Theorem iblmulc2 23597

Description: Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgmulc2.1	|- ( ph -> C e. CC )
itgmulc2.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
itgmulc2.3	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
iblmulc2	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. L^1 )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x   x, V

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem iblmulc2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgmulc2.1	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
2		itgmulc2.2	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
3		itgmulc2.3	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
4		iblmbf 23534	. . . 4 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
5	3, 4	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
6	1, 2, 5	mbfmulc2 23430	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. MblFn )
7		ifan 4134	. . . . . 6 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 )
8	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
9	5, 2	mbfmptcl 23404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
10	8, 9	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C x. B ) e. CC )
11	10	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( C x. B ) e. CC )
12		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. ZZ )
13	12	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> k e. ZZ )
14		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _i e. CC
15		ine0 10465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _i =/= 0
16		expclz 12885	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 /\ k e. ZZ ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
17	14, 15, 16	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> ( _i ^ k ) e. CC )
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
19		expne0i 12892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 /\ k e. ZZ ) -> ( _i ^ k ) =/= 0 )
20	14, 15, 19	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> ( _i ^ k ) =/= 0 )
21	13, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( _i ^ k ) =/= 0 )
22	11, 18, 21	divcld 10801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) e. CC )
23	22	recld 13934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) e. RR )
24		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
25		ifcl 4130	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR )
26	23, 24, 25	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR )
27	26	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR* )
28		max1 12016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
29	24, 23, 28	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
30		elxrge0 12281	. . . . . . . . 9 |- ( if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR* /\ 0 <_ if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
31	27, 29, 30	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
32		0e0iccpnf 12283	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
34	31, 33	ifclda 4120	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
35	34	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
36	7, 35	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
37		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
38	36, 37	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
39		reex 10027	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. _V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. _V )
41	1	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( abs ` C ) e. RR )
43	9	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
44	9	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
45		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` B ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
46	43, 44, 45	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
47		0e0icopnf 12282	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
49	46, 48	ifclda 4120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
51		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR X. { ( abs ` C ) } ) = ( x e. RR |-> ( abs ` C ) )
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR X. { ( abs ` C ) } ) = ( x e. RR |-> ( abs ` C ) ) )
53		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) )
54	40, 42, 50, 52, 53	offval2 6914	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( RR X. { ( abs ` C ) } ) oF x. ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( abs ` C ) x. if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) )
55		ovif2 6738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` C ) x. if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` C ) x. ( abs ` B ) ) , ( ( abs ` C ) x. 0 ) )
56	8, 9	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C x. B ) ) = ( ( abs ` C ) x. ( abs ` B ) ) )
57	56	ifeq1da 4116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , ( ( abs ` C ) x. 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` C ) x. ( abs ` B ) ) , ( ( abs ` C ) x. 0 ) ) )
58	41	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. CC )
59	58	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) x. 0 ) = 0 )
60	59	ifeq2d 4105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , ( ( abs ` C ) x. 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) )
61	57, 60	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( x e. A , ( ( abs ` C ) x. ( abs ` B ) ) , ( ( abs ` C ) x. 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) )
62	55, 61	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) x. if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) )
63	62	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( ( abs ` C ) x. if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) )
64	54, 63	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR X. { ( abs ` C ) } ) oF x. ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) )
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( RR X. { ( abs ` C ) } ) oF x. ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) ) )
66		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
67	50, 66	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
68	2, 3	iblabs 23595	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )
69	43, 44	iblpos 23559	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
70	68, 69	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
71	70	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
72		abscl 14018	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. CC -> ( abs ` C ) e. RR )
73		absge0 14027	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. CC -> 0 <_ ( abs ` C ) )
74		elrege0 12278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` C ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` C ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` C ) ) )
75	72, 73, 74	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( C e. CC -> ( abs ` C ) e. ( 0 [,) +oo ) )
