) )
88	34, 87	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A. k e. { 0 , 1 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ A. k e. { 2 , 3 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( ( R e. RR /\ T e. RR ) /\ ( S e. RR /\ U e. RR ) ) ) )
89		1le3 11244	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 3
90		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
91		3z 11410	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. ZZ
92		elfz5 12334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ 3 e. ZZ ) -> ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> 1 <_ 3 ) )
93	90, 91, 92	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> 1 <_ 3 )
94	89, 93	mpbir 221	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
95		fzsplit 12367	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) -> ( 0 ... 3 ) = ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) ) )
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 3 ) = ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) )
97		0z 11388	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
98		fzpr 12396	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) } )
99	97, 98	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) }
100		1e0p1 11552	. . . . . . . . . . 11 |- 1 = ( 0 + 1 )
101	100	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... 1 ) = ( 0 ... ( 0 + 1 ) )
102	100	preq2i 4272	. . . . . . . . . 10 |- { 0 , 1 } = { 0 , ( 0 + 1 ) }
103	99, 101, 102	3eqtr4i 2654	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... 1 ) = { 0 , 1 }
104		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
105		fzpr 12396	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) } )
106	104, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
107		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 + 1 ) = 2
108		df-3 11080	. . . . . . . . . . 11 |- 3 = ( 2 + 1 )
109	107, 108	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) = ( 2 ... ( 2 + 1 ) )
110	108	preq2i 4272	. . . . . . . . . 10 |- { 2 , 3 } = { 2 , ( 2 + 1 ) }
111	106, 109, 110	3eqtr4i 2654	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) = { 2 , 3 }
112	103, 111	uneq12i 3765	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )
113	96, 112	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( 0 ... 3 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )
114	113	raleqi 3142	. . . . . 6 |- ( A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> A. k e. ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
115		ralunb 3794	. . . . . 6 |- ( A. k e. ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( A. k e. { 0 , 1 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ A. k e. { 2 , 3 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
116	114, 115	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( A. k e. { 0 , 1 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ A. k e. { 2 , 3 } ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
117		an4 865	. . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) <-> ( ( R e. RR /\ T e. RR ) /\ ( S e. RR /\ U e. RR ) ) )
118	88, 116, 117	3bitr4g 303	. . . 4 |- ( ph -> ( A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) )
119	118	anbi2d 740	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) ) )
120		3anass 1042	. . 3 |- ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) )
121	119, 120	syl6bbr 278	. 2 |- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) )
122	4, 121	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( R e. RR /\ S e. RR ) /\ ( T e. RR /\ U e. RR ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   u. cun 3572   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   Recre 13837   Imcim 13838  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-ibl 23391

This theorem is referenced by:  iblcnlem  23555  iblcn  23565  bddiblnc  33480