Theorem iblss2 23572

Description: Change the domain of an integrability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblss2.1	|- ( ph -> A C_ B )
iblss2.2	|- ( ph -> B e. dom vol )
iblss2.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. V )
iblss2.4	|- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
iblss2.5	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
iblss2	|- ( ph -> ( x e. B |-> C ) e. L^1 )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x   x, V

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem iblss2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblss2.1	. . 3 |- ( ph -> A C_ B )
2		iblss2.2	. . 3 |- ( ph -> B e. dom vol )
3		iblss2.3	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. V )
4		iblss2.4	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
5		iblss2.5	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
6		iblmbf 23534	. . . 4 |- ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )
7	5, 6	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )
8	1, 2, 3, 4, 7	mbfss 23413	. 2 |- ( ph -> ( x e. B |-> C ) e. MblFn )
9	1	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> A C_ B )
10	9	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> x e. B )
11	10	iftrued 4094	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
12		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
13	12	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
14	11, 13	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) )
15		ifid 4125	. . . . . . . . 9 |- if ( x e. B , 0 , 0 ) = 0
16		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) /\ x e. B ) -> ph )
17		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) /\ x e. B ) -> x e. B )
18		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) /\ x e. B ) -> -. x e. A )
19	17, 18	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) /\ x e. B ) -> x e. ( B \ A ) )
20	16, 19, 4	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) /\ x e. B ) -> C = 0 )
21	20	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) /\ x e. B ) -> ( C / ( _i ^ k ) ) = ( 0 / ( _i ^ k ) ) )
22		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) /\ x e. B ) -> k e. ( 0 ... 3 ) )
23		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. ZZ )
24		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- _i e. CC
25		ine0 10465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- _i =/= 0
26		expclz 12885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 /\ k e. ZZ ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
27		expne0i 12892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 /\ k e. ZZ ) -> ( _i ^ k ) =/= 0 )
28	26, 27	div0d 10800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 /\ k e. ZZ ) -> ( 0 / ( _i ^ k ) ) = 0 )
29	24, 25, 28	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( 0 / ( _i ^ k ) ) = 0 )
30	22, 23, 29	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) /\ x e. B ) -> ( 0 / ( _i ^ k ) ) = 0 )
31	21, 30	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) /\ x e. B ) -> ( C / ( _i ^ k ) ) = 0 )
32	31	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) /\ x e. B ) -> ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` 0 ) )
33		re0 13892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Re ` 0 ) = 0
34	32, 33	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) /\ x e. B ) -> ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) = 0 )
35	34	ifeq1d 4104	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) /\ x e. B ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 , 0 ) )
36		ifid 4125	. . . . . . . . . . 11 |- if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 , 0 ) = 0
37	35, 36	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) /\ x e. B ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = 0 )
38	37	ifeq1da 4116	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) -> if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( x e. B , 0 , 0 ) )
39		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
41	15, 38, 40	3eqtr4a 2682	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) -> if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) )
42	14, 41	pm2.61dan 832	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) )
43		ifan 4134	. . . . . . 7 |- if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 )
44		ifan 4134	. . . . . . 7 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 )
45	42, 43, 44	3eqtr4g 2681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
46	45	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
47	46	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) )
48		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
49		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) )
50	48, 49, 5, 3	iblitg 23535	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
51	23, 50	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
52	47, 51	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
53	52	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
54		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
55		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) )
56		elun 3753	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. ( B \ A ) ) <-> ( x e. A \/ x e. ( B \ A ) ) )
57		undif2 4044	. . . . . . . 8 |- ( A u. ( B \ A ) ) = ( A u. B )
58		ssequn1 3783	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ B <-> ( A u. B ) = B )
59	1, 58	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A u. B ) = B )
60	57, 59	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A u. ( B \ A ) ) = B )
61	60	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( A u. ( B \ A ) ) <-> x e. B ) )
62	56, 61	syl5bbr 274	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. A \/ x e. ( B \ A ) ) <-> x e. B ) )
63	62	biimpar 502	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x e. A \/ x e. ( B \ A ) ) )
64	7, 3	mbfmptcl 23404	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
65		0cn 10032	. . . . . 6 |- 0 e. CC
66	4, 65	syl6eqel 2709	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
67	64, 66	jaodan 826	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A \/ x e. ( B \ A ) ) ) -> C e. CC )
68	63, 67	syldan 487	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. CC )
69	54, 55, 68	isibl2 23533	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> C ) e. L^1 <-> ( ( x e. B |-> C ) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
70	8, 53, 69	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( x e. B |-> C ) e. L^1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   _ici 9938   <_ cle 10075   / cdiv 10684   3c3 11071   ZZcz 11377   ...cfz 12326   ^cexp 12860   Recre 13837   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-ibl 23391

This theorem is referenced by:  itgss3  23581  itgless  23583  ftc1anclem5  33489  ftc1anclem6  33490  areacirc  33505  arearect  37801  areaquad  37802