76	1, 75	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. ( 0 [,) +oo ) )
77	67, 71, 76	itg2mulc 23514	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( RR X. { ( abs ` C ) } ) oF x. ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) ) = ( ( abs ` C ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) ) )
78	65, 77	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) ) = ( ( abs ` C ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) ) )
79	41, 71	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
80	78, 79	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
81	80	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
82	10	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C x. B ) ) e. RR )
83	82	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C x. B ) ) e. RR* )
84	10	absge0d 14183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( C x. B ) ) )
85		elxrge0 12281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` ( C x. B ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( abs ` ( C x. B ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( abs ` ( C x. B ) ) ) )
86	83, 84, 85	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C x. B ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
87	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
88	86, 87	ifclda 4120	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
89	88	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
90		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) )
91	89, 90	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
92	91	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
93	22	releabsd 14190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) <_ ( abs ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) )
94	11, 18, 21	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) = ( ( abs ` ( C x. B ) ) / ( abs ` ( _i ^ k ) ) ) )
95		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. NN0 )
96	95	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> k e. NN0 )
97		absexp 14044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( _i e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( _i ^ k ) ) = ( ( abs ` _i ) ^ k ) )
98	14, 96, 97	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( _i ^ k ) ) = ( ( abs ` _i ) ^ k ) )
99		absi 14026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs ` _i ) = 1
100	99	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( abs ` _i ) ^ k ) = ( 1 ^ k )
101		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ZZ -> ( 1 ^ k ) = 1 )
102	13, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( 1 ^ k ) = 1 )
103	100, 102	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` _i ) ^ k ) = 1 )
104	98, 103	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( _i ^ k ) ) = 1 )
105	104	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( C x. B ) ) / ( abs ` ( _i ^ k ) ) ) = ( ( abs ` ( C x. B ) ) / 1 ) )
106	82	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C x. B ) ) e. CC )
107	106	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C x. B ) ) e. CC )
108	107	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( C x. B ) ) / 1 ) = ( abs ` ( C x. B ) ) )
109	94, 105, 108	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) = ( abs ` ( C x. B ) ) )
110	93, 109	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) <_ ( abs ` ( C x. B ) ) )
111	84	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( C x. B ) ) )
112		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) -> ( ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) <_ ( abs ` ( C x. B ) ) <-> if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) <_ ( abs ` ( C x. B ) ) ) )
113		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 = if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) -> ( 0 <_ ( abs ` ( C x. B ) ) <-> if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) <_ ( abs ` ( C x. B ) ) ) )
114	112, 113	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) <_ ( abs ` ( C x. B ) ) /\ 0 <_ ( abs ` ( C x. B ) ) ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) <_ ( abs ` ( C x. B ) ) )
115	110, 111, 114	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) <_ ( abs ` ( C x. B ) ) )
116		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
117	116	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
118		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( C x. B ) ) )
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( C x. B ) ) )
120	115, 117, 119	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) )
121	120	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) )
122		0le0 11110	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 0
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 )
124		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
125		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) = 0 )
126	123, 124, 125	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) )
127	121, 126	pm2.61d1 171	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) )
128	7, 127	syl5eqbr 4688	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) )
129	128	ralrimivw 2967	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) )
130	39	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> RR e. _V )
131	89	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
132		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
133		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) )
134	130, 36, 131, 132, 133	ofrfval2 6915	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) )
135	129, 134	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) )
136		itg2le 23506	. . . . 5 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) ) )
137	38, 92, 135, 136	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) ) )
138		itg2lecl 23505	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( C x. B ) ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
139	38, 81, 137, 138	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
140	139	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
141		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
142		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) )
143	141, 142, 10	isibl2 23533	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( C x. B ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
144	6, 140, 143	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. L^1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   / cdiv 10684   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   ^cexp 12860   Recre 13837   abscabs 13974  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itgmulc2lem1  23598  itgmulc2lem2  23599  itgmulc2  23600  itgabs  23601  circlemeth  30718  fourierdlem83  40406  fourierdlem95  40418  sqwvfoura  40445  sqwvfourb  40446