Theorem itgeqa 23580

Description: Approximate equality of integrals. If C ( x ) = D ( x ) for almost all x, then S. B C ( x ) _d x = S. B D ( x ) _d x and one is integrable iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgeqa.1	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. CC )
itgeqa.2	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> D e. CC )
itgeqa.3	|- ( ph -> A C_ RR )
itgeqa.4	|- ( ph -> ( vol* ` A ) = 0 )
itgeqa.5	|- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
itgeqa	|- ( ph -> ( ( ( x e. B |-> C ) e. L^1 <-> ( x e. B |-> D ) e. L^1 ) /\ S. B C _d x = S. B D _d x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   C( x)   D( x)

Proof of Theorem itgeqa

Dummy variables y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeqa.3	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ RR )
2		itgeqa.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` A ) = 0 )
3		itgeqa.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> C = D )
4		itgeqa.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. CC )
5		itgeqa.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> D e. CC )
6	1, 2, 3, 4, 5	mbfeqa 23410	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> C ) e. MblFn <-> ( x e. B |-> D ) e. MblFn ) )
7		ifan 4134	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 )
8	4	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> C e. CC )
9		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. ZZ )
10	9	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> k e. ZZ )
11		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- _i e. CC
12		ine0 10465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- _i =/= 0
13		expclz 12885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 /\ k e. ZZ ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
14	11, 12, 13	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ZZ -> ( _i ^ k ) e. CC )
15	10, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
16		expne0i 12892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 /\ k e. ZZ ) -> ( _i ^ k ) =/= 0 )
17	11, 12, 16	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ZZ -> ( _i ^ k ) =/= 0 )
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> ( _i ^ k ) =/= 0 )
19	8, 15, 18	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> ( C / ( _i ^ k ) ) e. CC )
20	19	recld 13934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) e. RR )
21		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
22		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR )
23	20, 21, 22	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR )
24	23	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR* )
25		max1 12016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
26	21, 20, 25	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
27		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR* /\ 0 <_ if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
28	24, 26, 27	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
29		0e0iccpnf 12283	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. B ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
31	28, 30	ifclda 4120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
32	7, 31	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
34		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
35	33, 34	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
36		ifan 4134	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 )
37	5	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> D e. CC )
38	37, 15, 18	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> ( D / ( _i ^ k ) ) e. CC )
39	38	recld 13934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) e. RR )
40		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR )
41	39, 21, 40	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR )
42	41	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR* )
43		max1 12016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
44	21, 39, 43	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
45		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( if ( 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR* /\ 0 <_ if ( 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
46	42, 44, 45	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. B ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
47	46, 30	ifclda 4120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> if ( x e. B , if ( 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
48	36, 47	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
50		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
51	49, 50	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
52	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> A C_ RR )
53	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( vol* ` A ) = 0 )
54		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) /\ x e. B ) -> ph )
55		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) /\ x e. B ) -> x e. B )
56		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
57	56	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) /\ x e. B ) -> -. x e. A )
58	55, 57	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) /\ x e. B ) -> x e. ( B \ A ) )
59	54, 58, 3	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) /\ x e. B ) -> C = D )
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) /\ x e. B ) -> ( C / ( _i ^ k ) ) = ( D / ( _i ^ k ) ) )
61	60	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) /\ x e. B ) -> ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) )
62	61	ibllem 23531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
63		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( RR \ A ) -> x e. RR )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> x e. RR )
65		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) e. _V
66		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. _V
67	65, 66	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. _V
68	34	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. _V ) -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x ) = if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
69	64, 67, 68	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x ) = if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
70		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) e. _V
71	70, 66	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. _V
72	50	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. _V ) -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x ) = if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
73	64, 71, 72	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x ) = if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
74	62, 69, 73	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x ) = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x ) )
75	74	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. ( RR \ A ) ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x ) = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x ) )
76		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x ) = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x )
77		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y )
78		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y )
79	77, 78	nfeq 2776	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y ) = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y )
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x ) = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y ) )
81		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x ) = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y ) )
82	80, 81	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x ) = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x ) <-> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y ) = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y ) ) )
83	76, 79, 82	cbvral 3167	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( RR \ A ) ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x ) = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` x ) <-> A. y e. ( RR \ A ) ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y ) = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y ) )
84	75, 83	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. y e. ( RR \ A ) ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y ) = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y ) )
85	84	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( RR \ A ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y ) = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y ) )
86	85	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ y e. ( RR \ A ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y ) = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ` y ) )
87	35, 51, 52, 53, 86	itg2eqa 23512	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) )
88	87	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
89	88	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ph -> ( A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
90	6, 89	anbi12d 747	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( x e. B |-> C ) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( ( x e. B |-> D ) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
91		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
92		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) )
93	91, 92, 4	isibl2 23533	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> C ) e. L^1 <-> ( ( x e. B |-> C ) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
94		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
95		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) )
96	94, 95, 5	isibl2 23533	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> D ) e. L^1 <-> ( ( x e. B |-> D ) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
97	90, 93, 96	3bitr4d 300	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> C ) e. L^1 <-> ( x e. B |-> D ) e. L^1 ) )
98	87	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) )
99	98	sumeq2dv 14433	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) )
100		eqid 2622	. . . 4 |- ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) )
101	100	dfitg 23536	. . 3 |- S. B C _d x = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) )
102		eqid 2622	. . . 4 |- ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) )
103	102	dfitg 23536	. . 3 |- S. B D _d x = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. B /\ 0 <_ ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( D / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) )
104	99, 101, 103	3eqtr4g 2681	. 2 |- ( ph -> S. B C _d x = S. B D _d x )
105	97, 104	jca 554	1 |- ( ph -> ( ( ( x e. B |-> C ) e. L^1 <-> ( x e. B |-> D ) e. L^1 ) /\ S. B C _d x = S. B D _d x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   _ici 9938   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   / cdiv 10684   3c3 11071   ZZcz 11377   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   ^cexp 12860   Recre 13837   sum_csu 14416   vol*covol 23231  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392

This theorem is referenced by:  itgss3  23581